初中數(shù)學(xué)人教八年級(jí)上冊(cè)軸對(duì)稱-課題學(xué)習(xí)最短路徑問題

教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)：能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．

過程與方法目標(biāo)：建立數(shù)學(xué)模型，利用轉(zhuǎn)化思想，解決具體問題情感與態(tài)度目標(biāo)：通過交流探索，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和合作意識(shí)；通過生教生的方式，充分發(fā)揮學(xué)生的作用，提高課堂達(dá)成率，增強(qiáng)學(xué)生自信心。教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題．如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題．如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？知識(shí)回顧選第②條兩點(diǎn)之間，線段最短三角形兩邊之和大于第三邊垂線段最短前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“三角形兩邊之和大于第三邊”“垂線段最短”等問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}?，F(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題。復(fù)習(xí)導(dǎo)入探究相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？lAB將軍飲馬問題精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題．這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬問題”你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？lAB探究將A，B兩地抽象為兩個(gè)定點(diǎn)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．你能要自己的數(shù)學(xué)語言重新描述一下將軍要走的最短路徑問題嗎？探究將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．你能要自己的語言重新描述一下問題嗎？CC是直線l上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC+BC最??？已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最?。畠牲c(diǎn)在一條直線異側(cè)這是為什么呢？?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短連接AB，線段AB與直線l的交點(diǎn)P，就是所求．探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？能不能把點(diǎn)在同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在異側(cè)的問題呢？提示：將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，得滿足

直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持

CB與CB′的長(zhǎng)度相等．

你想到怎么做了嗎？探究如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？作法：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．你能證明此時(shí)AC+BC最短嗎？B’C證明

證明此時(shí)AC+CB最短【提示】：沒有比較就不會(huì)產(chǎn)生大小。通常我們要在直線上任取一點(diǎn)C'（與C點(diǎn)不重合），只要證明AC'+BC'>AC+BC即可。證明證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′∵AC′+B′C′＞AB′∴AC′+B'C′＞AC+BC∴AC′+BC′＞AC+BC

證明此時(shí)AC+CB最短即AC+BC最短．例題某供電部門準(zhǔn)備在輸電干線上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向A，B兩個(gè)居民小區(qū)送電.如果居民小區(qū)A，B在主干線l的同旁，如圖所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？在圖上標(biāo)注位置，并說明理由.B’練習(xí)如圖，P，Q是△ABC的邊AB，AC上的兩定點(diǎn)，在BC上求作一點(diǎn)M，使△PMQ的周長(zhǎng)最短．提示：這本質(zhì)上是“兩定一動(dòng)”

求“最短路徑問題”．p'M總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)到了什么？條件特點(diǎn)簡(jiǎn)稱為：兩定一動(dòng)

最短路徑問題直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)和直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題特點(diǎn)求線段和最小求解思路利用軸對(duì)稱，化折為直求解原理兩點(diǎn)之間，線段最短作業(yè)1、如圖，在ABC中，AB=3，AC=4，AB垂直于AC，E