物理光學(xué)-第五章-梁銓廷-物理光學(xué)_第1頁(yè)
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第五章光的衍射5.1惠更斯-菲涅耳原理5.2基爾霍夫衍射理論5.3菲涅耳衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射5.4矩孔和單縫的夫瑯禾費(fèi)衍射5.5圓孔的夫瑯禾費(fèi)衍射衍射5.6光學(xué)成像系統(tǒng)的衍射和分辨本領(lǐng)5.7雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射5.8多縫夫瑯禾費(fèi)衍射5.9衍射光柵5.10圓孔和圓屏的菲涅耳衍射5.12全息照相5.11直邊的菲涅耳衍射引言衍射問(wèn)題概述光的衍射是指光波在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí),所發(fā)生的偏離直線傳播的現(xiàn)象。光的衍射,也可以叫光的繞射,即光可繞過(guò)障礙物,傳播到障礙物的幾何陰影區(qū)域中,并在障礙物后的觀察屏上呈現(xiàn)出光強(qiáng)的不均勻分布。通常將觀察屏上的不均勻光強(qiáng)分布稱(chēng)為衍射圖樣。衍射問(wèn)題的三個(gè)基本要素:1.光源發(fā)出的光波。2.衍射物。3.衍射圖形。S∑Π衍射理論要解決的主要問(wèn)題:已知光源和衍射物,求解衍射圖形。衍射過(guò)程可以分為三個(gè)階段:1.光源發(fā)出的光波到達(dá)衍射物的過(guò)程。2.衍射物對(duì)入射光波的限制過(guò)程。3.被衍射物限制后的光波到達(dá)屏的過(guò)程。5.1惠更斯-菲涅耳原理光是一種電磁波,光波的衍射問(wèn)題應(yīng)該通過(guò)麥克斯韋的電磁理論來(lái)求解。但是這種求解過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜,且多數(shù)不能獲得解析解?,F(xiàn)代的光學(xué)教材多使用惠更斯-菲涅耳-基爾霍夫標(biāo)量場(chǎng)理論。1.惠更斯原理:

1690年,惠更斯在其著作《論光》中提出假設(shè):“波前上的每一個(gè)面元都可以看作是一個(gè)次級(jí)擾動(dòng)中心,它們能產(chǎn)生球面子波”,并且:“后一時(shí)刻的波前的位置是所有這些子波前的包絡(luò)面?!边@里,“波前”可以理解為:光源在某一時(shí)刻發(fā)出的光波所形成的波面(等相面)?!按渭?jí)擾動(dòng)中心可以看成是一個(gè)點(diǎn)光源”,又稱(chēng)為“子波源”。5.1惠更斯-菲涅耳原理5.1惠更斯-菲涅耳原理惠更斯原理能夠很好地解釋光的直線傳播,光的反射和折射方向,也可以說(shuō)明衍射的存在;但不能確定光波通過(guò)衍射屏后沿不同方向傳播的振幅,因而也就無(wú)法確定衍射圖樣中的光強(qiáng)分布。1.惠更斯原理:t=τcτ平面波t=0t=τcτ球面波●●●●●t=02.惠更斯--菲涅耳原理及數(shù)學(xué)表達(dá)式

1818年,在巴黎科學(xué)院舉行的以解釋衍射現(xiàn)象為內(nèi)容的有獎(jiǎng)競(jìng)賽會(huì)上,年青的菲涅耳出人意料地取得了優(yōu)勝,他吸收了惠更斯提出的次波概念,用“次波相干迭加”的思想將所有衍射情況引到統(tǒng)一的原理中來(lái),這個(gè)原理就是惠更斯-菲涅耳原理。波前上任何一個(gè)未受阻擋的點(diǎn)都可以看作是一個(gè)頻率(或波長(zhǎng))與入射波相同的子波源;在其后任何地點(diǎn)的光振動(dòng),就是這些子波疊加的結(jié)果。

s為點(diǎn)波源,∑為從S發(fā)出的球面波在某時(shí)刻到達(dá)的波面,P為波場(chǎng)中的某個(gè)點(diǎn)。要問(wèn),波在P點(diǎn)引起的振動(dòng)如何?2.惠更斯--菲涅耳原理及數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)該把∑面分割成無(wú)窮多的面元d∑,把每個(gè)面元d∑看成發(fā)射次波的波源,從所有面元發(fā)射的次波將在P點(diǎn)相遇。一般說(shuō)來(lái),由各面元d∑到P點(diǎn)的光程是不同的,從而在P點(diǎn)引起的振動(dòng)位相不同,P點(diǎn)的總振動(dòng)就是這些次波在這里相干疊加的結(jié)果。2.惠更斯--菲涅耳原理及數(shù)學(xué)表達(dá)式考慮下圖球面波經(jīng)過(guò)一孔徑的衍射問(wèn)題:在波前Σ上入射波的復(fù)振幅可表示為:P點(diǎn)的光振動(dòng)是Σ’上所有小面元發(fā)出的球面子波干涉疊加的結(jié)果。2.惠更斯--菲涅耳原理及數(shù)學(xué)表達(dá)式ΣRΣ/ξxθΠQPχrS菲涅耳認(rèn)為,Σ’上任一點(diǎn)Q處小面元dσ發(fā)出的子波應(yīng)該表示為:ΣRΣ/ξxθΠQPχrS2.惠更斯--菲涅耳原理及數(shù)學(xué)表達(dá)式P點(diǎn)的復(fù)振幅:2.惠更斯--菲涅耳原理及數(shù)學(xué)表達(dá)式ΣRΣ/ξxθΠQPχrS5.2基爾霍夫衍射積分公式

