歷年考研數(shù)學(xué)二真題

1x1x1x

1411

1x2x0x2

1x

1xlim2

1x2

1~121 1x0 121 2 121 2110

lim1x10

11x11 1

1

2 注 1x0可求【詳解3】采用1u 余項(xiàng)較簡(jiǎn)單.當(dāng)u01u1u1u2ou2111x1x2ox21 81

x

1x2ox211 1 11x1x211x1x2ox2x原式= x

ox2lim x0 4曲線yx3x22x與x軸所圍成的圖形的面積A 【答 2 A0x3x22xdx2x3x2

x4x3

24 3 1 2

dx sin2【答】cotxlnsinxcotxx

dxlnsinxdcotxcotxlnsinxcot2sin2 cotxlnsinxcsc2x1cotxlnsinxcotxX設(shè)fx連續(xù)，則dxtfx2t2dt dx【答】xfx2【詳解】令ux2t2dy當(dāng)t0ux2當(dāng)txu0 x2 dx

tfxtdtdx

fuduxfx2曲線yxlne1x0的漸進(jìn)線方程 x

yxe

xlne1 1a limlne xblimyax 1 limxln x 1 lnex

xe yx1e設(shè)數(shù)xnyn滿足limxnyn0,則下列斷言正確的xn發(fā)散，則yn必發(fā)散若xn，則yn必有界xn有界，則yn必有無窮小1x 為無窮小，則yn必為無窮小xn【答】應(yīng)選【詳解】方法一：limylimxylim1n n

nx2k1,n2k1k1, 0,ny0,n2k1k1, 2k,n便排除了對(duì)于（C），若數(shù)列xn0yn可為任意數(shù)列，所以（C）項(xiàng)也不正確故應(yīng)選fxx2x2x3x 【答】應(yīng)選【詳解】因?yàn)閒xx2x2x3xx2x1xx1x1 fx的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2. 已知函數(shù)yyx在任意點(diǎn)x處的增 y1x2,且當(dāng)x0時(shí)， xy0（A）e4（B）（C）e4（D）【答】應(yīng)選【詳解】 yy1

y y x0得y' 2

x1 1解此微分方程并利用初始條件由y0,yearctan y1earctanxe4設(shè)函數(shù)fxxa的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且fa為其幾大值，則存在0xaa時(shí)，必（A）xafxfa（B）xafxfaftf

0xt tftft

0xt【答】應(yīng)選【詳解 由題設(shè)，存在鄰域a,a，使當(dāng)xa,a時(shí)，fxfafxfa，axaxafxfaaxaxafxfa因此（A（B）不成立考慮到（C（D）兩項(xiàng)中分母均大于零，而分子部分有tt

fafxA是任nn3階方陣，A*k為常數(shù)k01，則必kA* （A） （B）kn1 （C）kn （D）k【答】應(yīng)選【詳解】方法一：AA*A*AA A*

AkA*kAkA1kn1Akn1

A1A1所以應(yīng)選由A*的定義，設(shè)Aa ，其元素a的代 式記作A，則矩陣kAka ij ij若其元素的代 式記作iji,j1,

i,j1, ,從而kA*kn1x求函fx1xtanx在區(qū)間02內(nèi)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型4 35 【詳解】tan 4

在區(qū)間0,2內(nèi)不存在的點(diǎn)為x, , , 各點(diǎn)，fx在區(qū)02內(nèi)的間斷點(diǎn)是35

tanx

4即x , , , 各點(diǎn) x4

tt4

fx在x 處4

t5t 4

fx故x 3

處，fx為第二類間斷點(diǎn)在x 處4

t3t 4

fx在x

fx的可去間斷點(diǎn) ， 為fx的可去間斷點(diǎn) 四、確定常數(shù)a,b,c的值，使limaxsin ccx0ln1t3txln1t3故lim

dt0因此btx0

ln1t3因若b0,則在0,b內(nèi)， 0；tln1t3若b0，則在b,0內(nèi) t利 lim xln1 x0ln1

acos.2. a1，則上式為，與條件不符，故a11得c

2uucos【詳解】方法一：

有uycosxxu'y'cosxysinu''y''cosx2y'sinxycosu'4u

xuC1cos2xC2sin2xx5

cos yC1cosxC2sinx5cosyusecy'u'secxusecxtany''u''secxu'secxtanxusecxtan2xusec3u'4u 六、計(jì)算積分 2 x【詳解 2 x2 lim 14x 1214x 12 1limarcsin2x1 2 lim 0

