2021屆吉林省吉林市普通高中高三上學(xué)期畢業(yè)班第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

2021屆吉林省吉林市普通高中高三上學(xué)期畢業(yè)班第二次調(diào)研測試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．集合，，那么（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)并集的定義，直接求解.【詳解】，，.故選：A2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算以及復(fù)數(shù)表示的幾何意義即可求解.【詳解】解：因為復(fù)數(shù)i（2+i）=2i﹣1，故復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（﹣1，2），故選：C.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3．若對應(yīng)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖甲所示，現(xiàn)將這五個數(shù)據(jù)依次從小到大輸入程序框（如圖乙）進行計算（其中），則下列說法正確的是（）A．輸出的值是10B．輸出的值是2C．該程序框圖的統(tǒng)計意義為求這5個數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差D．該程序框圖的統(tǒng)計意義為求這5個數(shù)據(jù)的方差【答案】A【分析】根據(jù)程序框圖計算運算結(jié)果即可得出選項.【詳解】由程序框圖可得.故選：A4．我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計算方法．“牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體．圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖依次是（）A．①②③ B．②①③ C．②①④ D．③①④【答案】C【分析】根據(jù)三視圖的定義直接選出結(jié)果即可.【詳解】由三視圖的定義可知：正視圖為②；側(cè)視圖為①；俯視圖為④.故選：C5．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，進而可得充分性和必要性.【詳解】解：，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題考查充分性和必要性的判斷，考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.6．安徽黃山景區(qū)，每半個小時會有一趟纜車從山上發(fā)車到山下，某人下午在山上，準(zhǔn)備乘坐纜車下山，則他等待時間不多于5分鐘的概率為A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意分析在何區(qū)間內(nèi)等待時間可以控制在5分鐘之內(nèi)，再由概率計算公式即可求出結(jié)果.【詳解】此人在25分到30分或55分到60分之間的5分鐘內(nèi)到達，等待時間不多于5分鐘，所以他等待時間不多于分鐘的概率為.故選B【點睛】本題主要考查幾何概型，熟記公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.7．函數(shù)的定義域為A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域可知，化簡即可求出.【詳解】因為，所以故函數(shù)的定義域為，選D.【點睛】本題主要考查了正切型函數(shù)的定義域，屬于中檔題.8．等比數(shù)列中，，，則的前12項和為（）A．24 B．48 C．56 D．24或56【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，根據(jù)，，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)得：，，所以，解得，所以，所以的前12項和為或，故選：D9．人們眼中的天才之所以優(yōu)秀卓越，并非是他們的天賦異稟，而是付出了持續(xù)不斷的努力．一萬小時的錘煉是任何人從平庸變成非凡，從困境走向成功的必要條件．某個學(xué)生為提高自己的數(shù)學(xué)做題準(zhǔn)確率和速度，決定堅持每天刷題，刷題時間與做題正確率的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：刷題時間個單位（10分鐘為1個單位）2345準(zhǔn)確率（%）26394954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報刷題時間為6個單位的準(zhǔn)確率為（）A．72.0% B．67.7% C．65.5% D．63.6%【答案】C【分析】首先根據(jù)題意得到，，代入回歸直線方程得到，即，再將代入回歸直線方程計算即可.【詳解】，，因為過點，所以，即回歸直線方程為.當(dāng)時，.故選：C10．圓與直線相切于點，則直線的方程為A． B．C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)圓x2+y2-4x+2=0與直線l相切于點A（3，1），得到直線l過（3，1）且與過這一點的半徑垂直，做出過這一點的半徑的斜率，再做出直線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程．