1818年菲涅耳提出了惠更斯-菲涅耳原理,并給出了菲涅耳衍射積分公式。最初菲涅耳作的各項(xiàng)假設(shè)時(shí),只憑樸素的直覺(jué)。六十余年后,基爾霍夫(1882年)建立了一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論,證明菲涅耳的設(shè)想基本上正確,只是菲涅耳給出的傾斜因子不對(duì),并對(duì)其進(jìn)行了修正。5.2基爾霍夫衍射積分公式由亥姆霍茲-基爾霍夫定理和相應(yīng)邊界條件得到基爾霍夫衍射積分公式:與菲涅耳衍射積分式對(duì)比可知,兩者是一致的S∑QP如果點(diǎn)光源離產(chǎn)生衍射的開(kāi)孔足夠遠(yuǎn),則入射光可視為垂直入射的平面波。對(duì)于上各點(diǎn)都有cosα1=1,cosα2

=cos,因此5.2基爾霍夫衍射積分公式當(dāng)=0時(shí),K()=1,表示在波面法線方向上子波的振幅最大;當(dāng)=時(shí),K()=0,這一結(jié)論證明菲涅耳關(guān)于=/2時(shí)K()=0的結(jié)論是不正確的。在常見(jiàn)的衍射中,衍射孔線度比光源和觀察屏到衍射屏的距離小得多,在衍射孔的范圍內(nèi)變化很小,因而傾斜因子K()可視為常量提出積分號(hào)外,以最簡(jiǎn)單的垂直入射情況處理取K()=1。同樣,在衍射孔范圍內(nèi),r的變化也不大,且r變化只影響各子波在P點(diǎn)的振幅,所以可取1/r≈1/z1.有以上兩個(gè)近似后,基爾霍夫衍射公式變?yōu)椋?.2基爾霍夫衍射積分公式圖5.3菲涅耳衍射和夫瑯和費(fèi)衍射距離近似——菲涅耳近似和夫瑯和費(fèi)近似1.菲涅耳近似與菲涅耳衍射對(duì)于具體的衍射問(wèn)題,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,還可作進(jìn)一步近似:為此取坐標(biāo)系如圖所示x1y1xyz1∑ΠMPrx1y1xyz1∑ΠMPr設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)(x1,y1),P點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),則:對(duì)于上式作二項(xiàng)式展開(kāi),得:考慮到當(dāng)z1大到使第三項(xiàng)以后各項(xiàng)對(duì)位相k·r的作用遠(yuǎn)小于π時(shí),第三項(xiàng)以后各項(xiàng)即可忽略。可只取前兩項(xiàng)表示r:此為菲涅耳近似。此條件看到的衍射現(xiàn)象為菲涅耳衍射,此時(shí)觀察屏所處的區(qū)域?yàn)榉颇苌鋮^(qū)。1.菲涅耳近似與菲涅耳衍射菲涅耳衍射的計(jì)算公式1.菲涅耳近似與菲涅耳衍射2.夫瑯禾費(fèi)衍射在菲涅耳衍射區(qū)更遠(yuǎn)的地方,放置觀察屏,此時(shí),且這時(shí)如果下式成立:這時(shí)菲涅耳衍射就過(guò)渡到了夫瑯和費(fèi)衍射。此時(shí),得到夫瑯和費(fèi)衍射的計(jì)算公式:2.夫瑯禾費(fèi)衍射5.4矩孔和單縫的夫瑯禾費(fèi)衍射5.4.1夫瑯禾費(fèi)衍射裝置觀察夫瑯禾費(fèi)衍射時(shí),需要把觀察屏放置在離衍射孔很遠(yuǎn)的地方。實(shí)際實(shí)驗(yàn)中,可以用透鏡來(lái)縮短距離。y1x1SCL∑yΠx平行光束垂直入射到衍射屏上,衍射后的平行光經(jīng)透鏡會(huì)聚于焦平面上,產(chǎn)生衍射條紋。5.4.2夫瑯禾費(fèi)衍射公式的意義L2P0Pf(x1、y1)(x、y)依照?qǐng)D中所選取的坐標(biāo)系,應(yīng)用夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算公式,P點(diǎn)子波疊加的復(fù)振幅為:

