微分方程講義

課程安排：2學(xué)期，周學(xué)時(shí)4,共96學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：定積分的計(jì)算要求：聽(tīng)課、復(fù)習(xí)、作業(yè)本次課題（或教材章節(jié)題目）：第七章微分方程第一講微分方程的基本概念教學(xué)要求：微分方程的基本概念以及微分方程階的概念。重點(diǎn)：微分方程的基本概念，微分方程階的概念難點(diǎn)：微分方程的概念；微分方程階的概念教學(xué)手段及教具：講授為主講授內(nèi)容及時(shí)間分配：1 復(fù)習(xí) 15分鐘2 微分方程的問(wèn)題舉例 30分鐘3 微分方程概念以及階數(shù)練 45分鐘課后作業(yè)參考資料定積分的概念與性質(zhì)一、復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)的概念二、微分方程問(wèn)題舉例及引出函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映，利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究.因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系，在實(shí)踐中具有重要意義.在許多問(wèn)題中，往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系，但是根據(jù)問(wèn)題所提供的情況,有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式.這樣的關(guān)系就是所謂微分方程.微分方程建立以后，對(duì)它進(jìn)行研究，找出未知函數(shù)來(lái)，這就是解微分方程.例1一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),且在該曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2%，求這曲線的方程.解設(shè)所求曲線的方程為尸y(%).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可知未知函數(shù)尸y(%)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程)(1)(2)(3)季=2%(1)(2)(3)此外，未知函數(shù)y=y(x)還應(yīng)滿足下列條件：%=1時(shí),y=2,簡(jiǎn)記為yI%=1=2.把(1)式兩端積分相(稱為微分方程的通解)y=J2%d%,即y=%2+C,其中C是任意常數(shù).把條件“%=1時(shí),丁=2"代入(3)式，得2=12+C,由此定出C=1.把C=1代入(3)式，得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件yI%=1=2的解)：y=%2+1.例2列車(chē)在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛;當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車(chē)獲得加速度-0.4m/s2.問(wèn)開(kāi)始制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才能停住，以及列車(chē)在這段時(shí)間里行駛了多少路程？解設(shè)列車(chē)在開(kāi)始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米.根據(jù)題意,反映制動(dòng)階段列車(chē)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)s=s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式爭(zhēng)=-0.4.(4)dt2此外，未知函數(shù)s=s(t)還應(yīng)滿足下列條件：(5).ds………(5)t=0時(shí),s=0,v=—=20.簡(jiǎn)記為sI=0,s]=20.dt t=0 t=0把(4)式兩端積分一次捐(6)v=—=-0.41+C;(6)dt 1再積分一次，得s=-0.212+C11+C2,這里C1,C2都是任意常數(shù).把條件V1t=0=20代入⑹得20=C1;把條件s1t=0=0代入⑺得0=C2.把q,c2的值代入⑹及⑺式得v=-0.41+20,(8)s=-0.212+201. (9)在⑻式中令v=0,得到列車(chē)從開(kāi)始制動(dòng)到完全停住所需的時(shí)間得=50(s).再把t=50代入(9)，得到列車(chē)在制動(dòng)階段行駛的路程s=-0.2x502+20x50=500(m).解設(shè)列車(chē)在開(kāi)始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米，s"=-0.4,并且s|t=0=0,s]=0=20.把等式s〃=-0.4兩端積分一次，得sJ-0.41+q,即V=-0.41+cjq是任意常數(shù))，再積分一次居s=-0.212+qt+c2(q,c2都q是任意常數(shù)).由v11=0=20得20=C1,于是v=-0.41+20;由s1t=0=0得0=。于是s=-0.212+201.令v=0,得t=50(s).于是列車(chē)在制動(dòng)階段行駛的路程s=-0.2x502+20x50=500(m).二、微分方程的定義微分方程:表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程叫微分方程.常微分方程:未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，叫常微分方程.偏微分方程:未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，叫偏微分方程.微分方程的階:微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫微分方程的階.%3y〃+x2y，-4%y=3x2,y(4)-4y〃+10y〃-12y'+5尸sin2x,y(n)+1=0,一般n階微分方程：F(x,y,y，,…,y(n))=0.y(n)=f(x,y,y',…，y(n-一曲線過(guò)點(diǎn)°，一曲線過(guò)點(diǎn)°，2），且在該曲線上任一點(diǎn)Q，y）處的切線斜率為2x，求該曲線的方程。微分方程的解:滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解.確切地說(shuō),設(shè)函數(shù)y=0x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間I上，F(xiàn)[x，①(x),9(x),…4Gn)(x)]=0,那么函數(shù)y=9(x)就叫做微分方程F(x,y,y',…,y(n))=0在區(qū)間I上的解.通解:如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解.初始條件:用于確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件加x=x0時(shí),y=y0,y，=y，0.一般寫(xiě)成yx=x=y0,yx=x=y0.0 0特解:確定了通解中的任意常數(shù)以后，就得到微分方程的特解.即不含任意常數(shù)的解.

