2021屆北京市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

北京一六一中學(xué)2020—2021學(xué)年度第一學(xué)期期中測試高三數(shù)學(xué)試題一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求．1.已知集合，，則集合可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】已知集合，.對于A選項(xiàng)，，則，不合乎題意；對于B選項(xiàng)，，則，不合乎題意；對于C選項(xiàng)，，則，合乎題意；對于D選項(xiàng)，，則，不合乎題意.故選：C.2.若拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在此拋物線上且橫坐標(biāo)為3，則等于（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】直接利用拋物線焦半徑公式得到答案.【詳解】根據(jù)題意：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線焦半徑公式，屬于簡單題.3.下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對選項(xiàng)逐一分析，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù).對于B選項(xiàng)，，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為遞增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱可知函數(shù)在時(shí)也是增函數(shù)，且，故函數(shù)在上為遞增函數(shù)，符合題意，B選項(xiàng)正確.對于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在這個(gè)區(qū)間上沒有單調(diào)性，C選項(xiàng)不符合題意.對于D選項(xiàng)，由于函數(shù)定義域是，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意.綜上所述，本小題選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.4.“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由得，即或可進(jìn)行判斷.【詳解】由得，即或，所以能夠得到，但是不一定得到，“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應(yīng)集合互不包含5.圓心在直線上且與y軸相切于點(diǎn)的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心坐標(biāo)，代入直線方程驗(yàn)證是否滿足，再把點(diǎn)代入所給的選項(xiàng)驗(yàn)證是否滿足，逐一排除可得答案.【詳解】A.圓心為，滿足，即圓心在直線，代入，即成立，正確；B.圓心，滿足，即圓心在直線，代入，錯(cuò)誤；C.圓心，滿足，即圓心在直線，代入，錯(cuò)誤；D.圓心，滿足，即圓心在直線，代入，錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6.如圖中共頂點(diǎn)的橢圓①②與雙曲線③④的離心率分別為e1，e2，e3，e4，其大小關(guān)系為()A.e1<e2<e3<e4 B.e2<e1<e3<e4C.e1<e2<e4<e3 D.e2<e1<e4<e3【答案】C【解析】【詳解】根據(jù)橢圓越扁離心率越大可得到0＜e1＜e2＜1根據(jù)雙曲線開口越大離心率越大得到1＜e4＜e3∴可得到e1＜e2＜e4＜e34,故選C．7.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先把原命題轉(zhuǎn)化為由兩個(gè)零點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合分析得到的取值范圍.【詳解】令，所以.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的圖象如圖:函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.所以故選:C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解8.以橢圓上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)所連接的線段為直徑的圓與以長軸為直徑的圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.相交 C.相離 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】畫出圖形，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則，以為直徑的圓的圓心是C，連接、，然后根據(jù)由三角形中位線定理可得出兩圓圓心的長，進(jìn)而判斷出位置關(guān)系.【詳解】分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則，以為直徑的圓的圓心是C，連接、，由三角形中位線定理可得：，即兩圓的圓心距離等于兩圓的半徑之差，因此，以橢圓上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)所連線的線段為直徑的圓與以長軸為直徑的圓的位置關(guān)系是內(nèi)切.故選：A.【點(diǎn)睛】兩圓的位置關(guān)系的判定方法：設(shè)兩個(gè)圓的半徑為R和r，圓心距為d，（1）d>R+r兩圓外離，（2）d=R+r兩圓外切；（3）d=R-r兩圓內(nèi)切，（4）d<R-r兩圓內(nèi)含，（5）R-r＜d<R+r兩圓相交9.某商場對顧客實(shí)行購物優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)定一次購物，（1）如不超過200元，則不予優(yōu)惠；（2）如超過200元但不超過500元，則全款按9折優(yōu)惠；（3）如超過500元，其中500元按9折給予優(yōu)惠，超過500元部分按8折給予優(yōu)惠.某人兩次去購物，分別付款168元和423元.