理論力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

6.1剛體平

面運(yùn)動(dòng)方程及運(yùn)動(dòng)分解6.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析6.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析6.5結(jié)論與討論6.4運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用舉例6.6參考性例題第6章剛體的平面運(yùn)動(dòng)分析目前一頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)第1篇工程靜力學(xué)基礎(chǔ)：受力分析，力系的等效簡化，力系的平衡條件及其應(yīng)用；第2篇工程運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)：運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)（位置隨時(shí)間的變化規(guī)律，物體運(yùn)動(dòng)的軌跡、速度和加速度等），而不涉及引起運(yùn)動(dòng)的物理原因。第3篇工程動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)：物體上作用的力系和物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)之間的一般關(guān)系。目前二頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)第3篇工程動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第7章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第8章動(dòng)量定理及其應(yīng)用第9章動(dòng)量矩定理及其應(yīng)用第10章動(dòng)能定理及其應(yīng)用第11章達(dá)朗貝爾原理及其應(yīng)用第12章虛位移原理及其應(yīng)用第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和第二類拉格朗日方程本課程有部分內(nèi)容與《大學(xué)物理》重復(fù)，如點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)、剛體簡單運(yùn)動(dòng)、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量、動(dòng)量矩和動(dòng)能定理等，對這些內(nèi)容，本課程只作適當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)或讓學(xué)生自學(xué)。目前三頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)艦載飛機(jī)在發(fā)動(dòng)機(jī)和彈射器推力作用下從甲板上起飛工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問題第3篇工程動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)目前四頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

若已知初速度、一定的時(shí)間間隔后飛離甲板時(shí)的速度，則需要彈射器施加多大推力，或者確定需要多長的跑道。

若已知推力和跑道可能長度，則需要多大的初速度和一定的時(shí)間隔后才能達(dá)到飛離甲板時(shí)的速度。目前五頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)爆破時(shí)煙囪怎樣倒塌目前六頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

棒球在被球棒擊打后，其速度的大小和方向發(fā)生了變化。如果已知這種變化即可確定球與棒的相互作用力。Fv1v2目前七頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)載人飛船的交會與對接Av1Bv2目前八頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)高速列車的振動(dòng)問題目前九頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)第3篇工程動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

工程動(dòng)力學(xué)主要研究兩類問題，一類是：已知物體的運(yùn)動(dòng)，確定作用在物體上的力；另一類是：已知作用在物體上的力，確定物體的運(yùn)動(dòng)。實(shí)際工程問題中多以這兩類問題的交叉形式出現(xiàn)。總之，工程動(dòng)力學(xué)研究作用在物體上的力系與物體運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。

目前十頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

研究作用在物體上的力系與物體運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，主要是建立運(yùn)動(dòng)物體的力學(xué)模型，亦即建立描述受力物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的數(shù)學(xué)方程，稱為動(dòng)力學(xué)問題的基本方程和普遍定理。

工程動(dòng)力學(xué)的研究對象是質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系（包括剛體），因此動(dòng)力學(xué)一般分為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)，前者是后者的基礎(chǔ)。

目前十一頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)第7章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)(dynamicsofaparticle)研究作用在質(zhì)點(diǎn)上的力和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。本章主要介紹質(zhì)點(diǎn)在慣性與非慣性系下的運(yùn)動(dòng)微分方程和簡單的振動(dòng)問題。

目前十二頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)7.2

非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程7.3

機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)7.4

結(jié)論與討論7.1

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程7.5

參考性例題第7章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)目前十三頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

牛頓第二定律

——質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力系的合力。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為常量時(shí)

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)加速度的乘積等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力系的合力。

物理學(xué)的已有基礎(chǔ)7.1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程目前十四頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

設(shè)有質(zhì)點(diǎn)M，其質(zhì)量為m，作用其上的力有F1，F(xiàn)2，…,Fn，合力為FR

，根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)在慣性系中的運(yùn)動(dòng)微分方程有以下幾種形式：目前十五頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

矢量形式

直角坐標(biāo)形式自然坐標(biāo)形式目前十六頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)自然坐標(biāo)形式at和an分別為質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和質(zhì)點(diǎn)的法向加速度;為運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑；Fit、

Fin、

Fib分別為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力Fi在自然坐標(biāo)軸方向上的分量。目前十七頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

