設計鄭宗漢鄭曉明第章近似算法

第15章近似算法0/1背包MMMSTTSP就是貨郎擔問題第15章近似算法很多問題的輸入數(shù)據(jù)是用測量方法取得的,存在一定的誤差,即輸入數(shù)據(jù)是近似的。很多問題的最優(yōu)解允許有一定程度的近似,只要誤差在一個有效范圍內(nèi)即可。采用近似算法可以在很短時間內(nèi)得到問題的解(與指數(shù)時間相比較)。15.1近似算法的性能比1.近似算法的基本要求算法能在問題規(guī)模n的多項式時間內(nèi)完成;算法的近似解滿足一定的精度要求。2.近似算法的近似比令表示一最小化問題,I是的一個實例,A是求解的一個近似算法,A(I)是近似解值,OPT是求解的最優(yōu)算法,OPT(I)是最優(yōu)解值,則近似算法A的近似比為:

A(I)=A(I)/OPT(I)若是最大化問題,則

A(I)=OPT(I)/A(I)說明:1)對最小化問題,有A(I)OPT(I)

對最大化問題,有A(I)OPT(I)2)近似算法的近似比總大于等于13)近似算法的近似比越小,性能越好A(I)=A(I)/OPT(I)A(I)=OPT(I)/A(I)3.近似算法的相對誤差相對誤差的定義:相對誤差的界(n):近似比與相對誤差界的關系:

(n)A(I)-1,即A(I)1+(n)

4.優(yōu)化問題的近似方案

(approximationscheme)很多難解問題可通過增加近似算法的計算量來改善其性能;優(yōu)化問題的近似方案把滿足A(I,)1+（在誤差范圍內(nèi)）的一類近似算法{A|>0}稱為優(yōu)化問題的近似方案,這些算法的性能比率會聚于1。

多項式近似方案

若近似方案中的每個算法A均以輸入實例規(guī)模的多項式時間運行,則稱該近似方案為多項式近似方案(PolynomialApproximationScheme)

多項式近似方案中算法的計算時間不隨的減少而增長太快。

完全多項式近似方案若近似方案中每個算法的計算時間是1/和n的多項式,則稱該近似方案為完全多項式近似方案(FullyPoly-nomialApproximationScheme){滿足三角不等式的旅行商問題}歐幾里得旅行商問題:給定賦權無向圖G=(V,E),旅行商問題求圖中最短Hamilton回路。若圖中頂點是平面上的頂點,以任意兩頂點之間的歐幾里德距離作為它們之間的距離,則為歐幾里德旅行商問題。15.2歐幾里得旅行商問題算法1.最近鄰算法(NN,貪心)kruscal任選一個頂點作為起點,選取最鄰近該起點的一個頂點,關聯(lián)于起點和該頂點的邊作為初始旅游通路;令v表示剛加到旅游通路上的新頂點。在不屬于該旅游通路上的頂點中選一個最鄰近頂點v的頂點v,將關聯(lián)于v與v的邊加到已有旅游通路上;重復執(zhí)行(2),逐點擴充旅游通路,直到所有頂點都包含在這條旅游通路上;將形成的旅游通路的起點和終點用邊聯(lián)結,形成所求的旅游回路.NN算法:NN=算法2.最小生成樹算法(MST)對旅行商問題任意實例對應的賦權圖,調(diào)用最小生成樹算法,求其最小生成樹;

primO(n2)或kruscalO(nlogn)復制最小生成樹的每條邊,即沿每條邊來回走兩次,形成歐拉圖;在這個歐拉圖中尋找其歐拉回路;利用“抄近路”方法將歐拉回路變成所求旅游回路(因滿足三角不等式,故采用“抄近路”方法不會增加旅游回路的長度)。定理1.對滿足三角不等式的旅行商問題的任意實例I,有MST<2證明:因最小生成樹長度<OPT(I),

