有關(guān)函數(shù)通性的試題選講含解析

有關(guān)函數(shù)通性的試題選講【內(nèi)容綜述】函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一個(gè)基本而又重要的概念，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，它幾乎滲透到各個(gè)分支中。函數(shù)圖象的對(duì)稱性反映了函數(shù)圖象的局部與整體的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用函數(shù)的對(duì)稱性，往往可使問(wèn)題簡(jiǎn)化。函數(shù)的奇偶性是對(duì)稱性中最重要的特殊情形。函數(shù)的單調(diào)性可用函數(shù)值的比較給出證明，利用函數(shù)的單調(diào)性，可以比較實(shí)數(shù)的大小，證明一些不等式和確定某些函數(shù)的值域及最值。設(shè)f是D上的函數(shù)，如果存在常數(shù)T≠0，使得對(duì)每個(gè)x∈D，都有f(x+T)=f(x-T)=f(x)成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T為f(x)的一個(gè)周期，如果f(x)的所有正周期中存在最小值，稱為周期函數(shù)f(x)的最 周期，一般說(shuō)函數(shù)的周期都是指最周期。例題分析例1已知函數(shù)y=f(x)(x∈R，且x≠0)，對(duì)任意非零實(shí) 都，試判定f(x)的奇偶性。分析：欲判別f(x)的奇偶性，即找出f(-x)與f(x)之間的關(guān)系，可令，為此必求出f(-1)，而求f(-1)，又可令 ，，為此又必先求出f(1)，而f(1)不難求得。解 ，則f(1)=2f(1)，所以f(1)=0 ，，則f(1)=f(-1)+f(-1)，所以f(-1)=0于是，在已知等式中，以-1，x分別代替 ，則f(-x)=f(-1)+f(x)，即f(-x)=f(x)，故f(x)為偶函數(shù)。說(shuō)明在以抽象的函數(shù)等為條件的問(wèn)題中，常常先考慮x0，-1，1等的特殊值，再利用f(0)，f(±1)的值來(lái)研究函數(shù)f(x)的性質(zhì)。2設(shè)a0f(xR上的一個(gè)實(shí)函數(shù)，并且對(duì)每一實(shí)數(shù)x滿足條件：試證明：函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，也就是，存在一個(gè)實(shí)數(shù)b＞0，使得對(duì)每一都有f(x+b)=f(xa=1舉出一個(gè)這種函數(shù)f(x)的例子，但f(x)不能是常數(shù)。分析這是一道探索存在性的問(wèn)題，題中給出的已知條件只有唯一的一個(gè)含有a的方程，告訴我們，f(x)的周期定與a有關(guān)，于是，我們可從原方程出發(fā)，邊遞推邊探索。解1， 有②將②代入①但故f(x+a)=f(x-即f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且周期b=2a2．現(xiàn)在我們來(lái)構(gòu)造一個(gè)周期為2的，滿足（1）式的函數(shù)f(x)，由于（1）這使我們想到最熟悉的周期函數(shù)：正余弦，但同時(shí)應(yīng)注意到2f(x)-1非負(fù)、周期2，所以可令即不難證實(shí)它的確滿足條件。說(shuō)明f(x)不唯一，顯然，函 也是滿足條件的一個(gè)例3證明：函數(shù) 可以表示為兩個(gè)單調(diào)遞增的多項(xiàng)式函數(shù)之差。證：注意到恒等式而函數(shù) 都是單調(diào)遞增的多項(xiàng)式函數(shù)，從而命題說(shuō)明例4設(shè)二次函 的圖象以y軸為對(duì)稱軸，已，而且若點(diǎn)在的圖象上，則點(diǎn)在函數(shù)的圖象上。 的解析 ，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)。分析由已知條 的解析式不難求得，欲求，可按定義分別求內(nèi)分別是減函數(shù)，增函數(shù)的的范圍，求出它們的交解（1） 的對(duì)稱軸為y軸，故，從。設(shè)在的圖象上，即，則點(diǎn)在的圖象上，即。 ，因此 （2）由（1）可 ，要使在 內(nèi)為減函數(shù)，只需 ，所以。然而 時(shí)，，因此，我們只要，，內(nèi)是減函數(shù)。同理， 時(shí)，內(nèi)是增函數(shù)綜上討論，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得對(duì)應(yīng)的滿足要求例5奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng) 時(shí)，，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)椋?，求a，b的值。分析可先由已知條件寫出在R上的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分情 的最大值和最小值，從而得到關(guān)于a、b的方程。解 是奇函時(shí)，函數(shù)式為因 同時(shí)存在所以分以下情形討論： 綜上分析說(shuō)明本題源自第四屆“希望杯”第二試解答題，重在考查學(xué)生的分類討論問(wèn)題能力和運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)的解題能力。例6函數(shù) 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不包括數(shù)0，對(duì)定義域中的任意實(shí)數(shù)x，在定義域中存在 ，且滿足以下3個(gè)條件。定義域中的數(shù) ， ，。，（a是一個(gè)正常數(shù)（3）當(dāng)0＜x＜2a時(shí)，f(x)＞0證明（i）f(x)是奇函數(shù)；（ii）f(x)是周期函數(shù)，并求出其周期；f(x)在（0，4a）內(nèi)為減函數(shù)。證：（i）對(duì)定義域中的x，由題設(shè)知在定義域中存在 ∴f(x)為奇函數(shù)（ii）因f(a)=1，∴f(-a)=-f(a)=-1，若f(x)≠0，則若f(x)=0，則仍有f(x+4a)