函數(shù)值域與最值

求函數(shù)值域（或求函數(shù)最值）求函數(shù)值域方法很多，常用配方法、換元法、判別式法、不等式法、反函數(shù)法、圖像法（數(shù)形結(jié)合法）、函數(shù)的單調(diào)性法以及均值不等式法等。這些方法分別具有極強(qiáng)的針對(duì)性，每一種方法又不是萬(wàn)能的。要順利解答求函數(shù)值域的問(wèn)題，必須熟練掌握各種技能技巧，根據(jù)特點(diǎn)選擇求值域的方法，下面就常見(jiàn)問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)。例1求函數(shù)如圖，∴y∈[-3/4,3/2].分析：本題是求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問(wèn)題，可用配方法或圖像法求解。oxy-113/2-3/41/2例2求函數(shù)分析：函數(shù)是分式函數(shù)且都含有二次項(xiàng)，可用判別式和單調(diào)性法求解。解法1：由函數(shù)知定義域?yàn)镽,則變形可得：(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0.當(dāng)2y-1=0即y=1/2時(shí)，代入方程左邊＝1/2·3-1≠0,故≠1/2.當(dāng)2y-1≠0,即y≠1/2時(shí)，因x∈R,必有△=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0得3/10≤y≤1/2,綜上所得，原函數(shù)的值域?yàn)閥∈〔3/10,1/2〕.解法2：（函數(shù)的單調(diào)性法）是增函數(shù)，u取最小值時(shí)，y也取最小值。∴原函數(shù)的值域?yàn)閥∈〔3/10,1／2）例3求函數(shù)的反函數(shù)的定義域.分析：函數(shù)f(x)的反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，可用不等式法求解。解：變形可得∴反函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1)。例4求下列函數(shù)的值域：

(1)y=6x2-2x3,(0<x<3);

(2)若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍（99年高考題）。分析：均值不等式可以解決諸多特殊條件的函數(shù)值域問(wèn)題，變形恰當(dāng)，柳暗花明。(1)解：原函數(shù)可變形為：當(dāng)且僅當(dāng)x/2=3-x時(shí)，即x=2時(shí)取等號(hào)。故在0<x<3時(shí)函數(shù)y的值域?yàn)閥∈〔9，+∞）。（2）解法1(均值不等式)當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)取等號(hào)。故ab∈〔9，+∞）解法2：（不等式法）當(dāng)a=3,b=3時(shí)取等號(hào)，故ab∈〔9，+∞）.例5求下列函數(shù)的值域：（1）y=5-x+√3x-1；（2）y=x-2+√4-x2.分析：帶有根式的函數(shù)，本身求值域較難，可考慮用換元法將其變形，換元適當(dāng)，事半功倍。即值域?yàn)閥∈〔-4,2√2-2〕例6求下列函數(shù)的值域：分析：求復(fù)合函數(shù)的值域，利用函數(shù)的單調(diào)性采用換元法先求出外層函數(shù)的值域作為內(nèi)層函數(shù)的定義域，然后求原函數(shù)的值域，要特別注意內(nèi)層函數(shù)的定義域的取值范圍。解（1）令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞),則y=2u≧2-1=1/2；故值域是y∈〔1/2,+∞).(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u>0,故y=log1/2u的定義域?yàn)椋?，2]上的減函數(shù)，即原函數(shù)值域的為y∈〔-1,+∞)。分析：本題求值域看似簡(jiǎn)單，其實(shí)有其技巧性，變形適當(dāng)事半功倍。(1)可用配方法或判別式法求解;（2）可用單調(diào)有界性解之。解法1：不難看出y≧0,且可得定義域?yàn)?≦x≦5,原函數(shù)變形為：例7求下列函數(shù)的值域：（1）y=√x-3+√5-x;(2)y=√x-3-√5-x.由x∈[3,5]知，-x2+8x-15∈[0,1],即當(dāng)x=4時(shí)，ymax=2，當(dāng)x=3或5時(shí)，ymin=√2,故原函數(shù)的值域?yàn)閇√2，2]。解法2：(判別式法).兩邊平方移項(xiàng)得:y2-2=2√(x-3)(5-x),再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2≧0,y看成常數(shù),方程有實(shí)根的條件是=162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4)≧0,注意到y(tǒng)>0得y2-4≦0即0<y≦4而y2-2≧0即有√2≦y≦2,∴y∈[√2,2].(2)解：由y=√x-3-√5-x得定義域?yàn)閤∈[3,5].∵y=√x-3在[3，5]上是單調(diào)增函數(shù)，y=-√5-x在[3,5]上也是單調(diào)增函數(shù)?！鄖=√x-3-√5-x在[3，5]上是增函數(shù)，當(dāng)x=3時(shí)，ymin=-√2,當(dāng)x=5時(shí)，ymax=√2,故原函數(shù)的值域?yàn)閥∈[-√2,√2].例8已知膏圓C：x2-4灰x+女y2+1切=0上任絕意一錘點(diǎn)P（x,洪y)方,求職的最您大值楊與最樓小值牙。分析：即求圓上的點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)(0,0)的斜率的最值，可利用數(shù)形結(jié)合法求解。xyoPC解：圓C方程為(x-2)2+y2=3，的最值即求圓上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的斜率的最值。設(shè)y=kx,如圖，顯然，當(dāng)直線y=kx與圓C相切時(shí)k有最值，容易得出其最大與最小值分別為√3，-√3.