應(yīng)用矢量形式的微分方程進(jìn)行理論分析非常方便，但求解一些具體問題有時(shí)很困難，而且所得到的解答的物理意義也不很明顯。因此，多數(shù)問題的求解仍需要根據(jù)具體問題，選擇其它合適坐標(biāo)系。

直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程，原則上適用于所有問題，但對某些問題，仍有不方便之處。例如，如果質(zhì)點(diǎn)沿球面或柱面運(yùn)動(dòng)，用直角坐標(biāo)就不如用球坐標(biāo)或柱坐標(biāo)方便。

除了以上幾種常用的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程外，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，還可以選用柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)等形式的運(yùn)動(dòng)微分方程。正確分析運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，選擇一組合適的微分方程，會使求解問題的過程大為簡化。目前十八頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

應(yīng)用舉例求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題的過程與步驟如下1.確定研究對象，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；2.進(jìn)行受力分析，畫出相應(yīng)的受力圖；3.進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，計(jì)算出求解問題所需的運(yùn)動(dòng)量；4.列出質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的運(yùn)動(dòng)微分方程，分清是第一類問題還是第二類問題，分別用微分或積分法求解；5.根據(jù)需要對結(jié)果進(jìn)行必要的分析討論。目前十九頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)單擺由一無重量細(xì)長桿和固結(jié)在細(xì)長桿一端的重球組成。桿長為OA=l，球質(zhì)量為m。試求：

1.

單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程；

2.

在小擺動(dòng)的假設(shè)下分析擺的運(yùn)動(dòng)；

3在運(yùn)動(dòng)已知的情形下求桿對球的約束力。mmmm例題

1目前二十頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

解：1.

單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程－這是已知力求運(yùn)動(dòng)，屬于第二類動(dòng)力學(xué)問題。

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，故采用自然坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程比較合適。目前二十一頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)解：1.

單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程：

其中第一式描述了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，也就是所要求的單擺運(yùn)動(dòng)微分方程；第二式給出了桿對球約束力的表達(dá)式。目前二十二頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)在小擺動(dòng)的條件下，擺作微幅擺動(dòng)：于是，上式中的第1式變?yōu)?/p>

解：2.

分析小擺動(dòng)條件下，擺的運(yùn)動(dòng)目前二十三頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)令其通解為

其中常數(shù)A和由初始條件決定。解：2.

分析小擺動(dòng)條件下，擺的運(yùn)動(dòng)上式可以化為二階線性齊次微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式目前二十四頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

解：3.

在運(yùn)動(dòng)已知的情形下求桿對球的約束力：

現(xiàn)在是已知運(yùn)動(dòng)，要求力，屬于第一類動(dòng)力學(xué)問題。根據(jù)已經(jīng)得到的單擺運(yùn)動(dòng)微分方程目前二十五頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)解：4.

討論：

本例如果采用直角坐標(biāo)形式建立運(yùn)動(dòng)微分方程，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，xy其中x、y、θ三個(gè)變量相互不獨(dú)立，所以需要建立x、y、θ三個(gè)變量之間的關(guān)系，因而會給求解方程帶來困難。也就是說上述方程雖然是正確的，但解題過程不方便。目前二十六頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)7.2

非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

牛頓第二定律僅適用于慣性參考系(inertialreferencesystem)，但由于地球的自轉(zhuǎn)，嚴(yán)格意義上的慣性系并不存在。在許多工程問題中，如宇航員在航天器中的運(yùn)動(dòng)；水流沿水輪機(jī)葉片的運(yùn)動(dòng)等，宇航員和水流都是在非慣性系中運(yùn)動(dòng)。本節(jié)將討論質(zhì)點(diǎn)在非慣性參考系(non-inertialreferencesystem)下的運(yùn)動(dòng)微分方程。目前二十七頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

實(shí)際問題之一－轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤上皮帶的變形目前二十八頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)目前二十九頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)目前三十頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

實(shí)際問題之二－傅科擺目前三十一頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

北半球由南向北流動(dòng)的河流對河岸將產(chǎn)生什么作用

實(shí)際問題之三－河流對河岸的沖刷作用？目前三十二頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

北半球由南向北流動(dòng)的河流對河岸將產(chǎn)生什么作用？目前三十三頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)7.2非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

應(yīng)用舉例

質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程

相對靜止與相對平衡目前三十四頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)srsaPr′xzyOx′z′y′O′慣性參考系－Oxyz非慣性參考系－O′x′y′z′