初值問(wèn)題:求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題的解的問(wèn)題，記為T(mén)OC\o"1-5"\h\z如求微分方程y'=f（x,y）滿足初始條件y =月的解的問(wèn)題，記為x=x0 uy=f（x，y）y二y.Lx=x0 0積分曲線:微分方程的解的圖形是一條曲線,叫做微分方程的積分曲線.例3驗(yàn)證:函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt是微分方程也+k2x=0dt2的解.解求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：dx=-kCsinkt+kCcoskt,dt1 2 'd—x=-k2Ccoskt-k2Csinkt=-k2(Ccoskt+Csinkt)dt2 1 2 '1 2八將要及X的表達(dá)式代入所給方程相dt2-k2(C1coskt+C2sinkt)+k2(C1coskt+C2sinkt)三0.d2x這表明函數(shù)X=C1coskt+C2sinkt滿足方程黃+k2x=0,因此所給函數(shù)是所給方程的解.d2x例4已知函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt（k力0）是微分方程--—+k2x=0的通解，求滿足初始條件x?t=0=A刈t=0=0的特解.解由條件x|t=0=A及x=C1coskt+C2sinkt，得C1=A.再由條件x'It=0=0,及x,，（t）=-kC1sinkt+kC2coskt，得C2=0.把q、C2的值代入x=C1coskt+C2sinkt中，得x=Acoskt.解：設(shè)所求曲線的方程為y解：設(shè)所求曲線的方程為y=于Q）則它滿足y'=2x、y|1二2, , .v=x2+c 把方程兩端積分，得VX+c （c是任意常數(shù)）2=12+c由初始條件，有 c由此定出c=1v=X2+1故所求曲線的方程為VX+2驗(yàn)證：函數(shù)V=TX+c2xex（c「C2是任意常數(shù)）是微分方程v〃—2v'+v=0的通解。解：y=ciex+c2xexV'=cex+cex+cxex-2y，=-2ciex-202ex-202xexV〃=c1ex+20?ex+c?xeX顯然v〃-2v'+v三0故v=ciex+c2xeX是微分方程的解。因ci,c2是相互獨(dú)立的兩個(gè)任意常數(shù)，而微分方程的階數(shù)是二階的，故它微分方程的通解。

