三重積分的幾種計(jì)算方法

當(dāng)R3，有X=(x,y,z),d=dv則三重積分1.直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)系下，記體積元素dv=dxdydzdzdydxyxz0則三重積分2021/5/91xyz0z=z2(x,y)z=z1(x,

y)D(1)化成一個(gè)定積分和一個(gè)二重積分設(shè)D為在xy平面上投影區(qū)域.y=y1(x)bay=y2(x)2021/5/92zxyx+y+z=10例1.

計(jì)算其中是由平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.解：

D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1

xy2021/5/93例2.

計(jì)算其中是由拋物柱面及平面y=0,z=0,解：

D:0≤y≤,0≤x≤yxz0D0yx2021/5/94y=y1(x,z)z0y=y2(x,z)Dxzyx2021/5/95x=x2(y,z)z0x=x1(y,z)Dyzyx2021/5/96例3.將化為三次定積分，其中是由z=x2+y2和z=1所圍的閉區(qū)域.解：先對(duì)z積分，將向xy平面投影.z=x2+y2

x2+y2=1

D:x2+y2≤1z=1z=1xyz01Dxyz=1z=x2+y2

2021/5/97xyz01Dxyz=1z=x2+y2

2021/5/98解2：先對(duì)y積分，將向xz平面投影：z=x2+y2

Dxy:x2≤z≤

1,z=11≤x≤1z=x2+y2

xyz0Dxz112021/5/99(2)化為一個(gè)二重積分和一個(gè)定積分:(x,y)D(z),z1≤z≤z20xzyz2zz2D(z)2021/5/910例4.

計(jì)算其中是由z=x2+y2和z=1所圍成的閉區(qū)域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]2021/5/911例5.

計(jì)算解：

D(x):0≤y≤1–x,0≤z≤

1xyzxy0111x:0≤x≤1其中是由平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.D(x)z=1xy

xy01x1x2021/5/9122.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分M

(r,,z)x=rcosy=rsinz=z(0≤r<+,0≤≤2,<z<+)rzM?0xzyyx2021/5/913柱面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面分別為r=常數(shù)=常數(shù)z=常數(shù)xyzo2021/5/914=r故dxdydz=rdrddz2021/5/915例1.

計(jì)算其中由與z=1所圍閉區(qū)域.解：

D:x2+y2≤1z=1

z=rz=0xyz0Dz=rz=12021/5/916xyz0z=rz=11D2021/5/917例2.

計(jì)算={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：D:x2+y2≤1xyz012021/5/918例3.

再解例1其中是

由與z=1所圍閉區(qū)域.解：用=截得D()而0≤≤2故原積分=xyz2021/5/919xzyD()z1r0z=r12021/5/920例4.

再解例2其中={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：用=截得D()而0≤≤2故原積分=xyz02021/5/921xyz0011rz2021/5/9223.利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分M

(r,,)x=OPcosz=rcos(0≤r<+,0≤≤,0≤≤2)y=OPsin?M0zxyrPxyz=rsincos=rsinsin2021/5/923球面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面：r=常數(shù)=常數(shù)=常數(shù)dxdydz=r2sin

drddzxy2021/5/924例5.

計(jì)算其中={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：x2+y2+z2=1r=1而0≤≤2故用=截得D()原積分xyz02021/5/925xyz0z011r=12021/5/926例6.和x2+y2+z2=a2所圍成閉區(qū)域.解：

x2+y2+z2=a2

r=a原積分zyxa2021/5/927zy