絕對運(yùn)動(dòng)軌跡sa－質(zhì)點(diǎn)P在慣性參考系中的運(yùn)動(dòng)軌跡

相對運(yùn)動(dòng)軌跡

sr－質(zhì)點(diǎn)P在非慣性參考系中的運(yùn)動(dòng)軌跡

研究質(zhì)點(diǎn)在非慣性參考系中的運(yùn)動(dòng)需要先研究質(zhì)點(diǎn)在慣性參考系中的運(yùn)動(dòng)。相對位矢r′

質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程目前三十五頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

研究質(zhì)點(diǎn)在非慣性參考系中的運(yùn)動(dòng)需要先研究質(zhì)點(diǎn)在慣性參考系中的運(yùn)動(dòng)。r′－相對位矢FF

－作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對質(zhì)點(diǎn)P應(yīng)用牛頓第二定律aa－質(zhì)點(diǎn)的絕對加速度。srsaPr′xzyOx′z′y′O′目前三十六頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)P應(yīng)用牛頓第二定律根據(jù)加速度合成定理aa－質(zhì)點(diǎn)的絕對加速度ae－質(zhì)點(diǎn)的牽連加速度ar－質(zhì)點(diǎn)的相對加速度aC－質(zhì)點(diǎn)的科氏加速度目前三十七頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)－稱為牽連慣性力(connectedinertialforce)－稱為科氏慣性力(Coriolisinertialforce)－分別為非慣性系的角速度與質(zhì)點(diǎn)的相對速度。目前三十八頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

此即非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，它表明：

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)的相對加速度的乘積等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的外力的合力與牽連慣性力以及科氏慣性力的矢量和。目前三十九頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

當(dāng)非慣性參考系僅作平移時(shí)目前四十頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)當(dāng)動(dòng)系相對定系作勻速直線平動(dòng)時(shí)，

這一方程與慣性系下的牛頓第二定律表達(dá)式具有完全相同的形式。這表明所有相對于慣性參考系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系都是慣性系。目前四十一頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)慣性參考系－地球非慣性參考系－飛機(jī)動(dòng)點(diǎn)－血流質(zhì)點(diǎn)

牽連慣性力向下，從心臟流向頭部的血流受阻，造成大腦缺血，形成黑暈現(xiàn)象。

若干自然現(xiàn)象的解釋

飛機(jī)急速爬高時(shí)飛行員的黑暈現(xiàn)象爬升時(shí)：a>5g目前四十二頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)俯沖時(shí)：a>2g

飛機(jī)急速俯沖時(shí)飛行員的紅視現(xiàn)象慣性參考系－地球非慣性參考系－飛機(jī)動(dòng)點(diǎn)－血流質(zhì)點(diǎn)

牽連慣性力向上，使血流自下而上加速流動(dòng)，造成大腦充血，形成紅視現(xiàn)象。目前四十三頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)慢速轉(zhuǎn)動(dòng)的大盤使快速運(yùn)動(dòng)的皮帶變形慣性參考系－地球非慣性參考系－大盤

動(dòng)點(diǎn)－皮帶上的小段質(zhì)量m

牽連慣性力－大盤轉(zhuǎn)速很慢，牽連加速度很小，m的牽連慣性力可以忽略不計(jì)。目前四十四頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)慢速轉(zhuǎn)動(dòng)的大盤使快速運(yùn)動(dòng)的皮帶變形

牽連慣性力——大盤轉(zhuǎn)速很慢，牽連加速度很小，m的牽連慣性力可以忽略不計(jì)。

科氏力——m的科氏加速度aC＝2vr,科氏力FIC＝－2m

vr

，使皮帶變形。目前四十五頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)慢速轉(zhuǎn)動(dòng)的大盤使快速運(yùn)動(dòng)的皮帶變形目前四十六頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

由于地球的自轉(zhuǎn)引起的水流科氏慣性力。目前四十七頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

水流科氏慣性力對右岸的沖刷目前四十八頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

相對靜止與相對平衡當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對動(dòng)參考系靜止時(shí)，有

這種情形稱為質(zhì)點(diǎn)相對靜止。上述方程給出了質(zhì)點(diǎn)相對靜止的條件,稱為質(zhì)點(diǎn)相對靜止平衡方程。目前四十九頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對動(dòng)系作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，有

這種情形稱為質(zhì)點(diǎn)相對平衡。上述方程給出了質(zhì)點(diǎn)相對平衡條件,稱為質(zhì)點(diǎn)相對平衡方程。目前五十頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