課程安排：2學(xué)期，周學(xué)時(shí)4,共96學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：定積分的計(jì)算要求：聽(tīng)課、復(fù)習(xí)、作業(yè)本次課題（或教材章節(jié)題目）：第七章微分方程第二講可分離變量的微分方程教學(xué)要求：掌握可分離變量的微分方程的解法重 點(diǎn)：掌握可分離變量的微分方程的解法難點(diǎn)：可分離變量的微分方程的解法教學(xué)手段及教具：講授為主講授內(nèi)容及時(shí)間分配：1復(fù)習(xí) 10分鐘2 可分離變量的微分方程45分鐘3練習(xí) 35分鐘課后作業(yè)參考資料如果一階微分方程能化成g(y)dy=f(元)dx的形式，那么原方程稱之為可分離變量的微分方程。為討論這類微分方程的求解，我們先看兩個(gè)引例對(duì)于一階微分方程dy=2xdx只需將上式兩端積分就得到了這個(gè)方程的通解y=x2+c但是，并非所有的一階微分方程都能這樣求解。例如，對(duì)于一階微分方程d=2xy2dx就不能直接兩端取積分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函數(shù)，積分』2xy2dx求不出來(lái)。為了解決這個(gè)困難，在方程的兩端同乘以一丁，使方程變?yōu)槎?xdxTOC\o"1-5"\h\zy2 y2這樣，變量y與x被分離在等式的兩端，然后兩端積分得dy 1 2.J =J2xdxn_—=x4+c\o"CurrentDocument"y2 y如此得到的函數(shù)是原來(lái)的微分方程的解嗎？直接驗(yàn)證：對(duì)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，有dy dy 2?=2xn =2xy2y2dx dx可見(jiàn)，它確實(shí)是原方程的通解。下面討論可分離變量微分方程g(y)dy=f(x)dx?的求解。假定函數(shù)f(x)和g(y)是連續(xù)的。設(shè)y=①(x)是方程?的解，將它代入方程得到恒等式g[^(x)]?①'(x)dx=f(x)dx將上式兩端積分有Jg[^(^)]。(X)dx=Jf(x)dx引入變量替換y=r(x)，得Jg(y)dy=Jf(x)dx設(shè)G(y)及F(x)依次為g(y)及f(x)的原函數(shù)，于是有G(y)=F(x)+c?因此，方程?的解滿足關(guān)系式?。反之，如果y=^(x)是?式所確定的隱函數(shù)，那未在g(y)中°的條件下，據(jù)隱函數(shù)的直接求導(dǎo)法有G'(y)?坐=F(x)ng(y)?dL=f(x)ng(y)dy=f(x)dxdx dx因此，函數(shù)y=5(x)滿足方程?。綜合上述討論有如果可分離變量方程?中的f(x)和g(y)連續(xù)，且g(y)豐°，那么?式兩端積分后得到的關(guān)系式?，它用隱式的形式給出了方程?的解。由于?式含有任意常數(shù)，故?式叫做微分方程的隱式通解(當(dāng)f(x)牛°時(shí)，?式所確定的隱函數(shù)也可認(rèn)為是方程?的解)?！纠?】設(shè)降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)(t二°)速度為零，求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。解：設(shè)傘下落速度為v(t)，在下落時(shí)，同時(shí)受到重力P與阻力R的作用，重力大小為mg，方向與v一致;阻力大小為kv(k為比例系數(shù))，方向與v相反，從而傘所受外力為F-mg-kv據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律F=ma，得到函數(shù)叭t）應(yīng)滿足微分方程dvm一1dvm一1dt=mg-kv=0dv方程是可分離變量的，分離變量得mg_心dtm兩端積分，有jdv_j兩端積分，有jdv_jdtmg-kvmn-1ln(mg-kv)=L+q

k mktmg-kv_e-kci-emnkmg -一.tv=，+c-emk—kc其中c_-k,e1

k由初始條件v由初始條件v_0 -mgt_0_0，有八下于是所求的函數(shù)為v_mg(1-e

k【例2】有高為100厘米的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面面積為1平方厘米，開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水，求水從小孔流出過(guò)程中容器里的水面的高度h（水面與孔口中心間的距離）隨時(shí)間t變化的規(guī)律。解：由水力學(xué)知道，水從孔口流出的流量0（即通過(guò)孔口橫截面的水的體積v對(duì)時(shí)間t的變化率）可用下列公式計(jì)算dV

