2023年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)07 圓錐曲線中的二級(jí)結(jié)論及應(yīng)用含答案

2023年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)07圓錐曲線中的二級(jí)結(jié)論及應(yīng)用易混易錯(cuò)歸納圓錐曲線有許多形式結(jié)構(gòu)相當(dāng)漂亮的結(jié)論，記住圓錐曲線中一些二級(jí)結(jié)論，能快速擺平一切圓錐曲線壓軸小題。1設(shè)P點(diǎn)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)，記∠F1PF2＝θ，則（1）|PF1||PF2|＝eq\f(2b2,1＋cosθ)；（2）S△PF1F2＝b2taneq\f(θ,2)；（3）e＝eq\f(sin∠F1PF2,sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1).2設(shè)P點(diǎn)是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其焦點(diǎn)，記∠F1PF2＝θ，則（1）|PF1||PF2|＝eq\f(2b2,1－cosθ)；（2）S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))；（3）e＝eq\f(sin∠F1PF2,|sin∠PF1F2－sin∠PF2F1|).3.設(shè)A，B為圓錐曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是曲線上與A，B不重合的任意一點(diǎn)，則kAP·kBP＝e2－1.4.設(shè)圓錐曲線以M(x0，y0)(y0≠0)為中點(diǎn)的弦AB所在的直線的斜率為k.（1）圓錐曲線為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)，kAB·kOM＝e2－1.（2）圓錐曲線為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則kAB＝eq\f(b2x0,a2y0)，kAB·kOM＝e2－1.（3）圓錐曲線為拋物線y2＝2px(p＞0)，則kAB＝eq\f(p,y0).5.過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F且傾斜角為α(α≠90°)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq\o(FB,\s\up6(→))|，則橢圓的離心率等于.6.過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F且傾斜角為α(α≠90°)的直線交雙曲線右支于A，B兩點(diǎn)，且|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq\o(FB,\s\up6(→))|，則雙曲線的離心率等于|eq\f(λ－1,（λ＋1）cosα)|.7.過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F傾斜角為θ的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則兩焦半徑長(zhǎng)為eq\f(p,1－cosθ)，eq\f(p,1＋cosθ)，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)，S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ).好題演練1.已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3，0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M(－12，－15)，則E的方程為()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝12.已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)且AB的中點(diǎn)為，則雙曲線E的漸近線的方程為

