增長率問題與經(jīng)濟問題 省賽獲獎

2.5一元二次方程的應(yīng)用第2章一元二次方程第1課時增長率問題與經(jīng)濟問題學(xué)習目標1.會用一元二次方程解決有關(guān)的實際問題；（重點、難點）2.進一步培養(yǎng)學(xué)生化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識．導(dǎo)入新課問題：某省農(nóng)作物秸稈資源巨大，但合理使用量十分有限，因此該省準備引進適用的新技術(shù)來提高秸稈的合理使用率.若今年的使用率為40%，計劃后年的使用率達到90%，求這兩年秸稈使用率的年平均增長率（假定該省每年產(chǎn)生的秸稈總量不變）.今年的使用率×（1+年平均增長率）2=后年的使用率你能找出問題中涉及的等量關(guān)系嗎？40%（1+x）2=90%整理，得

（1+x）2=2.25解得

x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合題意，舍去）答：這兩年秸稈使用率的年平均增長率為50%.若設(shè)這兩年秸稈使用率的年平均增長率為x，請你根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：接下來請你解出此一元二次方程x2=-2.5符合題意嗎？講授新課增長率問題一通過前面的探討學(xué)習，我們再來看看下面的例題．例1

為執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元.求平均每次降價的百分率.

解析：原價×(1-平均每次降價的百分率)2=現(xiàn)行售價解：設(shè)平均每次降價的百分率為x，則根據(jù)等量關(guān)系得100(1-x)2=81解得

x1=0.1=10%,x2=1.9答：平均每次降價的百分率為10%.(不合題意，舍去)

例2

前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，試求甲種藥品成本的年平均下降率是多少？典例精析解：設(shè)甲種藥品的年平均下降率為x.根據(jù)題意，列方程，得5000(1－x)2=3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根據(jù)問題的實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.下降率不能超過1.注意1.某校圖書館的藏書在兩年內(nèi)從5萬冊增加到7.2萬冊，問平均每年藏書增長的百分率是多少？解：設(shè)平均每年藏書增長的百分率為x5(1+x)2=7.2整理，得(1+x)2=1.44

解得

x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合題意，舍去)答：平均每年藏書增長的百分率為20%.練一練練一練2.前年生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元.隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，試求乙種藥品成本的年平均下降率？

解：設(shè)乙種藥品的年平均下降率為y.根據(jù)題意，列方程，得6000(1－y)2=3600.解方程，得y1≈0.225，y2≈－1.775.根據(jù)問題的實際意義，乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.

問題：你能總結(jié)出有關(guān)增長率和降低率的有關(guān)數(shù)量關(guān)系嗎？

類似地這種增長率的問題在實際生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n=b(其中增長取“+”,降低取“－”).解后反思例3

某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品.若每件商品的售價為x元，則可賣出（350-10x）件，但物價局限定每件商品的售價不能超過進價的120％.若該商店計劃從這批商品中獲取400元利潤（不計其他成本），問需要賣出多少件商品，此時的售價是多少？

解：（售價-進價）×銷售量=利潤.根據(jù)等量關(guān)系得（x-21)(350-10x)=400

整理，得

x2-56x+775=0解得

x1=25,x2=31.經(jīng)濟問題二所以x=31不合題意，應(yīng)當舍去.故x=25.答：該商店需要賣出100件商品，且每件商品的售價是25元.從而賣出350-10x=350-10×25=100（件）

因為21×120%=25.2，即售價不能超過25.2元，方法歸納建立一元二次方程模型實際問題分析數(shù)量關(guān)系設(shè)未知數(shù)實際問題的解解一元二次方程一元二次方程的根檢驗運用一元二次方程模型解決實際問題的步驟有哪些？當堂練習1.某廠今年一月份的總產(chǎn)量為500噸,三月份的總產(chǎn)量為720噸,平均每月增長率是x,列方程(

)A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年對實驗器材的投資為2萬元,預(yù)計今明兩年的投資總額為8萬元,若設(shè)該校今明兩年在實驗器材投資上的平均增長率是x,則可列方程為

.B2（1+x)+2(1+x)2=83.某品牌服裝專營店平均每天可銷售該品牌服裝20件，每件可盈利44元．若每件降價1元，則每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，則應(yīng)降價多少元？解：設(shè)應(yīng)降價x元，則(44-x)(20+5x)=1600整理，得

x2-40x+144=0解得x1=36,x2=4答：應(yīng)降價36元或4元.

4.青山村種的水稻去年平均每公頃產(chǎn)7200千克，今年平均每公頃產(chǎn)8712千克，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率.解：設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的平均增長率為x,根據(jù)題意，得系數(shù)化為1得，直接開平方得，則答：水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為10%.7200(1+x)2=8712(1+x)2=1.211+x=1.1,1+x=-1.1x1=0.1,x2=-1.1,能力提升菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜，計劃以每千克5元的價格對外批發(fā)銷售.由于部分菜農(nóng)盲目擴大種植，造成該蔬菜滯銷，李偉為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的價格對外批發(fā)銷售.（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）小華準備到李偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：方案一，打九折銷售；方案二，不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元.試問小華選擇哪種方案更優(yōu)惠？請說明理由.解：（1）設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，由題意，得5(1－x)2=3.2，

解得

x1=20%，x2=1.8（舍去）

∴平均每次下調(diào)的百分率為20%;(2)小華選擇方案一購買更優(yōu)惠，理由如下：方案一所需費用為：3.2×0.9×5000=14400（元）；方案二所需費用為：3.2×5000－200×5=15000（元），∵14400＜15000，∴小華選擇方案一購買