因?yàn)檠苌淦辽鲜瞧叫泄獯怪比肷?,所以屏上波面的?fù)振幅分布應(yīng)為常數(shù)A`5.4.2夫瑯禾費(fèi)衍射公式的意義L2P0Pf(x1、y1)(x、y)定義衍射角θx、θy:方向余弦l、w:5.4.2夫瑯禾費(fèi)衍射公式的意義上式表示了孔徑面內(nèi)各點(diǎn)發(fā)出的子波在方向余弦l和w方向上的疊加。由于透鏡的作用,l和w代表的方向子波聚焦在透鏡焦平面上的P點(diǎn)。5.4.3矩孔衍射夫瑯禾費(fèi)衍射中,如果衍射孔徑是矩形孔,在透鏡L2的后焦平面上可以獲得矩形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。y1x1SCL∑yΠx5.4.3矩孔衍射衍射花樣的光強(qiáng)分布可以通過(guò)夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算公式求得。選取矩孔中心為坐標(biāo)原點(diǎn),x軸方向上矩孔邊長(zhǎng)為a,y軸方向上矩孔邊長(zhǎng)為b,根據(jù)夫瑯和費(fèi)衍射計(jì)算公式,觀察屏上P點(diǎn)的復(fù)振幅為:5.4.3矩孔衍射對(duì)于中心p0點(diǎn),復(fù)振幅為:p點(diǎn),復(fù)振幅為:5.4.3矩孔衍射p點(diǎn)的強(qiáng)度I:可知,衍射強(qiáng)度取決于兩個(gè)因子,一個(gè)與坐標(biāo)x有關(guān),另一個(gè)與坐標(biāo)y有關(guān)。即衍射光強(qiáng)在這兩個(gè)坐標(biāo)上分布并有規(guī)律的變化。5.4.3矩孔衍射x軸上的衍射光強(qiáng)分布5.4.3矩孔衍射x軸上的衍射光強(qiáng)分布α=0時(shí),衍射光強(qiáng)具有最大值,I/I0具有最大值,稱(chēng)為主極大。α=nπ時(shí),衍射光強(qiáng)具有最小值,為0。坐標(biāo)x滿足:在相鄰的兩個(gè)強(qiáng)度最小值之間,有一個(gè)強(qiáng)度的次最大點(diǎn),位置可以由超越方程求得。5.4.3矩孔衍射y軸上的衍射光強(qiáng)分布對(duì)于y軸的強(qiáng)度分布可按與x軸同樣的方法進(jìn)行,分布的規(guī)律和特點(diǎn)也是類(lèi)似的。但由于矩形孔的邊長(zhǎng)a和b不等,所以x軸和y軸上相鄰的暗點(diǎn)的間距也是不等的。5.4.3矩孔衍射中央亮斑

矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑處,其邊緣在x,y軸上的位置是中央亮斑面積為該式說(shuō)明,中央亮斑面積與矩形孔面積成反比,在相同波長(zhǎng)和裝置下,衍射孔愈小,中央亮斑愈大.5.4.4單縫衍射當(dāng)矩孔一個(gè)邊長(zhǎng)比另一邊長(zhǎng)大得很多時(shí),產(chǎn)生的衍射稱(chēng)為單縫衍射。若縫的方向沿著y軸方向,則y軸方向上的衍射可忽略,僅在x軸上有衍射花樣存在,衍射強(qiáng)度分布公式為:?jiǎn)慰p衍射花樣中央亮紋的坐標(biāo)范圍:5.4.4單縫衍射中央亮紋的寬度是其他次最大亮紋寬度的兩倍。相鄰暗條紋間距為:5.5圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射由于光學(xué)儀器的光瞳通常是圓形的,所以討論圓孔衍射現(xiàn)象對(duì)光學(xué)儀器的應(yīng)用,具有重要的實(shí)際意義。x1y1SCL∑yΠx夫朗和費(fèi)圓孔衍射的討論方法與矩形孔衍射的討論方法相同,只是由于圓孔結(jié)構(gòu)的幾何對(duì)稱(chēng)性,采用極坐標(biāo)處理更加方便。5.5圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射5.5圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射圓孔衍射花樣為明暗相間的圓環(huán)條紋5.5圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射相鄰極小值之間,有一個(gè)次最大5.5圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射與單縫衍射一樣,中央主最大亮紋集中了衍射的絕大部分光能量,圓孔衍射中央主最大亮紋通常稱(chēng)為愛(ài)里斑,它的半徑為:此式也表明,圓孔衍射的擴(kuò)展范圍與圓孔半徑成反比,與光波長(zhǎng)成正比。這種關(guān)系與單縫衍射是類(lèi)似的。5.6光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)從幾何光學(xué)的觀點(diǎn)看,每個(gè)像點(diǎn)應(yīng)該是一個(gè)幾何點(diǎn),因此,對(duì)于一個(gè)無(wú)像差的理想光學(xué)成像系統(tǒng),其分辨本領(lǐng)應(yīng)當(dāng)是無(wú)限的,即兩個(gè)點(diǎn)物無(wú)論靠得多近,像點(diǎn)總可分辨開(kāi)。但實(shí)際上,光波通過(guò)光學(xué)成像系統(tǒng)時(shí),總會(huì)因光學(xué)孔徑的有限性產(chǎn)生衍射,這就限制了光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)。通常,由于光學(xué)成像系統(tǒng)具有光闌、透鏡外框等圓形孔徑,所以討論它們的分辨本領(lǐng)時(shí),都是以夫朗和費(fèi)圓孔衍射為理論基礎(chǔ)。光學(xué)成像系統(tǒng)的分辨本領(lǐng),指的是它能分辨開(kāi)兩個(gè)靠近的點(diǎn)物或者是物體細(xì)節(jié)的能力。5.6光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)如圖所示,設(shè)有S1和S2兩個(gè)非相干點(diǎn)光源,間距為ε,它們到直徑為D的圓孔距離為R,則S1和S2對(duì)圓孔的張角α為由于圓孔的衍射效應(yīng),S1和S2將分別在觀察屏上形成各自的衍射圖樣。假設(shè)其愛(ài)里斑關(guān)于圓孔的張角為θ0:5.6光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)5.6光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)瑞利判據(jù):一個(gè)物點(diǎn)衍射圖樣的中央最大值與另一物點(diǎn)的第一最小值位置重合時(shí),兩個(gè)物點(diǎn)恰能分辨,光學(xué)成象系統(tǒng)處于分辨極限狀態(tài)。這時(shí),兩點(diǎn)物衍射圖樣的重疊區(qū)中點(diǎn)光強(qiáng)度約為每個(gè)衍射圖樣中心最亮處光強(qiáng)度的73.5%(對(duì)于縫隙形光闌,約為81%)。于是,由于衍射效應(yīng),一個(gè)光學(xué)成像系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)物成像的愛(ài)里斑角半徑θ0決定了該系統(tǒng)的分辨極限。5.6光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)幾種典型光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)人眼的成像作用可以等價(jià)于一個(gè)單凸透鏡。通常人眼睛的瞳孔直徑約為1.5~6mm(視入射光強(qiáng)的大小而定)。當(dāng)人眼瞳孔直徑為2mm時(shí),對(duì)于最敏感的光波波長(zhǎng)λ=0.55μm,可以算得人眼的最小分辨角αe為

