文科數(shù)學(xué)第二章第十五節(jié)

第十五節(jié)用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題

第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用考綱要求會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題．課前自修知識(shí)梳理優(yōu)化問題：社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活、生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)研究等實(shí)際問題中有關(guān)求利潤(rùn)________、用料________、效率________等問題通常稱為________問題．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟：(1)分析實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系，建立實(shí)際問題的________，寫出實(shí)際問題中_________________________，根據(jù)實(shí)際問題確定定義域；最大最省最高優(yōu)化數(shù)學(xué)模型變量間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)(2)求函數(shù)y＝f(x)的___________，解方程__________，得出定義域內(nèi)的實(shí)根，確定________；(3)比較函數(shù)在__________和________的函數(shù)值的大小，獲得所求函數(shù)的最大(小)值；(4)還原到實(shí)際問題中作答．導(dǎo)數(shù)f′(x)f′(x)＝0極值點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)極值點(diǎn)基礎(chǔ)自測(cè)1．以長(zhǎng)為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為 () A．10B．15C．25D．502．圓柱形金屬飲料罐容積一定時(shí)，要使材料最省，則它的高與半徑的比應(yīng)為 () A. B．2 C. D．3C3．一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝1－t＋t2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時(shí)速度是 () A．7米/秒B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒解析：由導(dǎo)數(shù)的物理意義知，位移的導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)速度，由s＝1－t＋t2求導(dǎo)得v＝s′＝－1＋2t，當(dāng)t＝3時(shí)，v＝5.故選C.答案：C4．用總長(zhǎng)14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果制作容器的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m，那么高為________時(shí)，容器容積最大．考點(diǎn)探究考點(diǎn)一利潤(rùn)最大問題【例1】某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(單位：噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格p(單位：元/噸)之間的關(guān)系式為p＝24200－x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R＝50000＋200x(單位：元)．問：該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)f(x)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？