例9已知懇圓C：x2+y2-4系x+捕6y思+1砍1=潑0,求x+綁y+腹4的最影值。分析專：本譯題可寸轉(zhuǎn)化擊采用典圓的瓣參數(shù)昂方程煎表達(dá)捧，利秩用三焦角函般數(shù)的偏有界益性解釀決或貪在二繪元二賴次方架程的慰約束梳條件鴿下，肅求x+縫y+淚4的線店性規(guī)冤劃。解法1：條件可化為(x-2)2+(y+3)2=2把此圓化為參數(shù)方程∴(x+y+4)max=5(x+y+4)min=1解法2（線性稼規(guī)劃）∵x,蓄y是圓C:(掘x-培2)2+(他y+摘3)2=2上的箱點(diǎn)，堪設(shè)x+遮y+鳥(niǎo)4=餃z,則y=滑-x墨+(攔z-旦4)習(xí),z誼-4可看森作為鞋直線L:裁x+返y+蜓4-賠z=兆0在y軸上凡的截搏距，塞作直兵線y=偏-x并平標(biāo)移，群當(dāng)直接線L:亞x+廟y+鏈4-伍z=議0和圓C相切殺時(shí)，z-田4有最雷大值豆和最窯小值桂?！?脾x+伴y+火4)ma淡x=5(x壇+y閉+4劃)mi對(duì)n=1xyoC(2,-3)y=-x例10求函醒數(shù)違的值岡域。分析：利用三角函數(shù)的有界性較數(shù)形結(jié)合為點(diǎn)(2,0)與點(diǎn)(cosx,-sinx)連線的斜率的過(guò)程要簡(jiǎn)單。解：肅將原炕函數(shù)澇化為si蓄nx+yc漂os見(jiàn)x=2哨y例11求函籃數(shù)y=恒√x2-2彩x+拳10債+√肝x2+6莊x+宏13的值糾域。分析壯：本禁題求轟函數(shù)愉的值域可用僅解析聽(tīng)?zhēng)缀谓鹋c數(shù)壤形結(jié)凳合法吹解之裕。A1(1乘,-匙3)yA(1,3)B(-3,2)xoP將上剪式可看成旨為x軸上潛點(diǎn)P(艦x,錯(cuò)0)與A(童1,惕3)拋,B錘(-構(gòu)3,尚2)的距器離之跌和。邀即在x軸上惜求作畢一點(diǎn)P與兩言定點(diǎn)A,掏B的距抽離之貨和的培最值揚(yáng)，利捉用解頸析幾量何的拳方法虧可求楊其最烤小值乞。如圖選，可氣