(1)人眼睛的分辨本領(lǐng)

通常由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的人眼最小分辨角約為1′(=2.9×10-4rad),與上面計(jì)算的結(jié)果基本相符。5.6光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)幾種典型光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)

(2)望遠(yuǎn)鏡的分辨本領(lǐng)望遠(yuǎn)鏡的作用相當(dāng)于增大人眼睛的瞳孔。設(shè)望遠(yuǎn)鏡物鏡的圓形通光孔徑直徑為D,若有兩個(gè)物點(diǎn)恰好能為望遠(yuǎn)鏡所分辨開(kāi),則根據(jù)瑞利判據(jù),這兩個(gè)物點(diǎn)對(duì)望遠(yuǎn)鏡的張角α為這也就是望遠(yuǎn)鏡的最小分辨角公式。該式表明,望遠(yuǎn)鏡物鏡的直徑D愈大,分辨本領(lǐng)愈高,并且,這時(shí)像的亮度也增加了。5.6光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)幾種典型光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)例如,天文望遠(yuǎn)鏡物鏡的直徑做得很大(可達(dá)6m),原因之一就是為了提高分辨本領(lǐng)。對(duì)于λ=0.55μm的單色光來(lái)說(shuō),其最小分辨角α=0.023′=1.12×10-7

rad,比人眼的分辨本領(lǐng)要大三千倍左右。通常在設(shè)計(jì)望遠(yuǎn)鏡時(shí),為了充分利用望遠(yuǎn)鏡物鏡的分辨本領(lǐng),應(yīng)保證物鏡的最小分辨角經(jīng)望遠(yuǎn)鏡放大后等于眼睛的最小分辨角,即放大率應(yīng)為

(3)照相物鏡的分辨本領(lǐng)

照相物鏡一般都是用于對(duì)較遠(yuǎn)物體的成像,感光底片的位置大致與照相物鏡的焦平面重合。若照相物鏡的孔徑為D,相應(yīng)第一極小的衍射角為θ0,則底片上恰能分辨的兩條直線之間的距離ε′為習(xí)慣上,照相物鏡的分辨本領(lǐng)用底片上每毫米內(nèi)能成多少條恰能分開(kāi)的線條數(shù)N表示,N為幾種典型光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)式中,D/f是照相物鏡的相對(duì)孔徑??梢?jiàn),照相物鏡的相對(duì)孔徑愈大,分辨本領(lǐng)愈高。例如,對(duì)于D/f=1∶3.5的常用照相物鏡,若λ=0.55μm,則N=1490×1/3.5=425(條/mm)。作為照相系統(tǒng)總分辨本領(lǐng)的要求來(lái)說(shuō),感光底片的分辨本領(lǐng)應(yīng)大于或等于物鏡的分辨本領(lǐng)。例如,對(duì)于上面的例子,應(yīng)選擇分辨本領(lǐng)大于425條/mm的底片。

(3)照相物鏡的分辨本領(lǐng)