比較上述兩種情形，可以看出，在非慣性系中，質(zhì)點(diǎn)相對靜止和相對平衡的條件是不同的,因此，處理具體問題時(shí)要正確區(qū)分這兩種不同的情形。相對靜止相對平衡目前五十一頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)7.2

非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程

應(yīng)用舉例

分析和處理質(zhì)點(diǎn)相對非慣性系的運(yùn)動(dòng)問題，一般應(yīng)按下列步驟進(jìn)行：

與求解慣性系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程是一樣的流程，只是在寫出運(yùn)動(dòng)微分方程后將相對運(yùn)動(dòng)的加速度和力導(dǎo)出來顯示即可。建立坐標(biāo)系，選定適當(dāng)?shù)膭?dòng)參考系；受力分析，畫受力圖；

計(jì)算力。計(jì)算各種真實(shí)力和慣性力；

列出質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程；求解基本方程并對結(jié)果加以分析和驗(yàn)證。進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，正確區(qū)分并確定不同的加速度；目前五十二頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

例題2

車廂沿水平軌道向右作勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a，車廂內(nèi)懸掛一單擺，擺長為l,擺球的質(zhì)量為m。試分析擺的運(yùn)動(dòng)。m目前五十三頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)m解：1.建立固接在車廂上單擺懸掛點(diǎn)O處的動(dòng)坐標(biāo)系Ox′y′。牽連慣性力為2．?dāng)[球的相對運(yùn)動(dòng)為繞O點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)：采用弧坐標(biāo)，在運(yùn)動(dòng)軌跡的切線軸上建立相對運(yùn)動(dòng)微分方程x′y′O

因?yàn)閯?dòng)系以勻加速度作平移，所以擺球上只有牽連慣性力，而沒有科氏慣性力。

目前五十四頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)x′y′Omamg

2．?dāng)[球的相對運(yùn)動(dòng)為繞O點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)：采用弧坐標(biāo)，在運(yùn)動(dòng)軌跡的切線軸上建立相對運(yùn)動(dòng)微分方程或者利用s=lθ

這一方程為非線性微分方程。

3．利用微幅擺動(dòng)時(shí)θ很小的條件

目前五十五頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)3．利用微幅擺動(dòng)時(shí)θ很小的條件此為強(qiáng)迫振動(dòng)方程，與例題1相比，擺振動(dòng)的周期和頻率都沒有變化，只是通解由

這表明當(dāng)車以勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺球并不是在最底點(diǎn)附近作微擺動(dòng)，而是在0附近擺動(dòng)。也就是說微分方程的非齊次項(xiàng)，只改變了擺球的振動(dòng)中心位置，而對系統(tǒng)本身的振動(dòng)規(guī)律沒有影響。x′y′Omamg目前五十六頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)7.2

非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程7.3機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)7.4

結(jié)論與討論7.1

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程7.5

參考性例題第7章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)目前五十七頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)7.3機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)

物體在某一位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為機(jī)械振動(dòng)，簡稱振動(dòng)。常見的振動(dòng)有鐘擺的運(yùn)動(dòng)、汽缸中活塞的運(yùn)動(dòng)等。振動(dòng)在許多情形下是有害的，但若能掌握其規(guī)律，消其弊揚(yáng)其利，則能使其更好的為人類服務(wù)。

本節(jié)以物理學(xué)中牛頓動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)，研究單自由度系統(tǒng)的機(jī)械振動(dòng)，重點(diǎn)是如何將單自由度系統(tǒng)簡化為等效的質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)（即彈簧振子），其要點(diǎn)是如何確定質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)中的等效質(zhì)量和彈簧的等效剛度，為今后繼續(xù)研究機(jī)械振動(dòng)奠定基礎(chǔ)。目前五十八頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立等效質(zhì)量與等效剛度7.3機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)目前五十九頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

質(zhì)量塊受初始擾動(dòng)，僅在恢復(fù)力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)稱為自由振動(dòng)(freevibration)。

考察圖中所示之彈簧振子，設(shè)質(zhì)量塊的質(zhì)量為m，彈簧的剛度為k，由牛頓定律令彈簧振子的無阻尼自由振動(dòng)m目前六十頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)此式稱為無阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。其解為自由振動(dòng)的固有圓頻率A為自由振動(dòng)的振幅；為初相位。A與均由初始條件確定。自由振動(dòng)的周期m目前六十一頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