dt_dV

dt_0.62?s、；2gh這里，0.62為流量系數(shù)，s為孔口橫截面面積，g為重力加速度?，F(xiàn)在，孔口橫截面面積為s_1

dV-_ -_ _—=0.62訓(xùn)ndV=0.62訓(xùn)?dtdt'；方面，設(shè)在微小時(shí)間間隔[t,t+dt]內(nèi)，水面高度由h降至h+dh，可得到方面，設(shè)在微小時(shí)間間隔dV-—兀r2dh其中r其中r是時(shí)刻t時(shí)的水面半徑，右端置負(fù)號(hào)是由于dh<0，而dV>0如圖，r-、麗-(I00-h)2-v200h—h2dV-—兀(200h—h2)dh得到微分方程0.62W?dt=—(200h—h2)dh及初始條件”-0-100方程是可分離變量的方程1 3兀dt--062丁(200h2—h2)dh3一兀(400.—0.62\電(丁將初始條件代入，定出常數(shù)C。(孕00(孕002—52一二_1002)+CC- : x*x1050.62v2g 15把c值代入并化簡(jiǎn)，得3 5(7x105-103h2+3h2)【注記】本例通過(guò)對(duì)微小量的分析，得到了微分方程。這種方法稱為微小量分析法。

課程安排：2學(xué)期，周學(xué)時(shí)4,共96學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：定積分的計(jì)算要求：聽(tīng)課、復(fù)習(xí)、作業(yè)本次課題（或教材章節(jié)題目）：第五章微分方程第三節(jié)可分離變量的微分方程教學(xué)要求：.理解齊次方程的概念；.掌握齊次方程的解法；重點(diǎn)：常數(shù)變異法難點(diǎn)：常數(shù)變異法教學(xué)手段及教具：講授為主講授內(nèi)容及時(shí)間分配：1 復(fù)習(xí) 15分鐘2齊次微分方程45分鐘3 例題及練習(xí) 30分鐘課后作業(yè)參考資料

乎=f(x,y)dx中的f(x,乎=f(x,y)dx中的f(x,y)可寫(xiě)成y的函數(shù)，即f(x,y)=干

x，稱此方程為齊次方程。例如(xy-y2)dx-(x2-2xy)dy=0是齊次方程，因?yàn)閐y

dxxy-y2

x2-2xy在齊次方程dy_d中，引入變量替換u=yx有y=u?x,3=u+x?

dxdu

dx將它們代入齊次方程，得du/、u+x?一=中(u)nx?dxdu/、一=①(u)-udx分離變量，得dudx①(u)—ux兩邊積分，得xJdux①(u)-u求出積分后，再用y代替u，便得所給齊次方程的隱式通解。x【例1】解方程2,2dy_dyy+xd一町石解：原方程可寫(xiě)成(%2一孫)?-y-=-y2dxd2 fn2dy=y2=Ix)TOC\o"1-5"\h\zdxxy-x2 y-1x因此是齊次方程，令y=u，則xdy duy-u?xn一=u+x \o"CurrentDocument"dx dx于是原方程變?yōu)閐uu2u+x--dxu-1分離變量，得duu

x - dxu-1兩邊積分，得(1-i)du-3uxu-Inu+C-Inxnln(xu)-u+C以y代替u，得到原方程的通解xIny=y+Cx注記：齊次方程的求解實(shí)際上是通過(guò)變量替換，將方程化為可分離變量的方程。變量替換法在解微分方程中，有著特殊的作用。但困難之處是如何選擇適宜的變量替換。一般來(lái)說(shuō)，變量替換的選擇并無(wú)一定之規(guī)，往往要根據(jù)所考慮的微分方程的特點(diǎn)而構(gòu)造。對(duì)于初學(xué)者，不妨多試一試，嘗試幾個(gè)直接了當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q。【例2】求下列微分方程的通解dy2c21、-x=x2+2xy+y2

