銳角三角函數(shù)與解直角三角形復習

關于銳角三角函數(shù)與解直角三角形復習第1頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月CABbca

1.本章內(nèi)容有銳角三角函數(shù)的概念，解直角三角形及解直角三角形的應用。

在此應注意的問題是無論是求哪一個角的三角函數(shù)，一定要先把這個角放在直角三角形中,并且三角函數(shù)值與邊無關。

2.銳角α的取值范圍及變化情況：第2頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.特殊角的三角函數(shù)值：

4.同一銳角α的三角函數(shù)之間的關系：（1）平方關系：sin2α+cos2α=1

第3頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

5.互余兩角的三角函數(shù)之間的關系：

6.解直角三角形的依據(jù)：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，除直角C外，其余五個元素之間有以下關系：（1）三邊關系：a2+b2=c2（勾股定理）（2）銳角之間的關系：∠A+∠B=90°（互余關系）（3）邊角關系：

解直角三角形時，要注意適當選用恰含一個未知數(shù)的關系式。

任意銳角的正弦（切）值等于它的余角的余弦（切）值，任意銳角的余弦（切）值等于它的余角的正弦（切）值。第4頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月7.解直角三角形的分類：

例如選用關系式歸納為口訣：已知斜邊求直邊，正弦余弦很方便；已知直邊求直邊，正切余切理當然；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關系要選好；已知銳角求銳角，互余關系要記好；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦；計算方法要選擇，能用乘法不用除。第5頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

8.

有關解直角三角形的應用題：

應用解直角三角形的知識解決實際問題的時候，常用的幾個概念：

(1)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖1。

第6頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示。坡度（坡比）：坡面的鉛垂高度h和水平寬度的比叫做坡度，用字母i表示，即，如圖2。(3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位角，如圖3中，目標A、B、C的方位角分別為。

第7頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

(4)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于的水平角叫做方向角，如圖4中，目標A、B、C、D的方向角分別表示北偏東、南偏東、南偏西、北偏西。又如，東南方向，指的是南偏東角。第8頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月一.基礎題型分析：例1.

分析：

解法二：利用同角的三角函數(shù)的關系式。

∵sin2B+cos2B=1

第9頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2.

∴∠A=30°。（2）∴∠B=90°－∠A=90°－30°=60°。解法二：（1）在Rt△ABC中

無論什么條件下，分別求解各未知元素時，應盡量代入已知中的數(shù)值，少用在前面的求解過程中剛算出的數(shù)值，以減少以錯傳誤的機會?！唷螦=30°說明：解法一：在Rt△ABC中，如圖3。

第10頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

例3.當45°<α<90°時，下列各式正確的是（）

A.sinα>cosα B.sinα=cosα C.tanα<cotα D.tanα<1

分析：如圖4，設∠A=α，則BC>AC。

解法一：利用三角函數(shù)定義。

∴應選A，其余三項也可根據(jù)定義證明不成立。

解法二：化為同名三角函數(shù)，利用增減性比較大小。

∴根據(jù)銳角的正弦（切）的增減性可知應選A，其它兩項也不成立。解法三：找標準量45°角比較?！?5°<α<90°∴sinα>sin45°，cosα<cos45°

∵sin45°=cos45°∴sinα>cosα，

同理tanα>cotα，∴應選A。第11頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

例4.A.等腰非等邊三角形 B.等邊三角形

C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形分析：

所以∠A=60°，∠B=60°，應選B。

例5.α為銳角，若m>2，下列四個等式中不可能成立的是（）

分析：根據(jù)三角函數(shù)值的取值范圍，有

∴判斷可知cosα選項不可能成立，應選B。

第12頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

例6.

分析：題目涉及到同角α的正余弦的和差，可以考慮應用關系式：

sin2α+cos2α=1解題。

注意：開平方要取正負，因為題中不能確定sinα與cosα的大小。例7.在Rt△ABC中，∠C=90°，a+c=12，b=8，求cosB。

解：

第13頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月二.綜合題型分析：

例8.已知：如圖5，△ABC中，∠B=30°，∠ADC=45°，∠ACB=120°，D是BC上一點，若CD=8，求BD的長。A

BDC

(圖5)

30°

45°

120°

解法一：過A作AE⊥BC的延長線于E，∵∠ACB=120°，∴∠ACE=60°。

∵∠ADC=45°

∴DE=AE

E第14頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

解法二：如圖6，過D作DF⊥BC于D，交AB于F。A

BDC

(圖6)