解：∵圓x2+y2-4x+2=0與直線l相切于點A（3，1），∴直線l過（3，1）且與過這一點的半徑垂直，∵過（3，1）的半徑的斜率是=1，∴直線l的斜率是-1，∴直線l的方程是y-1=-（x-3）即x+y-4=0故選D．11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，再由其奇偶性，得到在區(qū)間的單調(diào)性，由奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式化為，求解即可得出結(jié)果.【詳解】因為當(dāng)時，，所以顯然恒成立，所以在上單調(diào)遞增；又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以其在上單調(diào)遞減；由可得，則，整理得，解得，即原不等式的解集為.故選：A.12．已知拋物線的焦點為，點為直線上的一動點，過點向拋物線作切線，切點為，以點為圓心的圓與直線相切，則該圓的面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】可適當(dāng)將圖形旋轉(zhuǎn)成，目的在于可以化為函數(shù)，方便利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求取切線方程.再利用兩切線都過點，找到，，從而利用方程與函數(shù)思想，寫出直線的方程，從而求出到距離最大值.【詳解】不妨將拋物線逆時針旋轉(zhuǎn)，變成拋物線，此時焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程由原來的變成.設(shè)，過向拋物線作切線，切點為.不妨設(shè)即，求導(dǎo)有則過點拋物線的切線方程為：即，又有故又切線方程過，有，即同理有過點拋物線的切線方程為：，切線過點同樣滿足：故直線的方程為：，故恒過定點到距離為，當(dāng)，即時，到距離最大為1故面積的最大值為.回到旋轉(zhuǎn)之前的圖形中作答即有：當(dāng)點為，此時圓的面積最大為.故選：B【點睛】求拋物線的切線方程的方法：方法一：將拋物線轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程，這在開口朝上的拋物線中經(jīng)常用到.方法二：設(shè)切線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，采用判別式法求解．二、填空題13．已知，滿足約束條件，則的最大值為______．【答案】5【詳解】略14．已知，則______．【答案】【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，求得結(jié)果．【詳解】因為，平方得，即，得.故答案為：.15．已知兩個單位向量、的夾角為，向量，則|_____．【答案】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律和定義計算出的值，進而可求得的值.【詳解】根據(jù)題意，兩個單位向量、的夾角為，則，，則，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量模的計算，屬于基礎(chǔ)題．三、雙空題16．在三棱錐中，，其余三條側(cè)棱長均為5，則三棱錐的頂點到底面的距離為___________，三棱錐的外接球的半徑為___________.【答案】【分析】依題意點的投影在的外心上，利用勾股定理求出，再在利用勾股定理求出外接球的半徑；【詳解】解：因為頂點到、、的距離相等，所以點的投影在的外心上，外心為三條中垂線的交點，又，所以，所以，所以的外心為斜邊的中點，過點作，交于點，所以，，在中，，所以所以頂點到底面的距離為，為外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，在中，由勾股定理可得，解得故答案為：；【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項和為，其中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件列出方程求解，得出首項和公差，即可求出通項公式；（2）由（1）的結(jié)果，利用裂項相消的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)可得：，即，所以，∴，所以；（2）由（1）得，∴，∴．【點睛】結(jié)論點睛：裂項相消法求數(shù)列和的常見類型：（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無理型；（3）指數(shù)型；（4）對數(shù)型.18．在中，角，，的對邊分別是，，，已知，，，且.（1）求的值；（2）若點為邊上靠近的四等分點，且，求的面積.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，由，利用平面向量共線的坐標(biāo)運算，得出，且，進而得出，即可求出，結(jié)合三角形的內(nèi)角，即可求出的值；（2）設(shè)，由點為邊靠近點的四等分點，得，由三角形內(nèi)角和可算出，在中，利用余弦定理求出，從而得出和，最后利用三角形的面積公式即可求出的面積.【詳解】解：（1）由題可知，，，且，∴，即，∴，又，∴，即，∴，若，則，與矛盾，∴，∴，又為的內(nèi)角，∴，∴的值為.（2）設(shè)，由點為邊靠近點的四等分點，得，由（1）得，且已知，則，在中，根據(jù)余弦定理：，得，解得：，∴，∴，∴的面積為.