振動(dòng)中的阻力,習(xí)慣上稱為阻尼。這里僅考慮粘性阻尼(viscousdamping)，粘性阻尼的阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度成正比，阻力的方向與速度矢量的方向相反，即其中比例常數(shù)c稱為粘性阻尼系數(shù)(coefficientofvicousdamping)。彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng)目前六十二頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

圖中所示為彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng)的力學(xué)模型，根據(jù)牛頓定律這一方程稱為有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，其特征方程為對于不同的n值，特征方程的解有三種不同形式，相應(yīng)的微分方程的解也有三種形式：目前六十三頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

弱阻尼狀態(tài)（或欠阻尼狀態(tài)）有阻尼自由振動(dòng)微分方程的解為特征方程的解為一對共軛復(fù)根有阻尼自由振動(dòng)微分方程的解為A和為積分常數(shù)，由初始條件確定。此時(shí)振子的運(yùn)動(dòng)是一種振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的振動(dòng)。目前六十四頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)相鄰的兩個(gè)振幅之比稱為減縮系數(shù)，

振幅的包絡(luò)線的表達(dá)式為為阻尼振動(dòng)的周期。為應(yīng)用方便，常引入對數(shù)減縮率，目前六十五頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)對于不同的n值，特征方程的解有三種不同形式，相應(yīng)的微分方程的解也有三種形式：

強(qiáng)阻尼狀態(tài)特征方程的解為彈簧振子的有阻尼自由振動(dòng)目前六十六頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)有阻尼自由振動(dòng)微分方程的解為C1和C2為積分常數(shù)，由初始條件決定。

強(qiáng)阻尼狀態(tài)下，振子已不能振動(dòng)，系統(tǒng)將緩慢回到平衡狀態(tài)。

臨界阻尼狀態(tài)特征方程的解為有阻尼自由振動(dòng)微分方程的解為

臨界阻尼狀態(tài)下，振子也不能振動(dòng)，系統(tǒng)將較快回到平衡狀態(tài)。目前六十七頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

受迫振動(dòng)是系統(tǒng)在外界激勵(lì)下所產(chǎn)生的振動(dòng)。

圖中所示為受迫振動(dòng)的力學(xué)模型。系統(tǒng)在激振力F作用下發(fā)生振動(dòng)。

外激振力一般為時(shí)間的函數(shù)，最簡單的形式是簡諧激振力：彈簧振子的受迫振動(dòng)目前六十八頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

外激振力一般為時(shí)間的函數(shù)，最簡單的形式是簡諧激振力：對質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律，有這一方程稱為有阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，若其中第二項(xiàng)（即阻尼項(xiàng)）為零，則為無阻尼受迫振動(dòng)。目前六十九頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

有阻尼受迫振動(dòng)的解由兩部分組成，第一部分是衰減振動(dòng)，第二部分是受迫振動(dòng)。通常將第一部分稱為過渡過程或瞬態(tài)過程，第二部分稱為穩(wěn)態(tài)過程，穩(wěn)態(tài)過程是研究的重點(diǎn)。A和為積分常數(shù)，由初始條件確定。B

和ψ由設(shè)定形式為的特解求出。方程的通解為目前七十頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

這表明，在穩(wěn)定狀態(tài)下，受迫振動(dòng)的一個(gè)重要特征是：振幅的取值與強(qiáng)迫力的頻率有關(guān)。將式B的表達(dá)式對ω求一次導(dǎo)數(shù)并令其等于零，可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)振幅B有極大值，即在共振固有圓頻率彈簧振子的受迫振動(dòng)目前七十一頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

共振－固有頻率與外激振力頻率相等，受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到極大值的現(xiàn)象稱為共振。

共振時(shí)，最大振幅B（即共振振幅）為

共振是受迫振動(dòng)中常見的現(xiàn)象，共振時(shí)，振幅隨時(shí)間的增加不斷增大，有時(shí)會引起系統(tǒng)的破壞，應(yīng)設(shè)法避免；利用共振也可制造各種設(shè)備，如超聲波發(fā)生器、核磁共振儀等，造福于人類。實(shí)際問題中，由于阻尼的存在，振幅不會無限增大。目前七十二頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

單自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立等效質(zhì)量與等效剛度自由度的概念、單自由度系統(tǒng)實(shí)例