(利潤(rùn)＝收入－成本)思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意，列出利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可用導(dǎo)數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解．點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么依據(jù)實(shí)際意義，該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn)．變式探究1．(2012·泉州市檢測(cè))某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每生產(chǎn)1千件需投入成本81萬元，每千件的銷售收入R(x)(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：千件)滿足關(guān)系：R(x)＝－x2＋324(0<x≤10)．該公司為了在生產(chǎn)中獲得最大利潤(rùn)(年利潤(rùn)＝年銷售收入－年總成本)，則年產(chǎn)量應(yīng)為 () A．5千件 B．6千件 C．9千件 D．10千件解析：依題意，年利潤(rùn)y＝x(－x2＋324)－81x＝－x3＋243x(0<x≤10)，求導(dǎo)得y′＝－3x2＋243，令y′＝0，得x＝9(舍去負(fù)值)，因?yàn)?<x<9時(shí)，y′>0，x>9時(shí)，y′<0，所以當(dāng)x＝9時(shí)，y有最大值．故選C.答案：C考點(diǎn)二與分段函數(shù)有關(guān)的優(yōu)化問題【例2】(2012·上海市閘北區(qū)模擬)某公司是一家專做產(chǎn)品A的國(guó)內(nèi)外銷售的企業(yè)，每一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完．該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖①、圖②、圖③所示，其中圖①中的折線表示的是國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系，圖②中的拋物線表示的是國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系，圖③中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的日銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系(國(guó)內(nèi)、外市場(chǎng)相同)．(1)分別寫出國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量f(t)、國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量g(t)與第一批產(chǎn)品A的上市時(shí)間t的關(guān)系式．(2)第一批產(chǎn)品A上市后的哪幾天，這家公司的日銷售利潤(rùn)超過6300萬元？思路點(diǎn)撥：本題給出的是隨著時(shí)間t的不同，對(duì)應(yīng)的日銷售量y的函數(shù)圖象也不相同的問題，因此需要建立的函數(shù)解析式應(yīng)為一個(gè)分段函數(shù)的形式，應(yīng)針對(duì)自變量x的取值不同分別求出其最大值，然后再進(jìn)行比較．點(diǎn)評(píng)：對(duì)于分段函數(shù)的問題，應(yīng)該對(duì)自變量分段進(jìn)行考慮，對(duì)每一段考慮其最值的情況，然后再將這幾段的最值情況綜合起來進(jìn)行比較．變式宰探究2．某智公司閘生產(chǎn)之某種掛產(chǎn)品柳，固問定成病本為20蘿0糟00元，載每生頸產(chǎn)一喜件產(chǎn)種品，匙成本承增加10所0元，狗已知題總收避益R與年沙產(chǎn)量x的關(guān)處系是R＝R(x)＝闖則總根利潤(rùn)諸最大痰時(shí)，遞每年或生產(chǎn)再的產(chǎn)融品是__黃__孝__線__件．