幾種典型光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)

(4)顯微鏡的分辨本領(lǐng)

顯微鏡由物鏡和目鏡組成,在一般情況下系統(tǒng)成像的孔徑為物鏡框,因此,限制顯微鏡分辨本領(lǐng)的是物鏡框(即孔徑光闌)。顯微鏡物鏡的成像如圖所示。點(diǎn)物S1和S2位于物鏡前焦點(diǎn)外附近,由于物鏡的焦距很短,所以S1和S2發(fā)出的光波以很大的孔徑角入射到物鏡,其像S1′和S2′離物鏡較遠(yuǎn)。幾種典型光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)

(4)顯微鏡的分辨本領(lǐng)

幾種典型光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)雖然S1和S2離物鏡很近,它們的像也是物鏡邊緣(孔徑光闌)的夫朗和費(fèi)衍射圖樣,其愛(ài)里斑的半徑為

由于顯微鏡物鏡的成像滿足阿貝(Abbe)正弦條件式中,n和n′分別是物方和像方折射率,在n′=1時(shí),有所以,能分辨兩點(diǎn)物的最小距離為(4)顯微鏡的分辨本領(lǐng)幾種典型光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)式中,NA=nsinu稱(chēng)為物鏡的數(shù)值孔徑。由此可見(jiàn),提高顯微鏡分辨本領(lǐng)的途徑是:①增大物鏡的數(shù)值孔徑;②減小波長(zhǎng)例如,電子顯微鏡利用電子束的波動(dòng)性成像,由于其波長(zhǎng)可達(dá)10-3nm,因而分辨本領(lǐng)將比可見(jiàn)光顯微鏡提高幾十萬(wàn)倍,只是由于電子顯微鏡的數(shù)值孔徑較小,其分辨本領(lǐng)實(shí)際上僅提高千倍以上。(4)顯微鏡的分辨本領(lǐng)幾種典型光學(xué)成象系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)5.8多縫夫瑯禾費(fèi)衍射ξ將夫瑯和費(fèi)衍射裝置中的衍射屏換成開(kāi)有多個(gè)等寬、等距、平行狹縫的障礙物,所產(chǎn)生的衍射就是多縫夫瑯和費(fèi)衍射。5.8.1強(qiáng)度分布公式ξ單個(gè)縫在P點(diǎn)產(chǎn)生單縫衍射多個(gè)縫在P點(diǎn)產(chǎn)生的衍射是多個(gè)單縫衍射的疊加單個(gè)縫在P點(diǎn)產(chǎn)生的振幅為5.8.1強(qiáng)度分布公式ξ若選定多縫衍射屏邊緣第1個(gè)縫在P點(diǎn)的復(fù)振幅的相位為零,即則,第2,3,…各縫在P點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅依次為δ為相鄰兩個(gè)縫之間的相位差5.8.1強(qiáng)度分布公式按此規(guī)律求得N個(gè)縫在P點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅為:P點(diǎn)的光強(qiáng)為:?jiǎn)慰p在P0點(diǎn)的光強(qiáng)5.8.1強(qiáng)度分布公式由上面看出,平行光照射多縫時(shí),其每個(gè)狹縫都將在P點(diǎn)產(chǎn)生衍射場(chǎng),由于這些光場(chǎng)均來(lái)自同一光源,彼此相干,將因干涉效應(yīng),使觀察屏上的光強(qiáng)度重新分布。因此,多縫衍射現(xiàn)象包含有衍射和干涉雙重效應(yīng)。5.8.2多縫衍射圖樣多縫衍射圖樣中的亮紋和暗紋的位置由多縫干涉因子決定。通過(guò)分析可求得:光強(qiáng)為極大值,稱(chēng)為主極大光強(qiáng)為極小值。每?jī)蓚€(gè)相鄰的主極大之間有N-1個(gè)極小值,N-2個(gè)次極大值。5.8.2多縫衍射圖樣N=6:由衍射條紋照相圖5—36可以證實(shí),隨著衍射縫數(shù)的增加,衍射條紋變得越加精細(xì),即亮紋變得越來(lái)越窄。為了解釋這種變化,定義了亮紋的半角寬度,即一個(gè)亮紋和其一側(cè)的第一個(gè)暗紋之間的角距離:由這個(gè)關(guān)系式可看出,N越大,半角寬度越小,即條紋越細(xì)。當(dāng)N極大時(shí),衍射圖樣為幾乎全黑背景上的細(xì)銳的亮線,具有很好的觀察性,可以大大提高測(cè)量的精確度。5.8.2多縫衍射圖樣光柵衍射主極大與相鄰極小值之間的角距離是Δθ,主極大的條紋角寬度為:5.8.2多縫衍射圖樣5.8.2多縫衍射圖樣所以光柵衍射主極大強(qiáng)度為:主極大的強(qiáng)度它們是單縫衍射在各級(jí)主極大位置上所產(chǎn)生強(qiáng)度的N2倍,其中,零級(jí)主極大的強(qiáng)度最大,等于N2

