《自動控制原理與系統(tǒng)》第4章 頻域分析法

第４章頻域分析法４.１頻率特性的基本概念４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性４.４系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)４.５系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系返回４.１頻率特性的基本概念

4.1.1頻率特性的定義對線性系統(tǒng)(如圖4一1所示)，若其輸入信號為正弦量，則其穩(wěn)態(tài)輸出響應也將是同頻率的正弦量，但是其幅值和相位一般都不同于輸入量。若逐次改變輸入信號的頻率。，則輸出響應的幅值與相位都會發(fā)生變化，如圖4-2所示。4.1.2頻率特性與傳遞函數(shù)的關系一個線性定常系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))頻率特性，就是其對應的傳遞函數(shù)小φs[或G（s）]在s=jw時的特殊形式，即上一頁下一頁返回４.１頻率特性的基本概念上一頁下一頁返回４.１頻率特性的基本概念4.1.3頻率特性的數(shù)學表達式上一頁下一頁返回４.１頻率特性的基本概念4.1.4頻率特性的圖像表示法工程上對系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性常用圖像表示，主要有以下幾種。1.幅相頻率特性曲線【也稱極坐標圖或奈奎斯特(Nyquist)圖」將頻率特性寫成指數(shù)形式，即2.對數(shù)頻率特性曲線【也稱伯德(Bode)圖」將頻率特性寫成指數(shù)形式，即稱為對數(shù)幅頻特性。上一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性4.2.1比例環(huán)節(jié)的頻率特性

1.傳遞函數(shù)

G(s)=K2.幅相頻率特性頻率特性為

G(jw)=K

幅頻特性為

A(w)=K

相頻特性為

φ(w)=0°下一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性

比例環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性均為常數(shù)，與頻率無關。幅相頻率特性曲線為正實軸上的一個點(K,jO)，如圖4-4所示。相頻特性曲線為與橫軸重合的0°線，如圖4一5所示。4.2.2積分環(huán)節(jié)的頻率特性1.傳遞函數(shù)為上一頁下一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性上一頁下一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性4.2.3微分環(huán)節(jié)(理想微分)的頻率特性1.傳遞函數(shù)G（S）=S上一頁下一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性上一頁下一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性4.2.4慣性環(huán)節(jié)的頻率特性1.傳遞函數(shù)上一頁下一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性上一頁下一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性4.2.5一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性1.傳遞函數(shù)G(s)=TS+1上一頁下一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性4.2.6振蕩環(huán)節(jié)上一頁下一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性4.2.7遲延環(huán)節(jié)上一頁下一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性4.2.8一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)上一頁下一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性4.2.9最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)當w從0→∞變化時，一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的相頻值從一180°變化到一90°，而穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)則是從0°變化到一90°，可見前者的相頻絕對值大，后者的相頻絕對值小，故慣性環(huán)節(jié)常常稱為最小相位環(huán)節(jié)，而一階不穩(wěn)定環(huán)節(jié)又稱為非最小相位環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)中含有右極點、右零點的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，稱為非最小相位系統(tǒng)(或環(huán)節(jié));而傳遞函數(shù)中沒有右極點、右零點的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，稱為最小相位系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))。上一頁下一頁返回４.２典型環(huán)節(jié)的頻率特性對于最小相位系統(tǒng)或環(huán)節(jié)來說，其幅頻特性與相頻特性有唯一的對應關系，所以，在w從0→∞時，根據(jù)幅頻特性曲線就可唯一地確定其相頻特性曲線，而對非最小相位系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))，則不能只根據(jù)幅頻特性曲線來確定相頻特性曲線，因存在著多種可能性故不能只依據(jù)幅頻特性曲線來評價系統(tǒng)的響應特性。上一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性4.3.10型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性4.3.2i型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性4.3.3ii型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

4.3.4系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線的畫法繪制開環(huán)幅相頻率特性曲線的方法，若是特殊曲線直接繪制，不是特殊曲線逐點繪制太繁，一般曲線可通過繪制起點、終點和坐標軸的交點等特殊點，從而繪制出特性曲線的大致形狀。

1.開環(huán)幅相頻率特性曲線的起點當w→0時，GK(jw)為特性曲線的起點。由于不同的值，特性曲線的起點將來自坐標軸的4個不同的方向，如圖4-26所示。

(1)0型系統(tǒng)，v=0，開環(huán)幅相頻率特性曲線起始于點K處。上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

(2)Ⅰ型系統(tǒng)，v=1，開環(huán)幅相頻率特性曲線起始于點一90°處(負虛軸的∞處)。

(3)Ⅱ型系統(tǒng)，v=2，開環(huán)幅相頻率特性曲線起始于點一180°處(負實軸的∞處)。

(4)Ⅲ型系統(tǒng)，v=3，開環(huán)幅相頻率特性曲線起始于點一270°處(正實軸的∞處)。開環(huán)幅相頻率特性曲線的起點只與系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K、積分環(huán)節(jié)個數(shù)。有關，而與慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)等無關。上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

2.開環(huán)幅相頻率特性曲線的終點當w→∞時，GK(jw)為特性曲線的終點。

φ（w）=一(n一m)90°

開環(huán)幅相頻率特性曲線的終點如圖4一27所示。4.3.5系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線(Bode)的畫法開環(huán)對數(shù)幅頻特性為上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

