高中數(shù)學(xué)完整講義-二項(xiàng)式定理2.二項(xiàng)展開(kāi)式2求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)

求求綻開(kāi)式中的特定項(xiàng)學(xué)問(wèn)內(nèi)容學(xué)問(wèn)內(nèi)容1．二項(xiàng)式定理⑴二項(xiàng)式定理這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理．⑵二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式的通項(xiàng)叫做的二項(xiàng)綻開(kāi)式，其中的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的叫做二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為綻開(kāi)式的第項(xiàng)：．⑶二項(xiàng)式綻開(kāi)式的各項(xiàng)冪指數(shù)二項(xiàng)式的綻開(kāi)式項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，各項(xiàng)的冪指數(shù)狀況是①各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．②字母的按降冪排列，從第一項(xiàng)起先，次數(shù)由逐項(xiàng)減1直到零，字母按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到．⑷幾點(diǎn)留意①通項(xiàng)是的綻開(kāi)式的第項(xiàng)，這里．②二項(xiàng)式的項(xiàng)和的綻開(kāi)式的第項(xiàng)是有區(qū)分的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的和是不能隨意交換的．③留意二項(xiàng)式系數(shù)（）與綻開(kāi)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不肯定相等，二項(xiàng)式系數(shù)肯定為正，而項(xiàng)的系數(shù)有時(shí)可為負(fù)．④通項(xiàng)公式是這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式是（只須把看成代入二項(xiàng)式定理）這與是不同的，在這里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是相等的都是，但項(xiàng)的系數(shù)一個(gè)是，一個(gè)是，可看出，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念．⑤設(shè)，則得公式：．⑥通項(xiàng)是中含有五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)即可求第五個(gè)元素．⑦當(dāng)不是很大，比較小時(shí)可以用綻開(kāi)式的前幾項(xiàng)求的近似值．2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)⑴楊輝三角形：對(duì)于是較小的正整數(shù)時(shí)，可以干脆寫(xiě)出各項(xiàng)系數(shù)而不去套用二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式系數(shù)也可以干脆用楊輝三角計(jì)算．楊輝三角有如下規(guī)律：“左、右兩邊斜行各數(shù)都是1．其余各數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)字的和．”⑵二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)是：，從函數(shù)的角度看可以看成是為自變量的函數(shù)，其定義域是：．當(dāng)時(shí)，的圖象為下圖：這樣我們利用“楊輝三角”和時(shí)的圖象的直觀來(lái)幫助我們探討二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．①對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．事實(shí)上，這一性質(zhì)可干脆由公式得到．②增減性與最大值假如二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；假如二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大．由于綻開(kāi)式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)順次是，，．．．，，，．．．，．其中，后一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的分子是前一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的分子乘以逐次減小1的數(shù)（如），分母是乘以逐次增大的數(shù)（如1，2，3，…）．因?yàn)?，一個(gè)自然數(shù)乘以一個(gè)大于1的數(shù)則變大，而乘以一個(gè)小于1的數(shù)則變小，從而當(dāng)依次取1，2，3，…等值時(shí)，的值轉(zhuǎn)化為不遞增而遞減了．又因?yàn)榕c首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的式系數(shù)相等，所以二項(xiàng)式系數(shù)增大到某一項(xiàng)時(shí)就漸漸減小，且二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)必在中間．當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，綻開(kāi)式共有項(xiàng)，所以綻開(kāi)式有中間一項(xiàng)，并且這一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大為．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，綻開(kāi)式共有項(xiàng)，所以有中間兩項(xiàng)．這兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大，最大為．③二項(xiàng)式系數(shù)的和為，即．④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即．常見(jiàn)題型有：求綻開(kāi)式的某些特定項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)，二項(xiàng)式定理的逆用，賦值用，簡(jiǎn)潔的組合數(shù)式問(wèn)題．典例分析典例分析二項(xiàng)綻開(kāi)式2求綻開(kāi)式中的特定項(xiàng)（常數(shù)項(xiàng)，有理項(xiàng)，系數(shù)最大項(xiàng)等．）常數(shù)項(xiàng)在綻開(kāi)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有項(xiàng)．的綻開(kāi)式中共有_____項(xiàng)是有理項(xiàng)．綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______（用數(shù)字作答）．的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________．二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)____________，綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為．（用數(shù)字作答）若的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，則實(shí)數(shù)___________．在二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中，的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)的值為．在的綻開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是______．（結(jié)果用數(shù)值表示）假如綻開(kāi)式中，第四項(xiàng)與第六項(xiàng)的系數(shù)相等，則，綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)的值等于．的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）若綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______（用數(shù)字作答）．若的綻開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則最小的正整數(shù)等于．在的二項(xiàng)綻開(kāi)式中，若常數(shù)項(xiàng)為，則等于（用數(shù)字作答）的綻開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為15，則．已知的綻開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，，且，則______．綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______（用數(shù)字作答）．已知的綻開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，其中，則綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）已知，若的綻開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則這樣的有（）A．3個(gè)B．2C．1D．0綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______（用數(shù)字作答）．的綻開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）．的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）已知的綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是第項(xiàng)，則的值為（）A． B． C． D．在的二項(xiàng)綻開(kāi)式中，若常數(shù)項(xiàng)為，則等于（用數(shù)字作答）的綻開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為15，則．綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______（用數(shù)字作答）．已知的綻開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，其中，則綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）已知，若的綻開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則這樣的有（）A．3個(gè)B．2C．1D．0綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．求綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．的綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）在的二項(xiàng)綻開(kāi)式中，若常數(shù)項(xiàng)為，則等于（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．的綻開(kāi)式中的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，那么正整數(shù)的值是．若的綻開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，則的值可以是（）A．B．C．D．在的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是，中間項(xiàng)是．已知的綻開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，，且，則______．若的綻開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則最小的正整數(shù)等于．已知的綻開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，則綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）A．