1 x 1 1 limlnx x 1ln2

3

2 2 因 ln2 xx y（從海平面算起）與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用.設(shè)儀器的質(zhì)量為m,體積為B,海水為,儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為kk0.試建立y與v所滿足的微分方程，并求出yy【詳解】取沉放點(diǎn)為原點(diǎn)O,Oy軸正向鉛直向下，則由第二定律這是可降階的二階微分方程，其中v d2 dv

d2mdt2mgB.

v dt dy

mvdvmgBkv,

dy mgB

ymvmmgBlnmgBkv k|再根據(jù)初始條件 0,|mmgBC lnmgBkv,k2

ymvmmgBlnmgBkv k mg八、yfx是區(qū)間0,1上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)試證存在x00,1,使得再區(qū)間0,x0上以fx0為高的矩形面積，等于再區(qū)間x0yfx為曲邊的梯形面積 2f又設(shè)fx在區(qū)間0,1內(nèi)可導(dǎo)，且fx x【詳解（1）令xx1ftdt則x在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間0,1x又010由羅爾定理知x0,1使x0'xxfx0 01

ftdt也 fx1（2）Fxxfxxft Fx在0,1內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加，從而Fx0的點(diǎn)xx0必唯一，故（1）中的一的xx xxx0則切點(diǎn)為x0 12x0y x12x0又因它經(jīng)過原點(diǎn)，以點(diǎn)0,0代入2x01x0解 x0

x01，曲線y

y11x2 y12切點(diǎn)為2,1，由曲線段y 1x2繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)面的面積2S12

2y1y'2dx1

4x3dx52652

由直線y1x0 x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)面的面積2S221x 5dx 5SSS 5 1十、設(shè)yyx是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(diǎn)x,y處的曲率為 線上點(diǎn)0,1處的切線方程為yx1，求該曲線的方程，并求函數(shù)yyx的極值.1

11y'2 y''1y'2曲線經(jīng)過點(diǎn)0,1，故y01,又因在該點(diǎn)處的切線方程為yx1，即切線斜率為1，于y'01問題歸結(jié)為y''1y'2 的特解 y'p,y''

y01,y0p'1p2p01代入，

arctanpC1Carctan1

yptan x4 4ytanxdxlncosx y01,代入C11ln ylncosx11ln ylncosx11ln2,x,3 44 3 當(dāng)x 或x 時(shí)，cos x0,y xy4y11ln2十一、設(shè)x0,1，證明（1）1xln21x ln1 （1）令x1xln21x0'xln21x2ln1x2x,'01''x2ln1x1 2ln1 x 0,x0,11所以x

x00x0,xx0,1xln21xx2（2）令fx 1,xln1 f'x

1xln21xx2x21xln21由(1)知，fxx0,1時(shí).于是推知在0,1內(nèi)，fx單調(diào)減少.又fx在區(qū)間0,1上連f11ln

故當(dāng)x0,1fx

1ln1

1x

1ln

fx

xln1xlimxln1ln1 故當(dāng)x0,1

x02x1 fx 1ln1 十二、設(shè)2EC1BATC1,E4階單AT4階矩A的轉(zhuǎn)置矩陣

B ,C 2 A

1 【詳解】由題設(shè)得C2EC1BATE即2CBAT 由于2CB ,2CB1 12CB可逆 A2CB1T2CB

十三、已知1,4,02T,27,13T,0,1,1,aT3,10b4 （1）ab取何值不能由123線性（2）ab取何值時(shí)，能由123線性表示？并寫出其表達(dá)式【詳解】因?yàn)?/p>

3 3A

10 2 1 b 1 b

1 2 0 3