【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)三 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

三角函數(shù)的概念環(huán)節(jié)三同角三角函數(shù)的基本關(guān)系新知探究問題1誘導(dǎo)公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．而三個三角函數(shù)值都是由角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)唯一確定的，所以它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系．那么，終邊相同的角的三個三角函數(shù)之間有什么關(guān)系呢？答案：如圖，設(shè)P（x，y）是角α的終邊與單位圓的交點．

過P作x軸的垂線，交x軸于M，則△OMP是直角三角形，

而且OP＝1.由勾股定理OM2＋MP2＝1．因此x2＋y2＝1．即同一個角的三個三角函數(shù)之間的關(guān)系：sin2α+cos2α=1．1．發(fā)現(xiàn)規(guī)律新知探究并且當(dāng)角α的終邊與坐標(biāo)軸重合時，該公式也成立．根據(jù)三角函數(shù)的定義，有：

，

，k∈Z．即同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．追問

從方程的角度觀察同角三角函數(shù)關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)它有什么作用？答案：因為有兩個方程，三個未知數(shù)sinα，cosα，tanα，所以已知其中一個可以求出另外兩個，簡稱“知一求二”．2．應(yīng)用規(guī)律例1已知sinα=

，求cosα，tanα的值．新知探究答案：因為sinα＜0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角．

由sin2α+cos2α=1得cos2α=1－sin2α=1－

；

如果α是第三象限角，那么cosα＜0．于是cosα=，

從而

；

如果α是第四象限角，那么cosα＞0．于是cosα=，

從而

．2．應(yīng)用規(guī)律追問你能對“例1”這種題型總結(jié)出它的解題步驟嗎？步驟：第一步，先根據(jù)條件判斷角所在的象限；新知探究

第二步，分類討論確定其中一個三角函數(shù)值的符號；

第三步，利用基本關(guān)系求出其他的三角函數(shù)值解．2．應(yīng)用規(guī)律例2求證：

．新知探究答案：證法一：由cosx≠0，知sinx≠－1，所以1+sinx≠0，于是所以，原式成立．左邊==右邊．證法二：因為(1－sinx)(1+sinx)=1－sin2x=cos2x=cosxcosx，且1－sinx≠0，cosx≠0，所以．問題2總結(jié)上述研究過程，你能說說我們是從哪些角度入手發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)性質(zhì)的？你認(rèn)為還可以從哪些方面入手研究三角函數(shù)的性質(zhì)？答案：借助單位圓，從三角函數(shù)的定義出發(fā)，我們從三角函數(shù)值的符號規(guī)律、三角函數(shù)的取值規(guī)律（相等）入手發(fā)現(xiàn)了誘導(dǎo)公式一和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．自然地，我們還可以進(jìn)一步研究三角函數(shù)取值互為相反數(shù)等其他關(guān)系的規(guī)律．3．探究延伸新知探究問題3

回顧本單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答下面問題：（1）本單元知識發(fā)生發(fā)展過程的基本脈絡(luò)是怎樣的？在上一節(jié)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善本單元的知識結(jié)構(gòu)圖？（2）我們是如何發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式一和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的？在發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)的過程中，有哪些值得總結(jié)的思想方法或經(jīng)驗？歸納小結(jié)歸納小結(jié)答案：

（1）基本脈絡(luò)是：現(xiàn)實背景—獲得研究對象—分析對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)—下定義—研究性質(zhì)；本單元的知識結(jié)構(gòu)圖：歸納小結(jié)（2）三角函數(shù)的定義是借助于單位圓來定義