確定一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置需要三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，所以空間自由質(zhì)點(diǎn)有三個(gè)自由度。所謂自由度是指確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。這里所說的獨(dú)立坐標(biāo)是廣義的，即可以是直角坐標(biāo)，也可以是轉(zhuǎn)角等其他可以定位的參數(shù)。

僅用一個(gè)坐標(biāo)便可定位的系統(tǒng)，稱為單自由度系統(tǒng)，這種系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)將產(chǎn)生振動(dòng)。目前七十三頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)目前七十四頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)單自由度系統(tǒng)簡化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)等效質(zhì)量和等效剛度

物理學(xué)中的彈簧振子就是一個(gè)單自由度系統(tǒng)，工程中有許多振動(dòng)問題可以簡化為一個(gè)彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)，而且常常是在重力影響下沿鉛垂方向振動(dòng)。

其實(shí)重力和其它常力一樣，加在振動(dòng)系統(tǒng)上，只改變其平衡位置，只要將坐標(biāo)原點(diǎn)取在變形以后的平衡位置，其它特性則與水平放置時(shí)完全一樣，即可按彈簧振子的方法處理。處理這類問題的關(guān)鍵是怎樣將工程振動(dòng)問題簡化為彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)模型。目前七十五頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

在不考慮阻尼的情形下，單自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程總可以表示為其中，meq和keq分別稱為等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù)。目前七十六頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)并聯(lián)和串聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù)

并聯(lián)彈簧和串聯(lián)彈簧都可以簡化為彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)目前七十七頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)并聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù)

設(shè)物塊在重力作用下作平移，其靜變形為st，兩個(gè)彈簧分別受力F1和F2，因?yàn)閮蓮椈勺冃瘟肯嗤?，所以有平衡時(shí)應(yīng)有目前七十八頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)令keq為并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程為系統(tǒng)的固有頻率為目前七十九頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程為

系統(tǒng)的固有頻率為

這一結(jié)果表明，兩個(gè)彈簧并聯(lián)的系統(tǒng)，相當(dāng)于一個(gè)等效彈簧系統(tǒng)，等效彈簧的等效剛度等于原兩個(gè)彈簧的剛度和。這一結(jié)論可推廣到多個(gè)彈簧并聯(lián)的情形。目前八十頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

每個(gè)彈簧的受力均為mg，故兩個(gè)彈簧的靜伸長量分別為

對于等效彈簧系統(tǒng)，串聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù)目前八十一頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)keq為串聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)目前八十二頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

這一結(jié)果表明，兩個(gè)彈簧串聯(lián)的系統(tǒng)，相當(dāng)于一個(gè)等效彈簧系統(tǒng)。同樣，這一結(jié)論也可推廣到多個(gè)彈簧串聯(lián)的情形。

系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程為

系統(tǒng)的固有頻率為目前八十三頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

擺振系統(tǒng)，桿自重不計(jì)，球質(zhì)量為m。彈簧剛度為k，桿在水平位置時(shí)平衡，彈簧位置如圖中所示。d、l

為已知。

因水平位置為靜平衡位置，彈簧已有靜伸長st，由平衡方程擺振系統(tǒng)的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù)目前八十四頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

以平衡位置為初始位置，擺角為獨(dú)立變量，建立擺繞點(diǎn)O作微幅擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程目前八十五頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)擺振系統(tǒng)的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù)分別為擺振系統(tǒng)的固有頻率為目前八十六頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)剛體系統(tǒng)的等效質(zhì)量與等效剛度系數(shù)

圖示之物塊和半徑為r的滑輪組成的簡單剛體系統(tǒng)，滑輪對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，彈簧剛度為k，物塊質(zhì)量為m。

現(xiàn)在，應(yīng)用物理學(xué)中關(guān)于簡單剛體系統(tǒng)的動(dòng)能定理，建立與剛體系統(tǒng)等效的單自由度相當(dāng)系統(tǒng)的等效質(zhì)量(equivalentmass)與等效剛度系數(shù)。目前八十七頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

現(xiàn)在，應(yīng)用物理學(xué)中關(guān)于剛體系統(tǒng)的動(dòng)能定理，建立與剛體系統(tǒng)等效的單自由度相當(dāng)系統(tǒng)的等效質(zhì)量(equivalentmass)與等效剛度系數(shù)。

以系統(tǒng)平衡時(shí)重物的位置為原點(diǎn)，取x軸如圖所示。系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，重物在任意坐標(biāo)x處，系統(tǒng)動(dòng)能目前八十八頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

