說明高數(shù)課件

Qyn zn

ynxnzn0,N10,N20,nN1時(shí)恒ynanN2時(shí)恒取Nmax{N1,N2 上兩式同時(shí)成立即ayna azna

anN時(shí),

aynxnznaxn

成立 limxn上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函準(zhǔn)則果當(dāng)xU0x)

M g(x)f(x)h(limg(x) limh(x)x(x

x(x那末 f(x)存在,且等于x (x)準(zhǔn)則和準(zhǔn)則稱 準(zhǔn)則注意:利 準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵是構(gòu)造出yn與zn并且yn與zn的極限是容易求的例1求

L

解 n2

Ln2

n2 n2又

n2

1n 定理n

n2 n

1L

)

n2

n2

n2重要極限limlimsinxxx設(shè)單O,圓心角AOBx,(0x2

Box 作單位圓的切線，得ACO 扇形OAB的圓心角為xOAB的高為BD則sinxBDxABtanxsinxxtan

即cosxsinxx

Bx 上式對(duì)于x0也成立 當(dāng)02

x時(shí)20cosx

1cosx2sin2 x

2(x)2

x22Qlim2x

lim(1cosx)xlimcosx 又Qlim1

limsinxx x

x 例3x

1cosxlimlimsin[]解原式

2sin221

sin212 1

sin2)21

1x例4：求x

xarcsinx

2x

(x2

2x 2解：令tarcsinx，則sintx,當(dāng)x0時(shí)，tlimarcsinx x t0sin2.如果xn滿足條x1x2Lxnxn1L

單調(diào)增

單調(diào)數(shù)x1x2Lxnxn1L 單調(diào)減準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限幾何解釋

x3xn

xn1 nn例2證明數(shù)xn式的極限存在證xn1xn

333L3x是單調(diào)n

(n又Qx1

3,xk

xk1

3

33xn是有上界的 33

存在33

x

3x limx lim(3xn1

A23

2

,A12

13(舍去nlimn

1 2

lim(11)n

(e2.71828L)設(shè) (11)n1n1n(n1)1Ln(n1)L(nn1) 1!

111(11)L 1(11)(12)L(1n 111 )L1 )L(1n

n

n n

n )L(1 ,(n n n n,

n1

x是單調(diào)遞增的n 111L 111L

3

x是有上界的;lim 存在 記為lim(11)n

lim(1lim(11)xxx證明：對(duì)x0n有nxxx＝n

[x]

)[x](11)x(1 1)[x]1 [lim11x]1lim11x]lim11)x

[

x

[

x

[lim(1x

[x]

)[x]lim(1x

[x]

)[x]1lim(1x

[x]

)1lim(11)xx lim(11)xx t

lim(1 x

lim(1t

)tlim(1t

t

lim(1t

t

)t1(1

t

lim(11)x1lim(1x)

x xt1x

lim(1x)xx0

lim(1t

tt1lim(1x) x0li11[]li11[]e或li1[]x 原式lim[(1

1)x]1

1x

x

1) 例5lim3x)2xx 2 2解原式lim[(1x x

)x2]x

e2三、小兩個(gè)準(zhǔn)則;單調(diào)有界設(shè)為某過程中的無窮 sin 某過

lim(1 某過limsinx

適用含有三角函數(shù)，反三角函數(shù)的

型的極限“ sin1令t

sinlimx

1 1

t0

limx0sin

(當(dāng)0，limsinx

limsinxx0sin

x 解：令t1

limttan(tsin222sin222lim[tt0

t)]t0

cos 2一般形

limsin[]

冪指函數(shù)——gx)]f一般，limfx)A,limgx)B0時(shí)，lim[gxfx)[limgx)]limfx)BA若Alim(11)xx 適用于：型的冪指函數(shù)的極限1一般li1[]e或li1[]

x1x12x

xx12xlim(12x) x0

令u2令u2lim(12ulim[(1u)1u或 lim(12x)x0

122x

e21一般形1[]e或i1[]

思考 求極

11思考題解1lim3x9x1

1

1

1 13

3x9lim1

x

9e0x

3 作業(yè)1-1（4、5、2（3、4（3、4、一、填空題limsinx

. 2、limsin2x x0sin33、limarccotx 4、limxcot3x 5、limsinx 216、lim(1x) 7、lim(1x)2x 8、lim(11)x 二、求下列各極限lim