2、xy，+y=y(InX+lny)解1、令u=x+y，則y=u-xdyduJdxdxTOC\o"1-5"\h\zdu 1 du\o"CurrentDocument"原方程化為---i=u2n =udu 72+in=du 72+in=dx

u2+1解2Jduu2+1二Jdxnarctgu、(xy)'=y(lnxy)=x+cnu=tg(x+c)令U二町，原方程可化為du

dxui du二_Inunulnudx nxJdu_JdxulnuxInInu=Inx+qnInu=eCi?xnInxy=c?x【例3】設(shè)河邊點(diǎn)0的正對(duì)岸為點(diǎn)A，河寬0Ahh，兩岸為平行直線，水流速度為a。有鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)0，設(shè)鴨子（在靜水中）的游速為b（b>a），且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)0，求鴨子游過(guò)的跡線。，鴨子游速為=b），則鴨子實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度為解：設(shè)水流速度為“（|步|"a），鴨子游速為=b），則鴨子實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度為取0為坐標(biāo)原點(diǎn)，河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸，y軸指向?qū)Π?，設(shè)在時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P（x，y）。設(shè)鴨子運(yùn)動(dòng)速度為dxdy

dt'dt

,bxby由此得到微分方程byy2ax+1+y,dxdy則入=yux)dx即da：x2+y2而￡={a,bxby由此得到微分方程byy2ax+1+y,dxdy則入=yux)dx即da：x2+y2而￡={a,0}bydyduyd^x十一vx2+y2a,'2 1_uu2+1b'du分離變量得、Ju2+1一， ;—7、 a一、積分得ln(u+\u2+1)=—(lny+Inc)bdx——二ydydxvx故有d二次Jybb=b.PO。=b.上』3x2+y2—"IyJhe2+y2J JJdudy+u，代入上面的方程有從而2a-x令——uy'

本次課題（或教材章節(jié)題目）：第五章微分方程第四節(jié)一階線性微分方程教學(xué)要求：.理解一階線性微分方程的概念；.掌握一階線性微分方程解法；重點(diǎn)：1.常數(shù)變異法；2.一階線性微分方程的解法難點(diǎn)：1.常數(shù)變異法；2.一階線性微分方程的解法教學(xué)手段及教具：講授為主講授內(nèi)容及時(shí)間分配：1 復(fù)習(xí) 15分鐘2 一階線性微分方程45分鐘3 例題及練習(xí) 30分鐘課后作業(yè)參考資料、八q土方程d+P(x)y=Q(x)?dx叫做一階線性微分方程(因?yàn)樗鼘?duì)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)均為一次的)。如果Q(x)三0，則方程稱為齊次的；如果Q(x)不恒等于零，則方程稱為非齊次的。首先，我們討論?式所對(duì)應(yīng)的齊次方程，+P(x)y=0?dx的通解問(wèn)題。分離變量得-y-=—P(x)dx兩邊積分得lny=_jP(x)dx+ln0或y=c?e—jP(x)dx其次，我們使用所謂的常數(shù)變易法來(lái)求非齊次線性方程?的通解。，即作變換將?的通解中的常數(shù)c換成的未知函數(shù)u(x)y=u?eTP(x)dx，即作變換兩邊乘以得P(x>y=uP(x)e-』P(x)dx兩邊求導(dǎo)得dL=u'eTP(x)dx-uP(x)eTP(x)dx^d^x代入方程?得u'e-jP(x)dx-Q(x)，u'=Q(x)ejP(x)dxu=c+jQ(x)e』P(x)dxdx于是得到非齊次線性方程?的通解+jQ(x)ejP(x)dxdx]y=c.e—JP(%)dx+e_IP(x)dx.jQ(x)e』P(x)dxdx不難發(fā)現(xiàn):第一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程?的通解;第二項(xiàng)是非齊次線性方程?的一個(gè)特解。由此得到一階線性非齊次方程的通解之結(jié)構(gòu)。【例1】求方程dy2y/八3--L=(X+1)2dxx+1的通解。3y=e」一贏dx-[c+J(x+1)2e'—贏ddx]^^：3=eln(x+1)2?[c+J(x+1)2-e-ln(x+1)2dx]1二(x+1)2,[c+j(x+1)2dx]1=(x+1)2,[c+2(x+1)2]由此例的求解可知，若能確定一個(gè)方程為一階線性非齊次方程，求解它只需套用公式。非齊次通解=齊次通解+非齊次特解