30°

45°

120°

F

易證得∠FAD=∠DAC=15°∵FD⊥BC，∠ADC=45°∴∠ADF=∠ADC=45°

在△ADF和△ADC中

∴△ADF≌△ADC∴DF=DC=8

在Rt△BDF中，

第15頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

例9.如圖7，已知MNBE和ABCD都是正方形，MC與AB相交于F，已知sinα=

分析：實質(zhì)上是已知比值求比值的問題，不過它是特殊的比值問題，因為這里兩條線段的比是直角三角形中兩條邊的比值問題。

銳角，或α是Rt△MNC的銳角，或α是Rt△EMF的一個銳角，這樣就有三種解法。求tanβ，從圖形直觀上看，就是把β放在Rt△AME中，求出AE和ME，或用某個字母x的代數(shù)式表示AE和ME即可。

解：在Rt△MNC中，

∴設MN=5x，MC=13x，

則NC=12x?！郙E=MN=NB=5x，BC=NC－NB=7x。第16頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

例10.在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB=12，求S△ABC。

C

A

（圖8）

15°

解法一：如圖8，取AB的中點D，連結CD，過C作CE⊥AB于E。

∵AB=12

∴∠A=∠ACD=15°∠CDB=30°在Rt△CDE中，

BED第17頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

解法二：如圖9，把△ACB沿AC翻折，得到△ACD，

C

A

（圖9）

D

則△ACD≌△ACB

∴∠DAC=∠CAB=15°，∠DAB=30°

AD=AB=12過點D作DE⊥AB于E，

∴DE=AD·sin30°=6

BE第18頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

例11.如圖湖泊的中央有一個建筑物AB，某人在地面C處測得其頂部A的仰角為60°，然后，自C處沿BC方向行100m到D點，又測得其頂部A的仰角為30°，求建筑物的高（結果保留根號）

分析：本題的關鍵在于（1）DB-CB=100（2）Rt△ABC與Rt△ADB有一條共同的線段AB，因此只要利用Rt△ABC和Rt△ADB分別用AB表示出DB和CB即可列出方程DB-CB=100，問題便可迎刃而解。解：設AB=x第19頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.人民海關緝私巡邏艇在東海海域執(zhí)行巡邏任務時，發(fā)現(xiàn)在其所處位置O點的正北方向10海里處的A點有一涉嫌走私船只，正以24海里/時的速度向正東方向航行，為迅速實施檢查，巡邏艇調(diào)整好航向以26海里/時的速度追趕在涉嫌船只不改變航向和航速的前提下，問：（1）需幾小時才能追上？（點B為追上的位置）（2）確定巡邏艇的追趕方向，（精確到0.1°）

分析：（1）此題可利用于方程來解決，設需t小時追上，然后根據(jù)直角三角形三邊滿足勾股定理來列出一個關于“t”的一元二次方程，從而求出時間t。（2）要求B點的方位角，首先應理解方位角在幾何圖中的表示方法，然后借助正弦函數(shù)值以及計算器來求出B的方位角。

解：設需t小時才能追上。（2）在Rt△AOB中

即巡邏艇的追趕方向為北偏東67.4°。ABO第20頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月

例5.如圖，某貨船以20海里/時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B處，經(jīng)16小時的航行到達，到達后必須立即卸貨，此時接到氣象部門通知，一臺風中心正以40海里/時的速度由A向北偏西60°方向移動，距臺風中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會受到影響。（1）問B處是否會受到影響？請說明理由。

（2）為避免受到臺風的影響，該船應在多少小時內(nèi)卸完貨物。北AB西C分析：臺風中心在AC上移動，要知道B處是否受影響，只要求出B到AC的最短距離并比較這個最短距離與200的關系，若大于或等于200海里則受影響，若小于200海里則不受影響。（2）要使卸貨過程不受臺風影響，就應在臺風中心從出發(fā)到第一次到達距B200海里的這段時間內(nèi)卸完貨，弄清楚這一點，再結合直角三角形邊角關系，此題就不難得到解決。第21頁，課件共24頁，創(chuàng)作于2023年2月北

C

60°

西BA

D

E

F

解：（1）過B作BD⊥AC于D根據(jù)題意得：∠BAC=30°