I0。

由于光柵衍射是多縫干涉對(duì)單縫衍射的調(diào)制,所以存在缺級(jí)現(xiàn)象。光柵衍射主極大強(qiáng)度為0時(shí):為衍射角。n=±1,±2,…

5.8.2多縫衍射圖樣缺級(jí)主極大滿足光柵方程:m=0,±1,±2,…此時(shí)m所對(duì)應(yīng)的主極大將消失,成為缺級(jí)。5.8.2多縫衍射圖樣缺級(jí)光柵是一種精細(xì)加工的光學(xué)元件。光柵上有著大量平行、等寬、等距的狹縫,其主要作用是通過(guò)衍射將不同波長(zhǎng)的光分隔開(kāi),即分光。光柵分為透射式和反射式。本節(jié)主要研究的是透射式平面衍射光柵。5.9衍射光柵5.9.1光柵的分光性能一光柵方程光柵方程意義:給定由光柵的多縫衍射形成的衍射圖樣中主最大亮線(光譜線)的形成條件。光柵方程的實(shí)質(zhì):由光程差決定的干涉加強(qiáng)條件。由光柵方程可知,對(duì)于光柵常數(shù)d一定的光柵,不同波長(zhǎng)的光的同級(jí)光譜線對(duì)應(yīng)的衍射角θ不同,因此不同波長(zhǎng)的光在空間位置上會(huì)分開(kāi),這就是光柵的分光原理。當(dāng)入射光和衍射光位于光柵平面法線的同側(cè)時(shí),取正號(hào);當(dāng)入射光和衍射光位于光柵平面法線的異側(cè)時(shí),取負(fù)號(hào)。當(dāng)平行光傾斜入射時(shí),可以根據(jù)光柵方程的實(shí)質(zhì)進(jìn)行修正。設(shè)平行光的入射角為i,光柵方程修正為:5.9.1光柵的分光性能一光柵方程透射光柵的衍射光柵的色散本領(lǐng)1角色散光柵的角色散指波長(zhǎng)差為1埃(0.1nm)的兩條光譜線之間的角距離。色散本領(lǐng)是指分光器件不同波長(zhǎng)的同級(jí)主極大光分開(kāi)的程度,通常用角色散和線色散表示。光柵的角色散可由光柵方程取微分求得:光柵的色散本領(lǐng)1角色散此值愈大,角色散愈大,表示不同波長(zhǎng)的光被分得愈開(kāi)。由該式可見(jiàn):光柵的角色散與光譜級(jí)次m成正比,級(jí)次愈高,角色散就愈大;與光柵刻痕密度1/d成正比,刻痕密度愈大(光柵常數(shù)d愈小),角色散愈大。光柵的色散本領(lǐng)2線色散光柵的線色散是指在聚焦物鏡的焦平面上,相差單位波長(zhǎng)的兩條譜線間分開(kāi)的距離。式中,f是物鏡的焦距。顯然,為了使不同波長(zhǎng)的光分得開(kāi)一些,一般都采用長(zhǎng)焦距物鏡。由于實(shí)用衍射光柵的光柵常數(shù)d通常都很小,亦即光柵的刻痕密度1/d很大,所以光柵光譜儀的色散本領(lǐng)很大。三光柵的色分辨本領(lǐng)色散本領(lǐng)表示了不同波長(zhǎng)的兩個(gè)主極大分開(kāi)的程度。

由于衍射,每一條譜線都具有一定寬度。當(dāng)兩譜線靠得較近時(shí),盡管主極大分開(kāi)了,它們還可能因彼此部分重疊而分辨不出是兩條譜線。分辨本領(lǐng)是表征光譜儀分辨開(kāi)兩條波長(zhǎng)相差很小的譜線能力的參量。三光柵的色分辨本領(lǐng)根據(jù)瑞利判據(jù),當(dāng)λ+Δλ的第m級(jí)主極大剛好落在λ的第m級(jí)主極大旁的第一極小值處時(shí),這兩條譜線恰好可以分辨開(kāi)。如果光柵所能分辨的最小波長(zhǎng)差為Δλ,則分辨本領(lǐng)定義為根據(jù)光柵的角色散式,與角距離Δθ對(duì)應(yīng)的Δλ為主極強(qiáng)與最近的暗紋之間的角距離Δθ為所以,光柵的分辨本領(lǐng)為三光柵的色分辨本領(lǐng)式中,m是光譜級(jí)次;N是光柵的總刻痕數(shù)。該式說(shuō)明,光柵分辨本領(lǐng)與光柵常數(shù)無(wú)關(guān),只與m和N有關(guān)。通常光柵所使用的光譜級(jí)次并不高(m=1~3),但是光柵的刻痕數(shù)很大,所以光柵光譜儀的分辨本領(lǐng)仍然很高。四光柵的自由光譜范圍由于光柵的分光特性,不同波長(zhǎng)的光的同級(jí)譜線在光譜圖上的位置不同,形成一定長(zhǎng)度的譜帶??梢酝茢?,當(dāng)譜線級(jí)數(shù)增大時(shí),較低級(jí)數(shù)的長(zhǎng)波譜線將和較高級(jí)數(shù)的短波譜線在空間位置上發(fā)生重疊,這將會(huì)使光譜圖變得難以辨認(rèn)。因此有必要討論光譜的不重疊區(qū),即自由光譜范圍。光譜儀的自由光譜范圍(或稱(chēng)為色散范圍)是指它的光譜不重疊區(qū)。根據(jù)光柵方程,光譜不重疊區(qū)Δλ應(yīng)滿足:

