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PAGE§3.3冪函數(shù)教材分析本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊》第三章第三節(jié)《冪函數(shù)》,冪函數(shù)是基本初等函數(shù)之一,是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的的概念與函數(shù)性質(zhì)之后,進(jìn)入高中以來遇到的第三種特殊函數(shù),是對函數(shù)概念及性質(zhì)的應(yīng)用,能進(jìn)一步培養(yǎng)利用函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的意識(shí)。從教材地位看,學(xué)生對特殊的正反比例函數(shù)和二次函數(shù)等已經(jīng)很熟,冪函數(shù)正是對這些在形式上有著共同特征的函數(shù)的推廣;從研究方法上看本節(jié)突出冪指數(shù)從特殊到一般的推廣,為后續(xù)學(xué)習(xí)做了鋪墊。二、學(xué)情分析在知識(shí)上,學(xué)生已經(jīng)有了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的經(jīng)歷,有初中的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)等作為基礎(chǔ),這為學(xué)習(xí)冪函數(shù)做好了知識(shí)和方法上的準(zhǔn)備。在能力上,學(xué)生已經(jīng)具備一定的形象思維和抽象思維能力,有一定的分析和解決問題的能力。對于進(jìn)入高中半個(gè)學(xué)期的學(xué)生來說,雖然具備一定的分析和解決問題的能力,邏輯思維初步形成,但缺乏冷靜、深刻,思維具有片面性、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn),需要教師點(diǎn)撥。三、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能(1)通過5個(gè)具體的實(shí)例了解冪函數(shù)的概念;(2)并通過具體實(shí)例研究冪函數(shù)的圖象和性質(zhì),能初步進(jìn)行應(yīng)用。2.過程與方法(1)通過引入、剖析、定義冪函數(shù)的過程,啟動(dòng)觀察、分析、抽象概括等思維活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,體會(huì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法;通過運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段,引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索冪函數(shù)性質(zhì),體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法,體驗(yàn)成功的樂趣;(3)對冪函數(shù)的性質(zhì)歸納、總結(jié)時(shí)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括和識(shí)圖能力。3.情態(tài)態(tài)度與價(jià)值觀進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比和歸納的數(shù)學(xué)思想方法;通過引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與作圖、分析圖象,培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):通過五個(gè)具體的冪函數(shù)了解概念,研究性質(zhì),體會(huì)圖象的變化規(guī)律。教學(xué)難點(diǎn):畫五個(gè)冪函數(shù)的圖象并由圖象概括冪函數(shù)的一般性質(zhì)。五、教學(xué)設(shè)計(jì)(一)實(shí)例觀察,引入新課(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜千克,那么她需要支付元是的函數(shù)(2)如果正方形的邊長為,那么正方形的面積是的函數(shù)(3)如果立方體的邊長為,那么立方體的體積是的函數(shù)(4)如果一個(gè)正方形場地的面積為,那么正方形的邊長是的函數(shù)(5)如果某人s內(nèi)騎車行進(jìn)1km,那么他騎車的平均速度km/s是的函數(shù)問題1:觀察以上問題中的函數(shù)具有什么共同特征?師生活動(dòng):這幾個(gè)函數(shù)解析式都具有冪的形式,冪的底數(shù)是自變量,指數(shù)是常數(shù)(為定值).設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生從具體的實(shí)例中進(jìn)行總結(jié),從而自然引出冪函數(shù)的定義.(二)類比聯(lián)想,探究新知1.冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)叫做冪函數(shù),其中為自變量,為常數(shù)。問題2:判斷,,是否為冪函數(shù)。師生活動(dòng):冪函數(shù)的解析式必須是的形式,其特征可歸納為“系數(shù)為1,只有1項(xiàng)”.設(shè)計(jì)意圖:加深學(xué)生對冪函數(shù)定義和呈現(xiàn)形式的理解.冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)問題3:有了冪函數(shù)的定義,接著我們應(yīng)該研究什么?師生活動(dòng):根據(jù)我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)的知識(shí),應(yīng)該研究函數(shù)的定義域,值域,單調(diào)性,奇偶性等性質(zhì)。根據(jù)初中學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),我們可以先畫出函數(shù)的圖像,再由圖像來研究冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)不妨也找出典型的函數(shù)作為代表:追問1:的圖像是我們熟悉的,如何畫出的圖像呢?