拉普拉斯變換的性質(zhì)

§2.2Laplace

變換的性質(zhì)一、線性性質(zhì)與相似性質(zhì)二、延遲性質(zhì)與位移性質(zhì)三、微分性質(zhì)四、積分性質(zhì)五、卷積與卷積定理

對于涉及到的一些運算(如求導(dǎo)、積分、極限及求和等)的次序交換問題，均不另作說明。所涉及到的函數(shù)的

Laplace

在下面給出的基本性質(zhì)中，且變換均假定存在，它們的增長指數(shù)均假定為

c

。

§2.2Laplace

變換的性質(zhì)證明(略)

性質(zhì)一、線性性質(zhì)與相似性質(zhì)1.線性性質(zhì)P66

P66

解解令證明性質(zhì)一、線性性質(zhì)與相似性質(zhì)2.相似性質(zhì)(尺度性質(zhì))

P66

二、延遲性質(zhì)與位移性質(zhì)1.延遲性質(zhì)

則對任一非負實數(shù)有設(shè)當(dāng)t<0時性質(zhì)令證明P73

P73

二、延遲性質(zhì)與位移性質(zhì)1.延遲性質(zhì)

則對任一非負實數(shù)有設(shè)當(dāng)t<0時性質(zhì)可見，在利用本性質(zhì)求逆變換時應(yīng)為：因此，本性質(zhì)也可以直接表述為：注意在延遲性質(zhì)中專門強調(diào)了當(dāng)t<0時這一約定。已知解(1)

(2)

根據(jù)延遲性質(zhì)有(2)先平移再充零(1)先充零再平移求例和根據(jù)延遲性質(zhì)有設(shè)求例解由于證明(略)

例如性質(zhì)2.位移性質(zhì)

P73

二、延遲性質(zhì)與位移性質(zhì)三、微分性質(zhì)性質(zhì)證明由因此當(dāng)時，有有即得1.導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)

▲P66

P66-67

三、微分性質(zhì)1.導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)性質(zhì)其中，應(yīng)理解為一般地，有▲Laplace

變換的這一性質(zhì)非常重要，可用來求解微分方程(組)的初值問題?！?.4將專門介紹）（2解利用導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)性質(zhì)來求解本題以及有由故有P67例2.8三、微分性質(zhì)2.象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)一般地，有由有證明同理可得P67

根據(jù)象函疑數(shù)的弦導(dǎo)數(shù)性質(zhì)緣瑞有解已知解根據(jù)線性應(yīng)性質(zhì)以及象函喪數(shù)的輛導(dǎo)數(shù)性質(zhì)食有已知根據(jù)位移飾性質(zhì)有解已知再由象函逗數(shù)的罵導(dǎo)數(shù)性質(zhì)發(fā)有P69-70

四、瀉積分叢性質(zhì)1.積分碗的象日函數(shù)性質(zhì)證明令由微分犬性質(zhì)有則且即得P69

四、躁積分著性質(zhì)1.積分蕉的象肯函數(shù)性質(zhì)一般惜地，馬有再由積分厘性質(zhì)得根據(jù)微分兩性質(zhì)有解已知一般愈地，遮有四、惰積分設(shè)性質(zhì)2.象函煙數(shù)的欣積分性質(zhì)證明(略)

P70

根據(jù)象函漸數(shù)的櫻積分性質(zhì)序有已知解即

在上式中，如果令s

=

0，則有啟示在

Laplace

變換及其性質(zhì)中，如果取

s

為某些特定的值，

就可以用來求一些函數(shù)的廣義積分。利用拉氏變換計算廣義積分P70例2-11部分基本拘性質(zhì)鄰匯總線性性質(zhì)相似性質(zhì)延遲性質(zhì)

微分性質(zhì)積分性質(zhì)部分基本膀性質(zhì)秧匯總位移性質(zhì)

五、丸卷積廳與卷爭積定樹理1.卷積當(dāng)時，

如果函數(shù)滿足：

按照上一章中卷積的定義，兩個函數(shù)的卷積是指則有

顯然，由上式給出的卷積的仍然滿足交換律、結(jié)合律以及分配律等性質(zhì)。P76

解五、楚卷積頁與卷腐積定禾理2.卷積妖定理定理證明左邊

=D(跳過?)定理五、譽卷積校與卷廣積定區(qū)理2.卷積滔定理證明左邊=令記為其中

左邊

==右邊。故有解由于利用Laplace變換計算廣義積分附：

在

Laplace

變換及其性質(zhì)中，如果取

s

為某些特定的值，

就可以用來求一些函數(shù)的廣義積分。

注意在

使用這些公式時必須謹(jǐn)慎，必要時需要事先考察一下

s

的取值范圍以及廣義積分的存在性。P71注2由解得利用Laplace變換計算廣義積分附：已知解由積分柏性質(zhì)有即得(返回)利用Laplace變換計