即四光柵的自由光譜范圍其意義是,波長(zhǎng)為λ的入射光的第m級(jí)衍射,只要它的譜線寬度小于Δλ=λ/m,就不會(huì)發(fā)生與λ的(m-1)或(m+1)級(jí)衍射光重疊的現(xiàn)象。由于光柵都是在低級(jí)次下使用,故其自由光譜范圍很大,在可見(jiàn)光范圍內(nèi)為幾百nm,所以它可在寬闊的光譜區(qū)內(nèi)使用。5.9.2閃耀光柵閃耀光柵又叫炫耀光柵、定向光柵,它彌補(bǔ)了平面光柵的不足。我們注意到,平面衍射光柵之所以零級(jí)主極大占有很大的一部分光能量,是由于干涉零級(jí)主極大與單縫衍射主極大重合,而這種重合起因于干涉和衍射的光程差均由同一衍射角決定。1)閃耀光柵的結(jié)構(gòu)所以,在實(shí)際應(yīng)用中必須改變通常光柵的衍射光強(qiáng)度分布,使光強(qiáng)度集中到有用的那一光譜級(jí)上去。閃耀光柵的結(jié)構(gòu)

5.9.2閃耀光柵1)閃耀光柵的結(jié)構(gòu)如果采用圖a示的,在平面玻璃上刻出鋸齒形細(xì)槽構(gòu)成的透射式閃耀光柵和圖b所示的、在金屬平板表面刻出鋸齒槽構(gòu)成的反射式閃耀光柵,就可以通過(guò)折射和反射的方法,將干涉零級(jí)與衍射中央主極大位置分開(kāi)。在這種結(jié)構(gòu)中,光柵面和鋸齒槽面方向不同,光柵干涉主極大方向是以光柵面法線方向?yàn)槠淞慵?jí)方向,而衍射的中央主極大方向則是由刻槽面法線方向等其它因素決定。5.9.2閃耀光柵1)閃耀光柵的結(jié)構(gòu)2)閃耀光柵的閃耀原理下面,我們以圖所示的反射式閃耀光柵為例,說(shuō)明如何實(shí)現(xiàn)干涉零級(jí)和衍射中央主極大方向的分離。光柵平面假設(shè)鋸齒形槽面與光柵平面的夾角為θ0(該角稱(chēng)為閃耀角),鋸齒形槽寬度(也即刻槽周期)為d,則對(duì)于按φ角入射的平行光束A來(lái)說(shuō),其單槽衍射中央主極大方向?yàn)槠洳勖娴溺R反射方向B。因干涉主極大方向由光柵方程決定:

θ0A(入射光線)n(刻槽面法線)B(衍射零級(jí)方向)N(光柵面法線)d(sinθ+sinφ)=mλ

光柵平面θ0A(入射光線)n(刻槽面法線)B(衍射零級(jí)方向)N(光柵面法線)若希望B方向是第m級(jí)干涉主極大方向,則變換上面的光柵方程形式,B方向的衍射角應(yīng)滿足考察圖所示角度關(guān)系,有αβφθα是入射光線在刻槽面上的入射角。β是衍射零級(jí)方向與刻槽面法線的夾角。φ是入射光線在光柵面上的入射角。θ是衍射零級(jí)方向與光柵面法線的夾角。進(jìn)而有這就是單槽衍射中央主極大方向且為第m級(jí)干涉主極大方向所應(yīng)滿足的關(guān)系式。若m、λ、d和入射角φ已知,即可確定角度θ0。

此時(shí)的B方向光很強(qiáng),就如同物體光滑表面反射的耀眼的光一樣,

所以稱(chēng)該光柵為閃耀光柵。若光沿槽面法線方向入射,則α=β=0,因而φ=θ=θ0。在這種情況下,上式簡(jiǎn)化為

2dsinθ0=mλb

該式稱(chēng)為主閃耀條件,波長(zhǎng)λb稱(chēng)為該光柵的閃耀波長(zhǎng),m是相應(yīng)的閃耀級(jí)次,這時(shí)的閃耀方向即為光柵的閃耀角θ0的方向。因此,對(duì)于一定結(jié)構(gòu)(θ0)的閃耀光柵,其閃耀波長(zhǎng)λb,閃耀級(jí)次和閃耀方向均已確定?,F(xiàn)在假設(shè)一塊閃耀光柵對(duì)波長(zhǎng)λb的一級(jí)光譜閃耀,則上式變?yōu)榇藭r(shí),單槽衍射中央主極大方向正好落在λb的一級(jí)譜線上,又因?yàn)榉瓷涔鈻诺膯尾蹖挾冉频扔诳滩壑芷?,所以λb的其它級(jí)光譜(包括零級(jí)),均成為缺級(jí),如圖所示。一級(jí)閃耀光柵光強(qiáng)分布-1-201現(xiàn)在的優(yōu)質(zhì)光柵可以把近80%的能量集中到所需要的λb的一級(jí)光譜上去,使其強(qiáng)度變強(qiáng)、閃耀,λb稱(chēng)為一級(jí)閃耀波長(zhǎng)。上式還可以看出,對(duì)λb的一級(jí)光譜閃耀的光柵,也分別對(duì)λb/2、λb/3、……的二級(jí)、三級(jí)、……光譜閃耀。2dsinθ0=mλb