課程安排：2學(xué)期，周學(xué)時(shí)4,共96學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：定積分的計(jì)算要求：聽(tīng)課、復(fù)習(xí)、作業(yè)本次課題（或教材章節(jié)題目）：第五章微分方程第五節(jié)一階線性微分方程教學(xué)要求：1.理解伯努利方程的概念和伯努利方程的解法；重點(diǎn)：伯努利方程的解法難點(diǎn)：伯努利方程的解法教學(xué)手段及教具：講授為主講授內(nèi)容及時(shí)間分配：1 復(fù)習(xí) 15分鐘2 伯努利方程的概念和解法40分鐘3 例題及練習(xí) 35分鐘課后作業(yè)參考資料

二、貝努利方程方程華+P(x)?y=Q(x)?yn(n豐0,1)dx叫做貝努利方程。當(dāng)n=0時(shí)，它是一階線性非齊次微分方程坐+P(x)?y=Q(x)dx當(dāng)n=1時(shí)，它是一階線性齊次微分方程乎+[P(x)-Q(x)]?y=0dx當(dāng)nw0,1時(shí)，它是一階非線性的微分方程，通過(guò)變量代換可化歸為一階線性微分方程。具體解法如下：9+P(x)?y1-n=Q(x)dx華+P(x)?y9+P(x)?y1-n=Q(x)dx1 d(y1-1 d(y1-n)1-nd(y1-n)

dxdx+P(x)?y1-n+(1-n)P(x)?y1-n=(1-n)Q(x)1—n一r令y-Z，方程化為關(guān)于Z的一階線性非齊次微分方程dz二十(1-n)P(x)?z=(1-n)Q(x)dxdy^y-2的通解?！纠?】求貝努利dx+x-a(lnx)y2的通解。dxdx1dy 1 1解：——,丁+——=a?inx解：y2dxxyd(y-1)+L(y-1)=a?inxd(y-1)1dx-二(y-1)=-aInx課程安排：2學(xué)期，周學(xué)時(shí)4,共96學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：定積分的計(jì)算要求：聽(tīng)課、復(fù)習(xí)、作業(yè)本次課題（或教材章節(jié)題目）：第七章微分方程第六講可降階的高階微分方程教學(xué)要求：.理解定積分的元素法.會(huì)用元素法求解平面圖形面積重點(diǎn)：元素法求解平面圖形面積難點(diǎn)：元素法求解平面圖形面積教學(xué)手段及教具：講授為主講授內(nèi)容及時(shí)間分配:復(fù)習(xí)定積分的概念 10分鐘定積分的微元法 15分鐘平面圖形面積問(wèn)題 20分鐘例題及練習(xí) 45分鐘課后作業(yè)參考資料

