2021屆寧夏銀川高三第三次月考數(shù)學(xué)(理)試題

銀川一中2021屆高三年級(jí)第三次月考理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.8答案D【分析】先求出集合元素個(gè)數(shù)，再根據(jù)求子集的公式求得子集個(gè)數(shù)．解：因?yàn)榧?，所以所以子集個(gè)數(shù)為個(gè)故選：D2.下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.若命題p為真命題，命題q為假命題，則命題“”為真命題B.命題“若，則或”為真命題C.命題“若，則或”的否命題為“若，則且”D.命題，，則為，答案C【分析】根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性，判斷A選項(xiàng)是否正確.根據(jù)原命題的逆否命題的真假性，判斷B選項(xiàng)是否正確.根據(jù)否命題的知識(shí)判斷C選項(xiàng)是否正確.根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題的知識(shí)，判斷D選項(xiàng)是否正確.解：對(duì)于A選項(xiàng)，由于為假命題，所以為真命題，所以“”為真命題，故A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，原命題的逆否命題是“若且，則”為真命題，原命題也是真命題，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，命題“若,則或”的否命題為“若,則且”，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，易得D選項(xiàng)正確故選：C3.中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互變化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．給出定義：能夠?qū)A(為坐標(biāo)原點(diǎn))的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”．給出下列命題：①對(duì)于任意一個(gè)圓，其“優(yōu)美函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)；②函數(shù)可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；③正弦函數(shù)可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；④函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形．A.①④ B.①③④ C.②③ D.①③答案D【分析】根據(jù)定義分析，優(yōu)美函數(shù)具備的特征是，函數(shù)關(guān)于圓心（即坐標(biāo)原點(diǎn)）呈中心對(duì)稱.解：對(duì)①，中心對(duì)稱圖形有無(wú)數(shù)個(gè)，①正確對(duì)②，函數(shù)是偶函數(shù)，不關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.②錯(cuò)誤對(duì)③，正弦函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，③正確.對(duì)④，充要條件應(yīng)該是關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，④錯(cuò)誤故選D點(diǎn)評(píng)：仔細(xì)閱讀新定義問(wèn)題，理解定義中優(yōu)美函數(shù)的含義，找到中心對(duì)稱圖形，即可判斷各項(xiàng)正誤.4.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案A【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除，求模，化簡(jiǎn)運(yùn)算，求出的坐標(biāo)得出答案.解：因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限．故選:A．點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除求模運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.5.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式是()A. B.C. D.答案B【分析】直接利用三角函數(shù)平移法則得到答案.解：函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式是：.故選：B.點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)平移，屬于簡(jiǎn)單題.6.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線方程為（）A. B. C. D.答案A【分析】由曲線在點(diǎn)處的切線方程為可求出，，由此可求出，，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出.解：由切線方程為切線方程為可知，，∴，∴切線為，即.故選：A.點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)向量，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.與的夾角為 D.在方向上的投影為答案C【分析】利用向量平行，垂直，夾角以及向量投影坐標(biāo)公式對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可.解：A.，即兩個(gè)向量不滿足平行的坐標(biāo)公式，故錯(cuò)誤；B.，即不滿足向量垂直的坐標(biāo)公式，故錯(cuò)誤；C.，，所以?shī)A角為，正確；D.在方向上的投影為，故錯(cuò)誤.故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量平行，垂直以及兩個(gè)向量的夾角坐標(biāo)公式，考查向量投影的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題.8.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，則使成立的的最大值為（）A.3 B.4 C.24 D.25答案C【分析】由等差數(shù)列的定義可知是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，可求得，所以，帶入不等式．即可求解．解：由等差數(shù)列的定義可知是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列所以，所以，，又，所以，即解得，又，所以，故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，及一元一次不等式解法，突破點(diǎn)在于根據(jù)等差數(shù)列的定義，得到為等差數(shù)列，再進(jìn)行求解．而不是直接求，屬基礎(chǔ)題．9.已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是A.[–1，0） B.[0，+∞） C.[–1，+∞） D.[1，+∞）答案C分析：首先根據(jù)g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，得到方程有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，即直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫(huà)出函數(shù)的圖像（將去掉），再畫(huà)出直線，并將其上下移動(dòng)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，滿足與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得結(jié)果.詳解：畫(huà)出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，再畫(huà)出直線，之后上下移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，并且向下可以無(wú)限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，也就是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿足，即，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，解題的思路是將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，將式子移項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為兩條曲線交點(diǎn)的問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)的圖像以及相應(yīng)的直線，在直線移動(dòng)的過(guò)程中，利用數(shù)形結(jié)合思想，求得相應(yīng)的結(jié)果.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，，則下列判斷正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為4B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象答案C解：根據(jù)函數(shù)，的部分圖象，，，．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，，．故它的周期為，故不對(duì)．令，，的值不是最值，故不對(duì)．令，，的值為零，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱，故正確．把函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位，可得的圖象，顯然所得函數(shù)不是偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，故選：．故選C.11.已知函數(shù)在定義域上的值不全為零，若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列式子中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.答案D【分析】由題設(shè)條件可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且關(guān)于直線對(duì)稱，從而得到為偶函數(shù)且為周期函數(shù)，從而可判斷各項(xiàng)的正誤.解：∵函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，∴函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，令，∴，即，∴…⑴令，∵其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∴，即，∴…⑵由⑴⑵得，，∴…⑶∴，由⑵得,∴；∴A對(duì)；由⑶，得，即，∴B對(duì)；由⑴得，，又，∴，∴C對(duì)；若，則，∴，由⑶得，又，∴，即，與題意矛盾，∴D錯(cuò).故選：D.點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性、奇偶性、周期性，注意圖象的對(duì)稱性與函數(shù)解析式滿足的等式關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)性，本題屬于中檔題.12.若函數(shù)，則滿足恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.答案A【分析】判斷是上的奇函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)可判斷是上的增函數(shù)，恒成立等價(jià)于，分離得，令，則，經(jīng)過(guò)分析知是上的偶函數(shù)，只需求在上的最大值，進(jìn)而求得的取值范圍.解：因?yàn)?，所以是上的奇函?shù)，，，所以是上的增函數(shù)，等價(jià)于所以，所以，令，則，因?yàn)榍叶x域?yàn)椋允巧系呐己瘮?shù)，所以只需求在上的最大值即可.當(dāng)時(shí)，，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得：，即，故選：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值以及恒成立問(wèn)題，屬于較難題.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.答案試題分析：由已知可得在上恒成立在上恒成立.考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；2、函數(shù)與不等式.【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)與不等式，涉及數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.利用導(dǎo)數(shù)處理不等式問(wèn)題,在解答題中主要體現(xiàn)為不等式的證明與不等式的恒成立問(wèn)題.常規(guī)的解決方法是首先等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值來(lái)解決.由已知可得在上恒成立在上恒成立.14.在邊長(zhǎng)為2的正方形中，為的中點(diǎn)，交于.若，則________.