考點(diǎn)長(zhǎng)三社會(huì)淺熱點(diǎn)絡(luò)有關(guān)把的優(yōu)適化問稈題【例3】(2岡01置1·長(zhǎng)沙桑等四者縣市矮調(diào)研)某電襖視生諷產(chǎn)企毅業(yè)有A，B兩種怠型號(hào)暮的電桌視機(jī)居參加飲家電鏡下鄉(xiāng)閣活動(dòng)把，若商企業(yè)釣投放A，B兩種箏型號(hào)陵電視者機(jī)的驅(qū)價(jià)值弓分別倡為a，b萬元哨，則跪農(nóng)民緣瑞購(gòu)買蠻電視推機(jī)獲非得的團(tuán)補(bǔ)貼伏分別俯為a，mln碌(b＋1)萬元(m＞0且為陰常數(shù))．已全知該磁企業(yè)莖投放熄總價(jià)桶值為10萬元銹的A，B兩種頭型號(hào)東的電斥視機(jī)分，且A，B兩種疊型號(hào)撿的投千放金扁額都盜不低目于1萬元踩．(1迎)請(qǐng)你便選擇腳自變謎量，怖將這楚次活科動(dòng)中洪農(nóng)民魄得到盾的總鄉(xiāng)豐補(bǔ)貼財(cái)表示珠為它溫的函雅數(shù)，塔并求缸其定倚義域粉．(2漏)當(dāng)投幟放B型電栗視機(jī)日的金透額為斃多少緒萬元莫時(shí)，臘農(nóng)民石得到嗎的總嫌補(bǔ)貼萬最大譜？變式警探究3．某稠集團(tuán)交為了危獲得惕更大寺的收霞益，私每年慶要投橋入一算不定那期的漫資金蕩用于弄廣告舞促銷壘，經(jīng)災(zāi)調(diào)查石，每證年投風(fēng)入廣掙告費(fèi)t百萬醒元，史可增幣加銷琴售額協(xié)約為(－t2＋5t)百萬麻元(0≤t≤5)．(1客)若公聽司將諷當(dāng)年辰的廣都告費(fèi)慎控制辦在3百萬箏元之乓內(nèi)，雖則應(yīng)閉投入仗多少匠廣告緣瑞費(fèi)，催才能謎使該拉公司具由此領(lǐng)獲得謝的收灰益最座大？(2挪)現(xiàn)該瘡公司猶準(zhǔn)備糞共投榴入3百萬婚元，勇分別課用于戒廣告趕促銷苦和產(chǎn)死能升榨級(jí)，熟經(jīng)預(yù)旦測(cè)，粘每投回入產(chǎn)艦?zāi)苌?yàn)級(jí)費(fèi)x百萬鳴元，除可增紀(jì)加的李銷售卸額約怖為精百煎萬元距，請(qǐng)厘設(shè)計(jì)餃一個(gè)沈資金循分配患方案訓(xùn)，使瘡該公礙司由圈此獲哀得的皇收益扁最大怪？(注：貴收益縮慧＝銷請(qǐng)售額望－投推入)考點(diǎn)瞇四用料淹最省楊問題【例4】甲、鈴乙兩體家工狀廠，贊甲廠稈位于柜一直拌線河為岸的驚岸邊A處，溪乙廠約與甲紹廠在謠河的句同側(cè)釘，乙府廠位賊于離慮河岸40艙k肅m的B處，啄乙廠芬到河匹岸的映垂足D與A相距50猶k吸m，兩奏廠要坑在此汁岸邊慮合建抵一個(gè)穴供水容站C，從受供水烈站到漠甲廠雅和乙找廠的虹水管倦費(fèi)用爸分別母為每鈔千米3a元和5a元，景問：江供水偽站C建在唐岸邊溪何處衣才能只使水昌管費(fèi)瓶用最撐??？思路念點(diǎn)撥微：本題耐難點(diǎn)夠是如輔何把柄實(shí)際嫁問題訓(xùn)中所困涉及丟的幾殲個(gè)變屢量轉(zhuǎn)浴化成缸函數(shù)臂關(guān)系臺(tái)式．炊技巧識(shí)與方宵法主席要有思：根腸據(jù)題騎設(shè)條曾件作嘴出圖解形，血分析最各已訪知條愿件之料間的你關(guān)系斃，借槽助圖繩形的諒特征伸，合病理選暗擇這師些條戰(zhàn)件間和的聯(lián)山系方艦式，便適當(dāng)批選定瓜變量聽，構(gòu)飼造相攪應(yīng)的切函數(shù)堂關(guān)系支．點(diǎn)評(píng)：解封決實(shí)統(tǒng)際應(yīng)粒用問率題關(guān)遼鍵在禾于建以立數(shù)桿學(xué)模罪型和腎目標(biāo)談函數(shù)稅．把“問題呆情景”譯為致數(shù)學(xué)這語言吼，找虹出問那題的顧主要壁關(guān)系徑，并蹲把問箏題的溪主要夕關(guān)系吐近似揭化、紛形式節(jié)化，煤抽象燥成數(shù)完學(xué)問收題，合再化梢歸為枕常規(guī)牽問題仆，選恐擇合頁適的蝴數(shù)學(xué)坦方法稅求解(尤其若要注父意使證用導(dǎo)艇數(shù)解啦決最溪優(yōu)化貓的問撇題)．變式渠探究4．某蓄工廠冊(cè)需要羊建一私個(gè)面的積為51嚇2閣m2的矩言形堆瘋料場(chǎng)艙，一外邊可刻以利硬用原茂有的即墻壁計(jì)，問否：堆糾料場(chǎng)愈的長(zhǎng)下和寬菌各為杰多少志時(shí)，稼才能站使砌恢墻所公用的萌材料被最省蠅？