復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)習(xí)提綱僅供參考

復(fù)變函數(shù)與積分變換A（閉卷）考試時間：2011年1月13日14：00－16：00電子信息1，2班：教三101電子信息3，4班：教三103考試題型：填空題8題（共32分），解答題7題（共68分），滿分100分其中：積分變換不考填空題，只考大題（占20分），復(fù)變函數(shù)（占80分）復(fù)變函數(shù)考查內(nèi)容：復(fù)數(shù)(一般表示，三角表示，指數(shù)表示，實部，虛部，模)復(fù)數(shù)的四則運算，冪與方根，單連通域的概念。復(fù)變函數(shù)：主要考察把曲線從xy平面映到uv平面的象的求法。第一章：第二章：解析函數(shù)：主要考察定義和P41頁的定理一和二(C－R方程)幾個重要的初等函數(shù)的表達式(指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，乘冪函數(shù)與冪函數(shù)，三角函數(shù)與雙曲函數(shù))第三章：重點是計算積分復(fù)變函數(shù)積分的概念(理解，掌握積分路徑與積分值的關(guān)系)靈活應(yīng)用柯西古薩基本定理，復(fù)合閉路定理，柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式解題理解原函數(shù)與不定積分的概念及其計算。掌握解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系(已知解析函數(shù)的實部會求虛部，已知虛部會求實部)第四章：重點是展開級數(shù)，求收斂域，求和函數(shù)理解復(fù)數(shù)列級數(shù)的概念，理解泰勒，羅朗級數(shù)的定義掌握冪級數(shù)求法，求收斂半徑(比值和根值判別法)使用已知級數(shù)(識記五種簡單級數(shù)展開式)和間接法展開泰勒級數(shù)和羅朗級數(shù)(P117定理四)，注意在不同點展開后是不一樣的。收斂域的求法。第五章：判別孤立奇點類型，計算留數(shù)以及三種特殊類型的積分判別孤立奇點類型(掌握三種孤立起點的定義，靈活運用)，理解無窮遠點的性態(tài)。靈活運用留數(shù)定理和幾種計算規(guī)則來計算留數(shù)。理解無窮遠點的留數(shù)轉(zhuǎn)化為原點的留數(shù)的方法。三種特殊類型的積分的計算，掌握使用條件以及如何轉(zhuǎn)化為留數(shù)來計算的方法。積分變換考查內(nèi)容：第一章：重點求函數(shù)的傅立葉變換，解微分和積分方程理解傅立葉積分和傅立葉變換的概念靈活應(yīng)用傅里葉變換的性質(zhì)(4條)和卷積定理來求傅里葉變換掌握微分和積分方程的傅立葉解法熟記若干簡單的函數(shù)的傅立葉變換(傅立葉逆變換)第二章：重點求函數(shù)的拉普拉斯變換，解微分和積分方程理解拉普拉斯變換的概念靈活應(yīng)用拉普拉斯變換的性質(zhì)(4條)和卷積定理來求拉普拉斯變換，以及理解用留數(shù)定理求拉普拉斯逆變換的方法掌握微分和積分方程的拉普拉斯解法熟記若干簡單的函數(shù)的拉普拉斯變換(拉普拉斯逆變換)例1計算例2求復(fù)數(shù)的實部，虛部和模。函數(shù)將平面上的曲線變成平面上的曲線例3是________.例4若試求n的值例5設(shè)試證例6求例7求p，m，n的值使得函數(shù)為解析函數(shù)。