【點睛】本題考查平面向量共線的坐標(biāo)運算和三角形的面積，通過余弦定理解三角形以及兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，考查化簡運算能力.19．已知四邊形是邊長為的正方形，是正三角形，平面平面（1）若為中點，證明：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證結(jié)論成立；（2）根據(jù)以及棱錐的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）為正三角形，且為中點，，平面平面，平面，平面平面平面.（2）正方形邊長為，，為正三角形，，由（1）知，平面，.所以三棱錐的體積為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用面面垂直的性質(zhì)定理求解是解題關(guān)鍵.20．2020年3月20日，中共中央、國務(wù)院印發(fā)了《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》（以下簡稱《意見》），《意見》中確定了勞動教育內(nèi)容要求，要求普通高中要注重圍繞豐富職業(yè)體驗，開展服務(wù)性勞動、參加生產(chǎn)勞動，使學(xué)生熟練掌握一定勞動技能，理解勞動創(chuàng)造價值，具有勞動自立意識和主動服務(wù)他人、服務(wù)社會的情懷．我市某中學(xué)鼓勵學(xué)生暑假期間多參加社會公益勞動，在實踐中讓學(xué)生利用所學(xué)知識技能，服務(wù)他人和社會，強化社會責(zé)任感，為了調(diào)查學(xué)生參加公益勞動的情況，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計得到他們參加公益勞動的總時間均在15~65小時內(nèi)，其數(shù)據(jù)分組依次為：，，，，，得到頻率分布直方圖如圖所示，其中．（1）求，的值，估計這100名學(xué)生參加公益勞動的總時間的平均數(shù)（同一組中的每一個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）學(xué)校要在參加公益勞動總時間在、這兩組的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取5人進行感受交流，再從這5人中隨機抽取2人進行感受分享，求這2人來自不同組的概率．【答案】（1），；平均數(shù)為40.2；（2）．【分析】（1）根據(jù)矩形面積和為1，求的值，再根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)；（2）首先利用分層抽樣，在中抽取3人，在中抽取2人，再編號，列舉基本事件，求概率，或者利用組合公式，求古典概型概率.【詳解】（1）依題意，，故．又因為，所以，．所求平均數(shù)為（小時）．所以估計這100名學(xué)生參加公益勞動的總時間的平均數(shù)為40.2．（2）由頻率分布直方圖可知，參加公益勞動總時間在和的學(xué)生比例為．又由分層抽樣的方法從參加公益勞動總時間在和的學(xué)生中隨機抽取5人，則在中抽取3人，分別記為，，，在中抽取2人，分別記為，，則從5人中隨機抽取2人的基本事件有，，，，，，，，，．這2人來自不同組的基本事件有：，，，，，，共6個，所以所求的概率．解法二：由頻率分布直方圖可知，參加公益勞動總時間在和的學(xué)生比例為．又由分層抽樣的方法從參加公益勞動總時間在和的學(xué)生中隨機抽取5人，則在中抽取3人，在中抽取2人，則從5人中隨機抽取2人的基本事件總數(shù)為．這2人來自不同組的基本事件數(shù)為．所以所求的概率．21．已知橢圓的離心率為，分別是橢圓的左?右焦點，是橢圓上一點，且的周長是6，.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線經(jīng)過橢圓的左焦點且與橢圓交于不同的兩點，求證：直線與直線的斜率的和為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由橢圓的定義可得的周長為，再由離心率，即可求出、，最后根據(jù)求出，即可得解；（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，計算可得；【詳解】解：（1）由橢圓的定義知的周長為，所以又因為橢圓的離心率，所以，聯(lián)立解得，所以因此所求的橢圓方程為（2）設(shè)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立消去得則因為所以為定值，這個定值為當(dāng)直線與軸垂直時，也有所以，直線與直線的斜率的和為定值0【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22．已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的值；（2）若有兩個不同的零點，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，把代入可得a，再檢驗即可；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，討論a的取值范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出極值，結(jié)合函數(shù)的圖象可得答案.【詳解】（1），處取得極值，，即，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，即在處取得極小值，符合題意.（2）由（1）知，，①當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且