若他只去一次購買同樣價(jià)值的商品，則應(yīng)付款（）A.472.8元 B.510.4元 C.522.8元 D.560.4元【答案】D【解析】【分析】求出兩次購物的原價(jià)，根據(jù)優(yōu)惠活動(dòng)計(jì)算應(yīng)付款．【詳解】解：購物500元應(yīng)付款元，設(shè)第二次購物的原價(jià)為，則，故，解得．故兩次購物原價(jià)為元．若一次購物638元，則應(yīng)付款元．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)解析式與函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．10.某中學(xué)舉行了科學(xué)防疫知識競賽.經(jīng)過選拔，甲、乙、丙三位選手進(jìn)入了最后角逐.他們還將進(jìn)行四場知識競賽.規(guī)定：每場知識競賽前三名的得分依次為a，b，c（，且a，b，）；選手總分為各場得分之和.四場比賽后，已知甲最后得分為16分，乙和丙最后得分都為8分，且乙只有一場比賽獲得了第一名，則下列說法正確的是（）A.每場比賽的第一名得分a為4B.甲至少有一場比賽獲得第二名C.乙在四場比賽中沒有獲得過第二名D.丙至少有一場比賽獲得第三名【答案】C【解析】【分析】根據(jù)四場比賽總得分，結(jié)合a，b，c滿足的條件，可求出a，b，c，再根據(jù)已知的得分情況，確定甲、乙、丙的得分情況，問題即可解決.【詳解】∵甲最后得分16分，∴，接下來以乙為主要研究對象，①若乙得分名次為：1場第一名，3場第二名，則，則，而，則，又，，此時(shí)不合題意；②若乙得分名次為：1場第一名，2場第二名，1場第三名，則，則，由，且a，b，可知，此時(shí)沒有符合該不等式的解，不合題意；③若乙得分名次為：1場第一名，1場第二名，2場第三名，則，則，由，且a，b，可知，此時(shí)沒有符合該不等式的解，不合題意；④若乙得分名次為：1場第一名，3場第三名，則，此時(shí)顯然，，則甲的得分情況為3場第一名，1場第三名，共分，乙的得分情況為1場第一名，3場第三名，共分，丙的得分情況為4場第二名，則，即，此時(shí)符合題意.綜上分析可知，乙在四場比賽中沒有獲得過第二名.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生的邏輯推理能力和閱讀理解能力，屬于中檔題.二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分．11.如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都為1,點(diǎn)A,B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，則_______.【答案】【解析】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的表示可知，所以．12.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且焦距大于4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為______．（寫出一個(gè)即可）【答案】（滿足或即可）.【解析】【分析】由題意結(jié)合雙曲線的漸近線可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，按照、討論，結(jié)合雙曲線的焦距分別求得的取值范圍即可得解.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)時(shí)，該雙曲線的焦距為即，解得；當(dāng)時(shí)，該雙曲線的焦距為即，解得；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，令可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：（滿足或即可）.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，關(guān)鍵是對于雙曲線相關(guān)概念的熟練應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13.若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________【答案】【解析】【分析】用分離參數(shù)法得出不等式m＞﹣x在x∈[1，2]上成立，根據(jù)函數(shù)f（x）=﹣x在x∈[1，2]上的單調(diào)性，即可求出a的取值范圍．【詳解】關(guān)于x的不等式x2+mx+2＞0在區(qū)間[1，2]上有解，∴mx＞-2﹣x2在x∈[1，2]上有解，即m＞﹣x在x∈[1，2]上有解；設(shè)函數(shù)f（x）=﹣x，x∈[1，2]，∴f′（x）=﹣1==0的根x=∴f（x）在[1，]上是單調(diào)遞增，在[，2]上是單調(diào)遞減.∴x=，f（x）=f（）=-2f（1）=-3，f（）=-3且f（x）的值域?yàn)椋?3，-2]，要m＞﹣x在x∈[1，2]上有解，則m＞﹣3，故答案為：（﹣3，+∞）．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的圖象的單調(diào)性與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題.14.如圖，已知正方形的邊長為6，平行于軸，頂點(diǎn)和分別在函數(shù)，和的圖像上，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】【解析】由于頂點(diǎn)，和分別在函數(shù)，和()的圖象上，設(shè)，由于平行于軸，則，有，解得，又，則.【點(diǎn)睛】由于正方形三個(gè)頂點(diǎn)在對數(shù)函數(shù)圖像上，且平行于軸，則軸，因此可以巧設(shè)出三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)之差的絕對值為邊長2，以及兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)之差的絕對值為邊長2，解答出本題.15.已知點(diǎn)，若曲線上存在兩點(diǎn)，，使為正三角形，則稱為型曲線．給定下列三條曲線：①；②；③．其中，是型曲線的有__________．【答案】①③【解析】對于①，到直線的距離為，若直線上存在兩點(diǎn)，，使為為正三角形，則，以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，解得或，所以①是．