A． B．C． D．3.已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為e＝eq\f(\r(3),2)，經(jīng)過右焦點(diǎn)且斜率為k(k＞0)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，已知eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，則k＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．24.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若F是AC的中點(diǎn)，且|AF|＝4，則線段AB的長(zhǎng)為()A．5B．6C.eq\f(16,3)D.eq\f(20,3)5.（2021·貴州·遵義師范學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末（文））已知，分別為雙曲線：（，）的左、右頂點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且直線，的斜率之積為2，則的離心率為A． B． C． D．6.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，則的面積為（）．A． B． C． D．7.設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上異于A，B兩點(diǎn)，若AP與BP的斜率之積為－eq\f(1,2)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8.在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，△PF1F2為焦點(diǎn)三角形，如圖所示．(1)若θ＝60°，則△PF1F2的面積是________；(2)若α＝45°，β＝75°，則橢圓離心率e＝________．9.(2022·荊州模擬)已知P是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2＝eq\f(π,3)時(shí)，則△PF1F2的面積為________．10.已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓上且異于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，則橢圓C的離心率為.11.已知一條過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，P是弦AB的中點(diǎn)，則直線的斜率為_______________．12.已知橢圓的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過的直線與相交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)為，則的離心率_____．13.過雙曲線的右焦點(diǎn)，作直線交的兩條漸近線于，兩點(diǎn)，，均位于軸右側(cè)，且滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為14.設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|AB|為15.設(shè)F為拋物線C：y2＝16x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為的直線交C于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積為。查補(bǔ)易混易錯(cuò)點(diǎn)07圓錐曲線中的二級(jí)結(jié)論及應(yīng)用圓錐曲線有許多形式結(jié)構(gòu)相當(dāng)漂亮的結(jié)論，記住圓錐曲線中一些二級(jí)結(jié)論，能快速擺平一切圓錐曲線壓軸小題。1設(shè)P點(diǎn)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)，記∠F1PF2＝θ，則（1）|PF1||PF2|＝eq\f(2b2,1＋cosθ)；（2）S△PF1F2＝b2taneq\f(θ,2)；（3）e＝eq\f(sin∠F1PF2,sin∠PF1F2＋sin∠PF2F1).2設(shè)P點(diǎn)是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其焦點(diǎn)，記∠F1PF2＝θ，則（1）|PF1||PF2|＝eq\f(2b2,1－cosθ)；（2）S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))；（3）e＝eq\f(sin∠F1PF2,|sin∠PF1F2－sin∠PF2F1|).3.設(shè)A，B為圓錐曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是曲線上與A，B不重合的任意一點(diǎn)，則kAP·kBP＝e2－1.4.設(shè)圓錐曲線以M(x0，y0)(y0≠0)為中點(diǎn)的弦AB所在的直線的斜率為k.（1）圓錐曲線為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)，kAB·kOM＝e2－1.（2）圓錐曲線為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則kAB＝eq\f(b2x0,a2y0)，kAB·kOM＝e2－1.（3）圓錐曲線為拋物線y2＝2px(p＞0)，則kAB＝eq\f(p,y0).5.過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F且傾斜角為α(α≠90°)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq\o(FB,\s\up6(→))|，則橢圓的離心率等于.6.過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F且傾斜角為α(α≠90°)的直線交雙曲線右支于A，B兩點(diǎn)，且|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝λ|eq\o(FB,\s\up6(→))|，則雙曲線的離心率等于|eq\f(λ－1,（λ＋1）cosα)|.7.過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F傾斜角為θ的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則兩焦半徑長(zhǎng)為eq\f(p,1－cosθ)，eq\f(p,1＋cosθ)，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)，S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ).1.已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3，0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M(－12，－15)，則E的方程為()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1【答案】B【解析】由題意可知kAB＝eq\f(－15－0,－12－3)＝1，kMO＝eq\f(－15－0,－12－0)＝eq\f(5,4)，由雙曲線中點(diǎn)弦中的斜率規(guī)律得kMO·kAB＝eq\f(b2,a2)，即eq\f(5,4)＝eq\f(b2,a2)，又9＝a2＋b2，聯(lián)立解得a2＝4，b2＝5，故雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.2.已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)且AB的中點(diǎn)為，則雙曲線E的漸近線的方程為

A． B．C． D．【答案】A【解析】，，由結(jié)論2，，可得雙曲線的漸近線方程為，故選：．3.已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為e＝eq\f(\r(3),2)，經(jīng)過右焦點(diǎn)且斜率為k(k＞0)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，已知eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，則k＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2【答案】B【解析】∵λ＝3，由結(jié)論可得，e＝eq\f(\r(3),2)，由規(guī)律得eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\f(3－1,3＋1)，cosα＝eq\f(\r(3),3)，k＝tanα＝eq\r(2).4.如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若F是AC的中點(diǎn)，且|AF|＝4，則線段AB的長(zhǎng)為()A．5B．6C.eq\f(16,3)D.eq\f(20,3)【答案】C【解析】因?yàn)閑q\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)，|AF|＝4，所以|BF|＝eq\f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq\f(4,3)＝eq\f(16,3).5.（2021·貴州·遵義師范學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末（文））已知，分別為雙曲線：（，）的左、右頂點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且直線，的斜率之積為2，則的離心率為A． B． C． D．【答案】B【解析】由結(jié)論可得，，故選B6.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，則的面積為（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，，由結(jié)論可知．7.設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上異于A，B兩點(diǎn)，若AP與BP的斜率之積為－eq\f(1,2)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】eq\f(\r(2),2)【解析】kAP·kBP＝－eq\f(1,2)，e2－1＝－eq\f(1,2)，∴e2＝eq\f(1,2)，e＝eq\f(\r(2),2).8.在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，△PF1F2為焦點(diǎn)三角形，如圖所示．(1)若θ＝60°，則△PF1F2的面積是________；(2)若α＝45°，β＝75°，則橢圓離心率e＝________．【答案】(1)3eq\r(3)(2)eq\f(\r(6)－\r(2),2)【解析】(1)由結(jié)論得S△PF1F2＝b2taneq\f(θ,2)，即S△PF1F2＝3eq\r(3).由公式e＝eq\f(sin（α＋β）,sinα＋sinβ)＝eq\f(sin60°,sin45°＋sin75°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2).9.(2022·荊州模擬)已知P是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2＝eq\f(π,3)時(shí)，則△PF1F2的面積為_______