一、=/(”型的微分方程微分方程y5)=/⑴的右端僅含有自變量x,只要把yS-D作為新的未知函數(shù)，那么就是新未知函數(shù)的一階微分方程，兩邊積分，就得到一個(gè)“—1階的微分方程yg)=j/(x)dx+q同理y5-2)=j[[f{x)dx+Cy +4依此類推，連續(xù)積分〃次，便得到了方程的含有〃個(gè)任意常數(shù)的通解?！纠?1求y'"=e2"一cosx的通解。]解：yff=_e2x_sinx+qyf=^e2x+cosx+c1x+c2y=#%+si2相①+4…§其中q，q，％是任意常數(shù)。二、y〃=/(x,y')二、y〃=/(x,y')型的微分方程微分方程尸=/(%?')的右端不顯含有未知函數(shù)了。如果作變量替換了=〃，則y"="方程可化為“二/(")這是一個(gè)關(guān)于變量芯夕的一階微分方程，設(shè)其通解為P=Q(兀、)其中，°2是任意常數(shù)?！纠?]求微分方程(1+元2)丁〃=2xyr滿足初始條件y=],y，=3的特解。由p二dix，又得以一個(gè)一階微分方程dy_ 、一①(x,C、］)^d^x因此，方程的通解為y=j①(x,q)dx+c?其中c1，c2是任意常數(shù)?！纠?】求微分方程(1+x2)y"=2xy'滿足初始條件yx二0=1，門(mén)x=0二3的特解。解：設(shè)y'=p，將之代入方程，得(1+x2).fp=2xpdx分離變量即=2xdx^x^v^'p 1+x2兩邊積分，得Inp=ln(1+x2)+Incp=J=c(1+x2)由條件yL=0=3，得c1=3從而y'=3(1+x2)再積分，得y=x3+3x+c2又由條件yL_0=1得c2=1x-故所求特解為y=.+3x+1注記：求高階方程滿足初始條件的特解時(shí)，對(duì)任意常數(shù)應(yīng)盡可能及時(shí)定出來(lái)，而不要待求出通解.課程安排：2學(xué)期，周學(xué)時(shí)4,共96學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：定積分的計(jì)算要求：聽(tīng)課、復(fù)習(xí)、作業(yè)本次課題（或教材章節(jié)題目）：第七章微分方程第七講可降階的高階微分方程教學(xué)要求：掌握可降階的高階微分方程解法重點(diǎn)：掌握可降階的高階微分方程解法難點(diǎn)：掌握可降階的高階微分方程解法教學(xué)手段及教具：講授為主 一講授內(nèi)容及時(shí)間分配：123課后作業(yè)復(fù)習(xí) 10分鐘可降階的高階微分方程解法 40分鐘例題及練習(xí) 40分鐘參考資料

三、y，，=f（y,y，）型微分方程微分方程y〃=f(y,yf)的右端不顯含自變量x。作變量替換y'=p，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可將y'‘寫(xiě)成如下形式“dp dpdy dpy=一=一?一=p?一dx dydx dy設(shè)求出它的通方程可化成p.dp=f（y，p）這是一個(gè)關(guān)于變量y，p的一階微分方程，設(shè)求出它的通解為p=-(y,c1)dy.從而有dx (y，c1)分離變量-再積分j分離變量-再積分j(y,c1)

dy=x+c2，便可得到方程的通解?！纠?】求y.y"+1=y'2的通解。dP解：設(shè)y-P,則y-Pdydp1 2yp+1=p2dypdpdy分離變量，得「2 二二1TOC\o"1-5"\h\zp2-1 ypdp dy兩邊積分J—2一7一J—p2-1 yi有l(wèi)n(p2-1)=Iny+Inq，