1.利用疊加法繪制繪制步驟如下:(1)寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的標準形式，并將開環(huán)傳遞函數(shù)寫出各個典型環(huán)節(jié)的乘積形式。

(2)畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線。

(3)在同一坐標軸下，將各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線疊加，即可得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性。2.工程繪制對數(shù)頻率特性曲線的方法由于不同的。值，對數(shù)幅頻特性曲線的低頻段特點如圖4一31所示。(1)0型系統(tǒng)，v=0，低頻段L(w)=-201gK。上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性(2)I型系統(tǒng)，v=1，低頻段的斜率是一20dB/dec。(3)II型系統(tǒng)，v=2，低頻段的斜率是一40dB/dec。繪圖步驟如下:(1)寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的標準形式，分析系統(tǒng)是由哪些典型環(huán)節(jié)組成的。

(2)計算各典型環(huán)節(jié)的交接頻率，按由小到大的順序依次排列。根據(jù)比例環(huán)節(jié)的K值，計算20lgK。(3)繪制對數(shù)幅頻特性曲線。低頻段:一般認為小于最小的交接頻率。過w=1,L(w)-20lgK的點，繪制斜率為一20vdB/dec的低頻漸近線(若第一個交接頻率w1<1，則為其延長線)。上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性中高頻段:從低頻段開始，。從低到高，每經(jīng)過一個典型環(huán)節(jié)的交接頻率，對數(shù)幅頻特性曲線斜率就改變一次。經(jīng)過慣性環(huán)節(jié)的交接頻率，斜率變化一20dB/dec。

經(jīng)過一階微分環(huán)節(jié)的交接頻率，斜率變化+20dB/dec。

經(jīng)過振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率，斜率變化一40dB/dec(按要求可對漸近線進行修正)。

(4)繪制對數(shù)相頻特性曲線。直接計算例φ（w)，通常采取求出幾個特殊點，w取起點、交接頻率點、終點等，從而得到相頻特性的大致曲線。上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性4.3.6根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線確定傳遞函數(shù)最小相位系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的幅頻特性與相頻特性有唯一的對應關系，所以在w從o→∞時，根據(jù)幅頻特性曲線就可唯一確定其相頻特性曲線，因此根據(jù)最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性，可以確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的一般表達式為上一頁下一頁返回４.３系統(tǒng)開環(huán)頻率特性式中K-系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù);v—積分環(huán)節(jié)的個數(shù);tj

、Ti—時間常數(shù)。根據(jù)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線確定傳遞函數(shù)，首先確定開環(huán)放大系數(shù)K，再根據(jù)斜率變化和交接頻率確定v、tj

、Ti

根據(jù)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v不同，分別確定系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K。上一頁返回４.４系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)在頻域中只需根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線(奈奎斯特圖或伯德圖)就可以分析、判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且還可得到系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量。4.4.1奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（1）當w由0→∞變化時，若系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線Gk(jw)包圍(一1，jo)點的圈數(shù)為N(逆時針方向包圍時，N為正;順時針方向包圍時，N為負)，以及系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的右極點個數(shù)為P。若N=P/2，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。下一頁返回４.４系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)（2）當系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線形狀比較復雜時，Gk(jw)包圍(一1，jo)點的圈數(shù)不易找準時(如圖4一38(c)所示)，為了快速、準確地判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，引入“穿越”的概念。Gk(jw)曲線穿過(一1，jo)點以左的負實軸時，稱為穿越。若Gk(jw)曲線由上而下穿過(一1，jo)點以左的負實軸時，稱為正穿越(相位增加);若Gk(jw)曲線由下而上穿過(一1,j0)點以左的負實軸時，稱為負穿越(相位減少)。在。由o→∞時變化時，若Gk(jw)曲線在。增加時，是從(一1，jo)點以左的負實軸上某一點開始往上(或往下)變化，則稱為半次負(或正)穿越，圖4一38(d)所示為半次正穿越。上一頁下一頁返回４.４系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)4.4.2對數(shù)頻率穩(wěn)定性判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定性判據(jù)實質為奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)在系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖上的反映，因為系統(tǒng)開環(huán)頻率特性Gk(jw)的奈奎斯特圖與伯德圖之間有一定的對應關系，如表4一5所示。奈奎斯特圖與伯德圖上的正、負穿越如圖4一39(a)、圖4一39(b)所示。在系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線上，對數(shù)頻率穩(wěn)定性判據(jù):當w由o→∞變化時，在系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻曲線L(w)>OdB的所有頻段內，相頻曲線φ(w)對一180°線的正穿越與負穿越次數(shù)之差為普(:為開環(huán)不穩(wěn)根數(shù)目)時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。上一頁下一頁返回４.４系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)4.4.3穩(wěn)定裕量工程上對一個控制系統(tǒng)不僅要求穩(wěn)定，還希望它具有足夠的穩(wěn)定裕量，可以比較不同控制系統(tǒng)之間的相對穩(wěn)定性。系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性A(w)=1時的頻率we稱為剪切頻率、截止頻率、幅值交接頻率。系統(tǒng)開環(huán)相頻特性φ（w）=-180°時的頻率wg稱為相位交接頻率。

表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量的指標有兩個，即幅值裕量和相位裕量。上一頁返回４.５系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系

根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能時，通常將開環(huán)頻率特性曲線分成低頻段、中頻段和高頻段3個頻段，如圖4-43所示。4.5.13頻段的概念開環(huán)對數(shù)頻率特性曲