以系統(tǒng)平衡時(shí)重物的位置為原點(diǎn)，取x軸如圖所示。系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，重物在任意坐標(biāo)x處，系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)勢能目前八十九頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)勢能不計(jì)摩擦，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。于是有將方程等號兩側(cè)對x求導(dǎo)，得到目前九十頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)此即與剛體系統(tǒng)等效的單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。剛體系統(tǒng)的等效質(zhì)量與等效剛度分別為上述運(yùn)動(dòng)微分方程也可以寫成標(biāo)準(zhǔn)形式目前九十一頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)系統(tǒng)的固有頻率

目前九十二頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

通過以上分析，可以看出，只要能寫出單自由度等效系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，即可順利求出系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度系數(shù)。反之，如果已知系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度或系統(tǒng)的固有頻率，也可以得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。目前九十三頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)7.2

非慣性系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程7.3

機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)7.4結(jié)論與討論7.1

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程7.5

參考性例題第7章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)目前九十四頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)7.4結(jié)論與討論確定物體運(yùn)動(dòng)時(shí)初始條件的重要性

牽連慣性力與科氏慣性力

能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率中的應(yīng)用目前九十五頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)確定物體運(yùn)動(dòng)時(shí)初始條件的重要性

在解決動(dòng)力學(xué)第二類問題時(shí)可用積分法求解，即求運(yùn)動(dòng)微分方程的解。求解問題時(shí)列出的運(yùn)動(dòng)微分方程一般為三個(gè)二階微分方程，以直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程為例，方程為等式的右端為力函數(shù)，若力函數(shù)比較復(fù)雜，往往求不出方程的解析解，只能求近似解或數(shù)值解。目前我們僅討論可求出解析解的一些簡單問題。

目前九十六頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)對上式積分后，得到帶積分常數(shù)的通解，一般表示為其中六個(gè)積分常數(shù)需要由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。正確的寫出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件此時(shí)就顯得極為重要。目前九十七頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

初始條件就是質(zhì)點(diǎn)的初位置和初速度，初始條件一般寫為

可見一個(gè)質(zhì)點(diǎn)若受相同的力作用，但是如果初始條件不同，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)將會不同。例如重力場中的單擺，若在平衡位置附近由靜止無初速釋放，則擺作微幅振動(dòng)；若初速度非常大，擺的偏角很大，擺可作圓周運(yùn)動(dòng)。

初學(xué)者在分析和處理這一類問題時(shí)，一定要重視運(yùn)動(dòng)的初始條件，結(jié)合具體問題認(rèn)真總結(jié)運(yùn)動(dòng)初始條件對運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響。目前九十八頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

牽連慣性力與科氏慣性力

當(dāng)我們晃動(dòng)栓在繩上的小球，我們會明顯地感到手上受到向外的拉力；當(dāng)我們坐在轉(zhuǎn)彎的汽車上，我們會感受到一種試圖讓我們沖出車廂的力量；......；這樣的例子在生活中舉不勝舉。我們感受到的這些力就是慣性力。這些力均表示為牽連慣性力和科氏慣性力是慣性力家族中的成員，它們分別與牽連加速度、科氏加速度有關(guān)。目前九十九頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

計(jì)算慣性力時(shí)，可以先分析出牽連加速度和科氏加速度，然后乘以質(zhì)量m再加上負(fù)號。如果在圖形上慣性力已與加速度方向相反，則不必再另加負(fù)號。關(guān)于慣性力的進(jìn)一步分析將在以后的章節(jié)中繼續(xù)討論。目前一百頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)結(jié)論與討論

能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率中的應(yīng)用目前一百零一頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)

能量法在確定振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率中的應(yīng)用

本章的分析結(jié)果表明，只要求出振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，即可確定振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程以及相應(yīng)的通解。現(xiàn)在介紹能量法在計(jì)算固有頻率中的應(yīng)用。

當(dāng)單自由度系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí)，均可簡化為圖示彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

因而任意時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)能(kineticenergy)為

以系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢能(potentialenergy)為

目前一百零二頁\總數(shù)一百一十四頁\編于十四點(diǎn)注意到靜平衡時(shí)當(dāng)重物到達(dá)振動(dòng)中心時(shí)，勢能為零，動(dòng)能最大為

當(dāng)重物到達(dá)偏離中