對于②，化為，圖形是第二象限內(nèi)的四分之一圓弧，此時(shí)連接點(diǎn)與圓弧和兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)構(gòu)成的三角形頂角最小為，所以②不是．

對于③，根據(jù)對稱性，若上存在兩點(diǎn)存在兩點(diǎn)，，使為正三角形，則兩點(diǎn)連線的斜率為1，設(shè)，所在直線方程為，由題意知到直線距離為直線被所截弦長的倍，列方程解得，所以曲線③是T型線．

故答案為①③．【點(diǎn)睛】本題是新定義問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題目的意思，并且能夠把形的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法解決，同時(shí)需要注意的是每條曲線的范圍．三、解答題：共6小題，共85分．解答題寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.已知是等比數(shù)列，，．?dāng)?shù)列滿足，，且是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）首項(xiàng)求出，然后求出，然后可得；（2）分別算出數(shù)列、的前項(xiàng)和即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，解得．所以．設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得．所以．從而．（2）由（1）知．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為；數(shù)列的前項(xiàng)和為．所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為．17.已知函數(shù)，，且的最小正周期為.（Ⅰ）若，，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知可得，且由，得，解三角方程并注意，取相應(yīng)范圍的根；（Ⅱ）將變形為，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，只需，解不等式并表示成區(qū)間的形式，即得單調(diào)遞增區(qū)間.試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，解得．由，得，即，所以?因?yàn)?，所?（Ⅱ）解：函數(shù)，由，解得．所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.考點(diǎn)：1、三角方程；2、兩角和與差的三角函數(shù)；3、三角函數(shù)的單調(diào)性.18.某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時(shí)間，現(xiàn)采用分成抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們課外閱讀時(shí)間，然后按“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”分為兩組，再將每組學(xué)生的閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）寫出的值；試估計(jì)該校所有學(xué)生中，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；

（2）從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，并用表示其中初中生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）,870人（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率頻率直方圖的性質(zhì)，可求得的值；由分層抽樣，求得初中生有60名，高中有40名，分別求得初高中生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生的頻率及人數(shù)，求和；

（2）分別求得，初高中生中閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，寫出的取值及概率，寫出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖得，，解得；由分層抽樣，知抽取的初中生有60名，高中生有40名.因?yàn)槌踔猩?，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生頻率為，所以所有的初中生中，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生約有人，同理，高中生中，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生頻率為，學(xué)生人數(shù)約有人.所以該校所有學(xué)生中，閱讀時(shí)間不小于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約有450+420=870人.（2）初中生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生頻率為，樣本人數(shù)為人.同理，高中生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生樣本人數(shù)為人.故X的可能取值為1，2，3.則，，.123所以的分布列為：所以.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，分布列和期望求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.19.已知，曲線在處的切線方程為.（1）求的值；（2）求在上的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，判斷與交點(diǎn)的個(gè)數(shù).（只需寫出結(jié)論，不要求證明）【答案】（1）；（2）；（3）見解析【解析】試題分析：（1）求出的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，，求出，的值即可；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到在遞增，從而求出的最大值；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可得與有兩個(gè)交點(diǎn).試題解析：（1），由已知可得，，解之得．（2）令．則,故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；所以，故在單調(diào)遞增，所以．（3）當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn).20.如圖，已知橢圓:，直線:交橢圓于兩點(diǎn)．過左焦點(diǎn)且斜率為（）的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）求橢圓的離心率及實(shí)軸長；（2）若點(diǎn)在直線上，試求的關(guān)系式；（3）在（2）的前提下，是否存在實(shí)數(shù),使得的面積是面積的6倍？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；4；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）由題意可知,，可得答案；（2）設(shè)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程化簡可得答案；（3）知點(diǎn)A到直線CD的距離與點(diǎn)B到直線CD的距離相等，的面積是面積的6倍，?BCP的面積是?ACP面積的3倍，推得P為OA中點(diǎn)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得P坐標(biāo)，由P的坐標(biāo)相等列式求得k的值.【詳解】（1）由題意可知,所以，于是，實(shí)軸長2a=4.（2）設(shè)，，，即，所以，，，，于是，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以.化簡得關(guān)系式：.（3）若的面積是面積的6倍，則?BCP的面積是?ACP面積的3倍，又因?yàn)辄c(diǎn)C到直線AB的距離與點(diǎn)D到直線AB的距離相等，則|BP|=3|AP|，因?yàn)閨OB|=|OA|，于是P為OA中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則，因?yàn)?，解?于是，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線方程聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是難題.21.已知數(shù)列的首項(xiàng)其中，，令集合.（1）若，寫出集合中的所有的元素；（2）若，且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，求的所有可能取值構(gòu)成的集合；（3）求證：.【答案】（1）4，5，6，2，3，1；（2）{,}；（3）證明見解析.【解析