答案【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則得，根據(jù)三角形相似可得，，代入可得，結(jié)合已知，根據(jù)平面向量基本定理可得，，即可求解解：因?yàn)樵谡叫沃?，E為CD中點(diǎn)，所以，又為，所以，所以，，所以，又已知，根據(jù)平面向量基本定理可得，，所以，故答案為：點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于利用，證得，進(jìn)而，可以求出，難度屬于基礎(chǔ)題15.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若存在，滿足，，則數(shù)列的公比為_(kāi)_____．答案3【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)已知式，可得，解出，進(jìn)而根據(jù)求得結(jié)果.解：由得：由得：則則本題正確結(jié)果：點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解基本量的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)⒁阎P(guān)系式化成關(guān)于和的形式，構(gòu)成方程組，解方程組求得結(jié)果.16.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，則當(dāng)角取最大值時(shí)，的周長(zhǎng)為_(kāi)________.答案【分析】先利用已知條件化簡(jiǎn)整理得，再根據(jù)化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式和取最值的條件得到三角，最后求邊長(zhǎng)即得周長(zhǎng).解：因?yàn)?，所以，即是鈍角，是銳角，，即得，故，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)最大，為，故角取最大值，，故，又由，故，即周長(zhǎng)為.故答案為：.點(diǎn)評(píng)：本題解題關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦公式，由弦化切得到，結(jié)合展開(kāi)，利用基本不等式求解.三角形中常用的誘導(dǎo)公式有：，，等等.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，且函數(shù)圖像又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得圖象過(guò)點(diǎn)和，再用待定系數(shù)即可求解；（2）將化為，再用分離參數(shù)法求解即可.解：（1）依題意，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)和.所以，故.（2）不等式可化為.即對(duì)一切的恒成立.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法求解析式，不等式恒成立問(wèn)題，是中檔題.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種方法：（1）分類討論法：根據(jù)參數(shù)的臨界值分類討論參數(shù)的取值是否滿足要求；（2）參變分離法：將參數(shù)從不等式中分離出來(lái)，通過(guò)函數(shù)或者不等式確定最值，由此得到參數(shù)范圍.18.在三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若，角為鈍角，（1）求的值；（2）求邊的長(zhǎng).答案（1）（2）【分析】（1）由，分別求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．解：(1)因?yàn)榻菫殁g角，，所以，又，所以，且，所以.(2)因?yàn)?，且，所以，又，則，所以.19.已知數(shù)列滿足，（，），（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意，.答案（1）證明見(jiàn)解析，；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由l兩邊同時(shí)除以得到有，再構(gòu)造等比數(shù)列得解（2）放縮，再利用等比數(shù)列求和得解.解：（1）由有，∴∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列.∴，∴（2），∴，.點(diǎn)評(píng)：本題考查利用遞推關(guān)系證明等比數(shù)列及求通項(xiàng)，并用放縮法證明不等式，屬于基礎(chǔ)題.20.已知函數(shù)，在上的最大值為3．（1）求的值及函數(shù)的周期與單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，求的取值范圍．答案（1），周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，（2）【分析】（1）化簡(jiǎn)得，根據(jù)最大值求出p的值，再求出函數(shù)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)得到，,化簡(jiǎn)得，再求范圍得解.解：（1）依題意，∵的最大值為3，∴，∴，∴，其中，，其周期為．因?yàn)?，時(shí)，單調(diào)遞增，解得．∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，．（2）∵，且為銳角，∴，∴，∴．又∵，為銳角，所以∴．∴，其中，∴．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查正弦定理，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.21.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（2）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．答案（1）；（2）.【分析】（1）先寫(xiě)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)函數(shù)單調(diào)性并求最值即可；（2）先寫(xiě)解析式代入方程，把方程有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，研究其導(dǎo)數(shù)、最值情況，構(gòu)建關(guān)系求解參數(shù)即可.解：解：（1）依題意，知的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，令，解得．（∵），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．所以的極大值為，此即為最大值；（2）由，，得因?yàn)榉匠逃形ㄒ粚?shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)，則，令，即．因?yàn)?，，所以（舍去），，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，取最小值．因?yàn)橛形ㄒ唤猓?，則，即．所以，因?yàn)?，所以?）設(shè)函數(shù)，易見(jiàn)當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解．因?yàn)椋苑匠蹋?）解為，即，解得．點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值和零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.22.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線的極坐標(biāo)方程為，射線與曲線交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，設(shè)傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線的參數(shù)方程；（2）直線與曲線交于、兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，最大？求出此最大值．答案（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為，