師生活動(dòng):觀察函數(shù)解析式的特點(diǎn),得出是奇函數(shù),的定義域?yàn)榉秦?fù)數(shù)的集合,取點(diǎn)利用描點(diǎn)法作圖。學(xué)生進(jìn)行作圖,在同一坐標(biāo)系中畫出五個(gè)冪函數(shù)的圖像。問題4:觀察這五個(gè)函數(shù)圖像,它們有哪些共同的性質(zhì)?有哪些不同的性質(zhì)?師生活動(dòng):學(xué)生回答,通過交流補(bǔ)充歸納得到五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì),并將這些性質(zhì)填入表格中。函函數(shù)性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=y=x-1定義域RRR[0,+∞){x︱x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y︱y≠0}單調(diào)性增(-∞,0)增[0,+∞)減增增(-∞,0)減(0+∞)減奇偶性奇偶奇非奇非偶奇公共點(diǎn)(1,1)問題5:觀察圖像所有圖像都過第幾象限,所有圖像都不過第幾象限,為什么?師生活動(dòng):都過第一象限,而都不過第四象限,因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)所有冪函數(shù)都有意義,且函數(shù)值都為正.問題6:第一象限內(nèi)函數(shù)圖像的變化趨勢與指數(shù)有什么關(guān)系,為什么?師生活動(dòng):當(dāng)指數(shù)為正時(shí)是增函數(shù),指數(shù)為負(fù)時(shí)是減函數(shù).為什么卻講不清楚.教師講解:指數(shù)為正分為正分?jǐn)?shù)和正整數(shù),正無理數(shù)我們高中不做研究,當(dāng)是正整數(shù)時(shí)很顯然遞增,當(dāng)是正分?jǐn)?shù)時(shí),可以化成根式,很顯然當(dāng)被開方數(shù)為正時(shí),被開方數(shù)越大,整個(gè)根式值越大。而負(fù)指數(shù)可以化為正指數(shù)的倒數(shù),分母遞增,整個(gè)函數(shù)遞減.問題7:所有圖像都過哪些點(diǎn),為什么?學(xué)生反應(yīng):都過點(diǎn)(1,1),因?yàn)?的任何指數(shù)冪都為1.問題8:對于原點(diǎn),什么樣的冪函數(shù)過,什么樣的冪函數(shù)不過,為什么?學(xué)生反應(yīng):指數(shù)為正過,為負(fù)則不過,因?yàn)樨?fù)指數(shù)冪可以化成分?jǐn)?shù)形式,分母不能為零,所以在原點(diǎn)沒有意義.問題9:圖像在第一象限的位置關(guān)系是什么樣子的,為什么?學(xué)生反應(yīng):當(dāng)0<x<1時(shí),指數(shù)小的圖像在上方,當(dāng)x>1時(shí),指數(shù)大的圖像在上方,對于原因大部分學(xué)生不能很快反應(yīng)過來.教師活動(dòng):在0<x<1內(nèi)任取個(gè)x值,例如a,肯定有o<a<1,此時(shí)聯(lián)系到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,有指數(shù)小的函數(shù)值越大,同樣,當(dāng)x>1時(shí),指數(shù)大的函數(shù)值就大.【總結(jié)】冪函數(shù)不同于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)擁有共同的定義域,所以冪函數(shù)的性質(zhì)不可能全部總結(jié)清楚,但我們在探索性質(zhì)的過程中知道了研究方法:指數(shù)是分?jǐn)?shù)則化為根式,指數(shù)為負(fù)數(shù)則化為分式,這樣對于定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性都可以很容易看出來,不過要嚴(yán)格判斷單調(diào)性和奇偶性還要用定義進(jìn)行證明,接下來不看圖像很快得出5個(gè)冪函數(shù)的相關(guān)性質(zhì):【設(shè)計(jì)意圖】通過創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生的思維,并在新知探究的過程中自然形成一般方法的呈現(xiàn),使學(xué)生易于領(lǐng)悟和接受.新知應(yīng)用問題10:利用圖像得出冪函數(shù)的性質(zhì)并不嚴(yán)謹(jǐn),我們還應(yīng)該對其進(jìn)行嚴(yán)格的證明。你能證明冪函數(shù)在[0,+∞)上是增函數(shù)嗎?師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立完成,請幾位學(xué)生板書證明過程。教師對學(xué)生的證明過程進(jìn)行評(píng)價(jià)糾錯(cuò)。證明:設(shè)計(jì)意圖:(1)復(fù)習(xí)定義證明單調(diào)性的過程.(2)冪函數(shù)的單調(diào)性很容易觀察,強(qiáng)調(diào)嚴(yán)格判斷的時(shí)候要用單調(diào)性進(jìn)行證明。(3)冪函數(shù)的單調(diào)性很容易觀察,以至于在證明中直接用到了單調(diào)性,如直接判斷(四)鞏固練習(xí)練習(xí)1:比較下列各組數(shù)種兩個(gè)值的大小。(1)(2)(3)解::(1)y=5.2x是增函數(shù),∵0.1<0.2∴5.20.1<5.20.2(2)y=x0.9在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)∵3.2<3.7∴3.20.9<3.70.9(3)1.72.5<1.82.5<1.83.5練習(xí)2:已知一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),求滿足條件的實(shí)數(shù)m的集合。解:依題意,得解方程,得m=2或m=-1檢驗(yàn):當(dāng)m=2時(shí),函數(shù)為符合題意.當(dāng)m=-1時(shí),不合題意,舍去.所以m=2【設(shè)計(jì)意圖】增強(qiáng)學(xué)生對新知的應(yīng)用能力,
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