B．

C．

D．若綻開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為，則等于________；該綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________．若的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，則_____，其綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為_(kāi)________．若綻開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則綻開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．有理項(xiàng)求二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中：⑴常數(shù)項(xiàng)；⑵有幾個(gè)有理項(xiàng)（只需求出個(gè)數(shù)即可）；⑶有幾個(gè)整式項(xiàng)（只需求出個(gè)數(shù)即可）．的綻開(kāi)式中共有_______項(xiàng)是有理項(xiàng)．二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中：⑴求常數(shù)項(xiàng)；⑵有幾個(gè)有理項(xiàng)；⑶有幾個(gè)整式項(xiàng)．已知在的綻開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列①求；②求綻開(kāi)式中的有理項(xiàng)．二項(xiàng)綻開(kāi)式中，有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是（）A．B．C．D．在的綻開(kāi)式中任取一項(xiàng)，設(shè)所取項(xiàng)為有理項(xiàng)的概率為，則A．1B．C．D．的綻開(kāi)式中，含的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有（）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)若（，為有理數(shù)），則（）A． B． C． D．系數(shù)最大的項(xiàng)已知的綻開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．⑴求的值；⑵求綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？已知的綻開(kāi)式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，求綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．在的綻開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是____．A． B． C．D．已知的綻開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于，求．求的綻開(kāi)式中，系數(shù)肯定值最大的項(xiàng)以及系數(shù)最大的項(xiàng)．已知綻開(kāi)式中的倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為，求：⑴含的項(xiàng)；⑵系數(shù)最大的項(xiàng)．設(shè)，，的綻開(kāi)式中，的系數(shù)為．⑴求綻開(kāi)式中的系數(shù)的最大、最小值；⑵對(duì)于使中的系數(shù)取最小值時(shí)的、的值，求的系數(shù)．已知：的綻開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大．⑴求綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；⑵求綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？關(guān)于二項(xiàng)式有下列命題：①該二項(xiàng)綻開(kāi)式中特別數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是：②該二項(xiàng)綻開(kāi)式中第六項(xiàng)為；③該二項(xiàng)綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)與第項(xiàng)；④當(dāng)時(shí)，除以的余數(shù)是．其中正確命題的序號(hào)是__________．（注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）在的綻開(kāi)式，只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）設(shè)的