例8設(shè)f(z)=

(1)求f(z)解析區(qū)域；(2)求

例9．設(shè)C是正向圓周則=（）例10．設(shè)C是正向圓周，則=（）例11．設(shè)C為從-i到i的左半單位圓周，則()例1母2躁設(shè)。求，使粒得。其扔中（D帆為復(fù)攜平面及內(nèi)的歐區(qū)域羅）。為解細析函閱數(shù)，尖且滿他足例1峽3.f(雅z)=在圓罩環(huán)域區(qū)0<摟|z斷|<允1內(nèi)鵝的羅朽朗展望開式匪為.例1秀4．余求處的雹泰勒貝展開錄式，耐并指境出收危斂圓弓域.例1仙5抽若__派__狡__抽__既__課_。將函灶數(shù)在點夠z=踐1處午展開傍為泰朱勒級候數(shù).例1添6公共互郵箱朗：f俯bh舞s_拿jf狠bh鐮@1嗚26砌.c乘om密碼怠：12賣34然56例1絡(luò)7題z貪=1亮是函衰數(shù)f石(z涼)=的__度__游____篇__.（填婆孤立摟奇點廣的類盜型）例1帽8榴設(shè)蟲f(湊z)陣=，則Re騙s［f(嚴z)跪,0］=__顆__逆__Re搶s=.例1茄9z=搞i是屠f(考z)融=的__棟__典____敬__間__例2勺0（填革孤立各奇點賄的類辨型(籌若是蘆極點湊說明撓其級生數(shù))睡）例2貿(mào)1設(shè)函葉數(shù)則Re航s[芽f(溜z)腿,-旱i]部=__起__紅____洽__你__例2毒2隔（1種）求在上菜半平盾面的斯所有緒孤立鴨奇點岔；（2文）求惑f(賤z)兩在以啊上各痛孤立滲奇點干的留零數(shù)；（3胡）利意用以件上結(jié)洗果計均算積點分.例2釀3（隸1）塊求在上弱半平伸面的膜所有服孤立掀奇點失；（2代）求底f(細z)蜜在以姥上各斃孤立測奇點嘗的留走數(shù)；（3嗓）利灘用以明上結(jié)腦果計轉(zhuǎn)算積怠分第一抽章Fo佳ur聲ie道r變換1港重駕點和季難點2疲內(nèi)被容提焰要3它典肝型例給題26一、削重點竄與難顫點重點：難點：1燥求函寸數(shù)的拒Fo耐ur強ie載r變路換(早La巷pl半ac少e變攜換)求函便數(shù)的Fo父ur繡ie米r(L瓣ap墾la術(shù)ce證)變換2翅Fo士ur紛ie姻r變畜換(La泡pl倒ac牲e變嫁換)的簡則單應(yīng)古用傅氏過積分窯定理若f(t)在(-,酬+恨)上滿梯足條吃件:1)腐.f(t)在任紐奉一有跑限區(qū)纖間上依滿足次狄氏每條件王;2)責(zé).f(t)在無乘限區(qū)慰間(-,折+點)上絕櫻對可灘積,座則關(guān)有1繭Fo猴ur鎖ie搶r積江分定擱理二、篇內(nèi)容曉提要若函聽數(shù)f(t)滿足猛傅氏鞠積分你定理很的條喉件,礙則遠在f(t)的連闊續(xù)點晶處,建有(1姨)式叫繞做f(t)的Fo彼ur停ie勵r變換始式,(2臣)式為F(w)的Fo斧ur乎ie銳r逆變斯換式,f(t)與F(w)可相殃互轉(zhuǎn)蘭換,花可記益為F(w)=?[f(t)]和f(t)=?-1[F(w)]2恢F膨ou笑ri毒er商變換稱de(t)的弱蓮極限域為d-函數(shù)剩,既記為d(t).即de(t)1/eeO3菊單位樓脈沖嶄函數(shù)達及其巴傅氏陶變換（2哀）函數(shù)護為偶刺函數(shù)滾,即（3嚼）其中,稱為賞單位炕階躍膊函數(shù)陶.反挎之,暢有d-函數(shù)到有性共質(zhì):(1烤)兩個治常用汁的積繼分：一般滑地，遮有(1瓜).歇線性抵性質(zhì)設(shè)F1(w)=?[f1(t)]域,F2(w)=?[f2(t)]稅,a,b是常好數(shù),采則?[af1(t)+bf2(t)]匯=aF1(w)+bF2(w)同樣睡,籮傅氏剖逆變血換亦兼具有范類似僚的線惜性性登質(zhì),林即?-1[aF1(w)+bF2(w)]勻=af1(t)+bf2(t)4筑Fo衣ur女ie宏r變柳換的明性質(zhì)(2獲).微分毛性質(zhì)如果f(t)在(-,螺+沖)上連揮續(xù)或仿只有摸有賭限個動可去息間斷份點,臭且畜當(dāng)|t|努+時,f(t)伙0,則?[f'(t)]尤=jw?[f(t)]住.同樣致,峰我們仿還能屠得到使象函移數(shù)的或?qū)?shù)剪公式劇,榜設(shè)?若=?為實常數(shù),則

??

(3樂).位移讓性質(zhì):2）象函反數(shù)的劫位移劫性質(zhì)若=?為實常數(shù),則

??1）宵象原描函數(shù)息的位內(nèi)移性福質(zhì)(4搶).劉積馳分性位質(zhì)??實際巴上,柄只誕要記騾住下支面幾扒個常宇用的Fo裕ur璃ie恭r變換肉,季則所滅有的Fo當(dāng)ur解ie遮r變換威都無能須用科公式螞直接駕計算濾而可妻由Fo胃ur游ie天r變換朱的性胳質(zhì)導(dǎo)夜出.卷積居滿足垃下列仰性質(zhì)梯:5卷積新和卷焦積定轉(zhuǎn)理卷積副定理假定f1(t),f2(t)都滿普足傅顆氏積薪分定幸理中軍的條成件,慎如?[f1(t)促]=F1(w),?[f2(t)]=F2(w)則?[f1(t)*f2(t)]蠶=F1(w)F2(w)以及??同理看可得任給計函數(shù)f(t),都有f(t)*d(t)=f(t),這是飯因為單位傘脈沖鐵函數(shù)d(t)在卷玩積運顛算中躁起著憲類似跪數(shù)的霸運算偷中的1的作碧用.首先賭取傅聚氏變基換將當(dāng)微分茫方程約化為源象函醉數(shù)的謹代數(shù)譽方程牽,烈解代幅數(shù)方蠟程求貍出象啟函數(shù)裂,吼再取石逆變奧換得卸最后解的解塘.嘆如下畫圖所壤示.象原桶函數(shù)(微求分方霸程的鋒解)象函位數(shù)微分鉗、積趴分方洗程象函滔數(shù)的代數(shù)段方程取傅氏逆變換取傅氏變換解代數(shù)方程6譯微曬分、疏積分撒方程解