考點(diǎn)鈴五與容疲積(體積)有關(guān)價(jià)的優(yōu)明化問檔題【例5】(2媽01季1·山東引卷)某企養(yǎng)業(yè)擬撐建造脅如圖誦所示薯的容靈器(不計(jì)虜厚度界，長(zhǎng)館度單撤位：瀉米)，其砍中容占器的街中間稼為圓巧柱形膀，左耐右兩榜端均畝為半執(zhí)球形似，按婆照設(shè)項(xiàng)計(jì)要能求容致器的撇體積筋為元立方傻米，廉且l≥2r.假設(shè)秀該容分器的邁建造沸費(fèi)用尸僅與恨其表丟面積箱有關(guān)斬．已紅知圓安柱形尤部分沈每平繳方米順建造聲費(fèi)用已為3千元既，半睬球形刊部分陷每平攔方米耕建造醉費(fèi)用黃為c(c＞3)千元振，設(shè)雕該容竭器的咳建造弦費(fèi)用問為y千元放．(1舒)寫出y關(guān)于r的函瞞數(shù)表觀達(dá)式橫，并悔求該梢函數(shù)陶的定災(zāi)義域催；(2制)求該托容器牲的建通造費(fèi)忌用最推小時(shí)賀的r.變式攪探究課時(shí)瘦升華利用絕導(dǎo)數(shù)描解決峽實(shí)際隆問題簡(jiǎn)中的將優(yōu)化歷問題扶應(yīng)注嗽意的雪幾點(diǎn)黨：1．利姓用導(dǎo)素?cái)?shù)解徹決實(shí)咳際問儀題，閥關(guān)鍵迎在于賭要建槍立適賞當(dāng)?shù)耐讛?shù)學(xué)狂模型(即函棄數(shù)關(guān)蜂系)，如橋果函汽數(shù)在質(zhì)區(qū)間邊內(nèi)只趴有一乒個(gè)點(diǎn)疏使得f′(x)＝0，此醒時(shí)函武數(shù)在辛這點(diǎn)顛有極和大(小)值，離那么緞可不釣與區(qū)饅間端福點(diǎn)的宏函數(shù)它值進(jìn)伸行比非較，乘也可免以知拋道這泳一點(diǎn)逐即為訴最大(小)值點(diǎn)雞．2．實(shí)球際應(yīng)躺用中縱準(zhǔn)確僅地列陜出函鬼數(shù)的況解析慎式，攀確定滔函數(shù)宵的定轉(zhuǎn)義域火是求戴解的告關(guān)鍵凈．3．在撥求實(shí)倘際問淋題的林最值扒時(shí)，絕一定紅要注怒意考爆慮實(shí)摩際問傷題的奶意義葉，不疾符合腸實(shí)際代意義拼的值棋應(yīng)舍蘇去.感獨(dú)悟?qū)卟婵计肺犊赘呖?．(2工01鹿1·湖北襖卷)放射躺性元捆素由堵于不帆斷有糕原子以放射眼出微狠粒子膊而變摟成其體他元冠素，斃其含心量不括斷減歐少，采這種戴現(xiàn)象磚稱為焰衰變惰．假集設(shè)在峰放射川性同緊位素炕銫13屑7的衰免變過慨程中命，其起含量M(單位圓：太帆貝克)與時(shí)否間t(單位鄙：年)滿足攻函數(shù)丸關(guān)系M(t)＝M02，其天中M0為t＝0時(shí)銫13眉7的含由量．嫌已知t＝30時(shí)，倘銫13吐7的含秧量的渡變化攤率是泉－10叮ln恰2奏(太貝耕克/年)，則M(6廣0)＝()A．5太貝授克B．75萌ln蒸2太貝性克C．15虛0l伴n荒2太貝擴(kuò)克D．15把0太貝料克2．(2憑01畫1·福建伴卷)某商莖場(chǎng)銷姻售某伯種商虛品的淘經(jīng)驗(yàn)紗表明曬，該奶商品酷每日袋的銷奮售量y(單位妥：千胞克)與銷險(xiǎn)售價(jià)共格x(單位牙：元/千克)滿足雅關(guān)系阿式y(tǒng)＝兔＋10視(x－6)2，其稻中3＜x＜6，a為常違數(shù)，兵已知勉銷售購(gòu)價(jià)格膨?yàn)?元/千克穩(wěn)時(shí)，沖每日?？墒蹕鸪鲈摼猩唐?1千克弟．(1肚)求a的值像；(2訊)若該損商品牙的成降本為3元/千克粒，試喜確定經(jīng)銷售近價(jià)格x的值廚，使定商場(chǎng)祝每日染銷售竄該商堵品所首獲得代的利露潤(rùn)最致大．x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上焰表可碼得，x＝4是f(x)在區(qū)右間(3吧,6加)內(nèi)的饅極大機(jī)值點(diǎn)幕，也寒是最碌大值漂點(diǎn)．所以泥當(dāng)x＝4時(shí)，前函數(shù)f(x)取得潤(rùn)最大承值f(4缺)＝42析.高考罪預(yù)測(cè)1．(2鵲01業(yè)2·四會(huì)帝市華滔僑中纖學(xué)統(tǒng)燒測(cè))某工玩廠從20天05年開伯始，愧近八覽年以琴來生縮慧產(chǎn)某爐種產(chǎn)濫品的悔情況鋸是：妨前四智年年轉(zhuǎn)產(chǎn)量慶的增詞長(zhǎng)速者度越忠來越糠慢，駝后四幼年年碼產(chǎn)量嘆的增盤長(zhǎng)速仇度保尊持不追變，井則該墻廠這役種產(chǎn)窯品的盟產(chǎn)量削與時(shí)稈間的瞎函數(shù)宋圖象繭可能票