盡管?chē)?yán)格說(shuō)來(lái)閃耀光柵在同一級(jí)光譜中只對(duì)閃耀波長(zhǎng)產(chǎn)生極大的光強(qiáng),而對(duì)其它波長(zhǎng)則不能,但由于單槽衍射的中央主極大到極小有一定的寬度,所以閃耀波長(zhǎng)附近一定波長(zhǎng)范圍內(nèi)的譜線也會(huì)得到相當(dāng)程度的閃耀。在現(xiàn)代光柵光譜儀中,很少利用透射式光柵,大量使用的是反射式光柵,尤其是閃耀光柵。5.10.1菲涅耳衍射在菲涅耳近似成立的距離上觀察到的衍射現(xiàn)象。被積函數(shù)含有二次因子,即使對(duì)于簡(jiǎn)單的衍射物(狹縫、圓孔)也難以得到解析解。所以對(duì)于菲涅耳衍射一般不由上式直接計(jì)算,而是采用一些半定量的方法或數(shù)值計(jì)算方法。5.10圓孔和圓屏的菲涅耳衍射5.10.2菲涅耳波帶法下圖繪出了一個(gè)單色點(diǎn)光源S照射圓孔衍射的情況,P0是圓孔中垂線上的一點(diǎn),在某時(shí)刻通過(guò)圓孔的波面為MOM′(Σ),半徑為R。SSP0M‘MR5.10.2菲涅耳波帶法現(xiàn)在以P0為中心,以z1,z2,…,zN為半徑,作出一系列球面,每個(gè)球面都與Σ相交成圓,把Σ分成N個(gè)環(huán)帶。

z2,…,zN滿足:SP0M‘MRz1h5.10.2菲涅耳波帶法因此,相鄰兩個(gè)環(huán)帶上的相應(yīng)兩點(diǎn)到P0點(diǎn)的光程差為半個(gè)波長(zhǎng),這樣的環(huán)帶叫菲涅耳半波帶(或菲涅耳波帶)。SP0M‘MRz1設(shè)分別為第1、第2、……、第N個(gè)波帶在P0點(diǎn)產(chǎn)生光場(chǎng)的復(fù)振幅,則由惠更斯—菲涅耳原理,P0點(diǎn)的光場(chǎng)振幅應(yīng)為各波帶在P0點(diǎn)產(chǎn)生光場(chǎng)振幅的疊加,近似為:5.10.2菲涅耳波帶法1.P0點(diǎn)光強(qiáng)的計(jì)算5.10.2菲涅耳波帶法1.P0點(diǎn)光強(qiáng)的計(jì)算N為偶數(shù)N為奇數(shù)SP0M‘MRz15.10.2菲涅耳波帶法1.P0點(diǎn)光強(qiáng)的計(jì)算由惠更斯—菲涅耳原理可知,各波帶在P0點(diǎn)產(chǎn)生的振幅|Ej|主要由三個(gè)因素決定:波帶的面積大小Aj;波帶到P0點(diǎn)的距離rj;波帶對(duì)P0點(diǎn)連線的傾斜因子K(θ),且SP0M‘MRz1

波帶面積Aj的計(jì)算5.10.2菲涅耳波帶法1.P0點(diǎn)光強(qiáng)的計(jì)算由z1》λ,可近似得到各波帶面積近似相等。5.10.2菲涅耳波帶法1.P0點(diǎn)光強(qiáng)的計(jì)算將求得的半波帶面積、距離和、傾斜因子代入,可以得到各個(gè)波帶在P0點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)振幅可見(jiàn),隨著j增大,rj、θj也相應(yīng)增大,所以各波帶在P0點(diǎn)所產(chǎn)生的光場(chǎng)振幅將隨之單調(diào)減小,這種變化比較緩慢,所以近似有下列關(guān)系:5.10.2菲涅耳波帶法1.P0點(diǎn)光強(qiáng)的計(jì)算于是,在n為奇數(shù)時(shí)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)N較大時(shí),|En-1|≈|En|

,故有n為偶數(shù)時(shí),取負(fù)號(hào);

n為奇數(shù)是,取正號(hào)。5.10.2菲涅耳波帶法1.P0點(diǎn)光強(qiáng)的計(jì)算5.10.2菲涅耳波帶法2.討論當(dāng)半波帶總數(shù)n

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