p2-1=(c1y)2p二±\：1+(c1y)2dy=±1+(cy)2dx±\：5y)分離變量，再積分，得dy1/ .:、—ln(c1y+1+(c1y)2)=x+c2c1 ”其中ci(中°)，c2是任意常數(shù)?！纠?】一個(gè)離地面很高的物體，受地球引力的作用由靜止開(kāi)始落向地面，求它落到地面時(shí)的速度和所需時(shí)間(不計(jì)空氣阻力)。解：取連結(jié)地球中心與該物體的直線為y軸，其方向鉛直向上，取地球中心在原點(diǎn)°。設(shè)物體的質(zhì)量為m，物體下落時(shí)與地球中心的距離為1，地球半徑為R，在時(shí)刻t物體所在位置為y=y(t)。于是，速度v(t)=d，據(jù)萬(wàn)有引力定律，有以下微分方程d2y kmMmIT2- y2其中：m為地球質(zhì)量，k為引力常數(shù)，因d2y dv_dvd"2"dt'且當(dāng)y二R時(shí),加二一g(這里置負(fù)號(hào)是由于物體運(yùn)動(dòng)加速度的方向與y軸的正向相反)，故kM^R2g-g-k= R2，Md2y_gR2于是方程可寫(xiě)成不-二一了一初始條件是4=。=1,yf\t=0=嗎=0=0…………Jy-v.先求物體到達(dá)地面的速度，由石一v，則d2ydvdvdy dv — — ■ —v■ dt2 dtdydt dydv gR2代入原方程,得v-d=-了J gR27分離變量，得vdv--尸dy2_2gR2”再求積分，得v一——+C1將初始條件vlt=0—0,ylt=0—1，代入得2gR2 2gR20――r+。1，°1-—11于是v2—2gR2(--l)在式中令y-R，得到物體到達(dá)地面時(shí)的速度v為-2gR(1-R)—11這里取負(fù)號(hào)是由于物體運(yùn)動(dòng)方向與y軸的正向相反。下面再求物體落到地面所需時(shí)間dy111—1—v--R2g(—-)dt yy1分離變量，得7 1 'y7dt=一_:dyR42g、"-y兩端積分，得由條件y|t=0=1，得c2=0在上式中令y=R,便得到物體到達(dá)地面所需的時(shí)間為++1arccos巴)11)課程安排：2學(xué)期，周學(xué)時(shí)4,共96學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：定積分的計(jì)算要求：聽(tīng)課、復(fù)習(xí)、作業(yè)本次課題（或教材章節(jié)題目）：第七章微分方程第八講二階常系數(shù)齊次線性微分方程教學(xué)要求：掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法重點(diǎn)：.二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程；.二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)。難點(diǎn)：二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)。教學(xué)手段及教具：講授為主講授內(nèi)容及時(shí)間分配:1復(fù)習(xí) 10分鐘2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法 15分鐘3 例題及練習(xí) 45分鐘課后作業(yè)參考資料一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式方程y，，+p-y，+q-y=0?其中p，q是常數(shù)，稱之為二階常系數(shù)齊次線性方程;如果p，q不全為常數(shù)，則稱它為二階變系數(shù)齊次線性微分方程。二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解由第八節(jié)的討論可知，要找微分方程?的通解，可先求出它的兩個(gè)解y1與y2，如果^常數(shù)，即y1與y2線性無(wú)關(guān)，那未y-qy1+c2y2就是方程的通解。y2對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=e."（r為常數(shù)），若它是方程?的解，則有y=erx q?y=q?erxy〃=y〃=r2?er'x1?y〃=r2?erxy〃+p?y'+q?y=(r2+p?r+q)?erx=0由于er?x牛0，從而有r2+p?r+q=0?由此可見(jiàn)，只要r滿足代數(shù)方程?，函數(shù)y=e^x就是微分方程?的解。我們把此代數(shù)方程叫做微分方程?的特征方程。二階常系數(shù)齊次線性方程的特征方程記憶y〃+p?y，+q?y=0JJJr2+p?r+q?1=0特征方程的兩個(gè)根r1，r2，可用公式

_-p土\,p2-4qr12- 2 求出，它們有三種不同的情形：⑴、當(dāng)p2-4q>0時(shí)，］，r2是兩個(gè)不相等的實(shí)根：-p+Tp2-4q -p-p2-4qr- ',g= t 1 2 2 2(2)、當(dāng)p2-4q=0時(shí)，「，弓是兩個(gè)相等的實(shí)根:pr1=r2--2⑶、當(dāng)p2-4q<0時(shí)，丁L是一對(duì)共軛復(fù)根：r1=a+iP,r2=a-iP其中a其中a--g，P/,4q-p2相應(yīng)地，微分方程?的通解也就有三種不同的情形，現(xiàn)分別討論如下：r豐r(1)、特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根：1 2由上面的討論知道，>1-er1