AMST(I)<2*最小生成樹長度,

故AMST(I)<2*OPT(I)即MST(I)=AMST(I)/OPT(I)<2MST算法的實現(xiàn)步驟用Prim或Kruskal算法構造給定賦權圖的最小生成樹;用深度優(yōu)先搜索算法遍歷最小生成樹,得到按先序遍歷順序存放的頂點序號（得到序列）,則數(shù)組中順序存放的頂點序號即為歐幾里德TSP的近似解。算法3.投MM算法對旅豬行商畏問題衡任意路實例笑對應灑的賦蝕權圖,調(diào)用障最小天生成擱樹算桐法,求其貪最小箏生成恩樹T;對最堡小生重成樹T中頂霉點的寬度數(shù)輝為奇走數(shù)的輝頂點鬼集V={設a1,a2,…逢,a2k},調(diào)用沿最小猜對集嫂（偶數(shù)臭個頂銀點的也完全犯圖）算豆法,在圖G中求復出V的最襖小對看集M;（度數(shù)間為奇澤數(shù)的點點一憂定是栽偶數(shù)核個）。在最晚小生些成樹T上添狠加V的最吐小對偉集M,形成菊歐拉位圖G;（每個芳點的獨度數(shù)鉆都是箭偶數(shù)）在歐擦拉圖G中尋錢找其刪歐拉挖回路演（找到灑定點催序列）;利用“抄近賊路”方法蚊將歐怠拉回緩路變胃成所鈴求的時旅游屆回路鴨。定理2.對滿業(yè)足三游角不溪等式滔的貨本郎問題的陷任意謀實例I,有MM<3印/2證明:(1川)最小乓生成虹樹T的邊對長之舉和小于最短穿旅游遞回路;護d(磁T)尤<O及PT爭(I推)(2豬)因?qū)嵟掷凉M岡足三寄角不劉等式,故賦繭權圖G中經(jīng)海過V中頂點的最記短旅愉游回功路長塵度必小睜于經(jīng)過炎圖G中所某有頂易點的蛙最短軋旅游川回路灰長度叫。d(婦ep遍)<玩=1韻/2題op梅t(牢i)在經(jīng)綠過V中頂項點的嚴最短豬旅游摸回路草中,每隔洽一條夢邊刪現(xiàn)除一臥條邊,得到V的對起集M,而步中驟(2樂)找出循的是V的最鑄小對寧集M。它孕們之閱間的觸關系墳為:最小藏對集M中邊扛長度防之和對集M中邊祥長度已之和V中最眨短回預路長獎度的堅一半實例I中最曲短回冠路長居度的業(yè)一半因此,步驟(2崖)中求論出的V中最余小對牧集M的邊幣長度鑼之和不會吩超過實例I中最仁短回園路長藏度之飛和的腿一半;(3腎)歐拉激圖G的所紗有邊狗長度弄之和小于實例I中最撓短回福路長回度之即和的3/延2倍;(4墓)因滿蹤蝶足三暫角不裁等式,故采麻用抄含近路喝方法駕在歐該拉圖G中找卸出的冤旅游天回路須長度AMM(I晶)小于實例I中最蓮短回為路長珠度的3/睛2倍.因此,右AMM(I懼)<鄙3/蝕2O于PT賀(I滔),即MM<3哄/2有些釀問題賤存在野性能竿比會豆聚于1的近惜似算家法,只要搞增加具算法栽的運鄭算時銀間,可使節(jié)算法盯的性探能比幼接近擁于1。15氧.5多項醫(yī)式近郵似方習案1.殼0/聾1背包伴的多桶項式碼近似潤方案背包恥問題:輸入:撿U=敵{u1,u2,…稀un}（物轎體）,躲V=藝{v1,v2,…乳vn}（質(zhì)賺量）,楊P=貿(mào){p1,p2,…排pn}（價船值）,C（背污包容矛量）輸出:子集SU,使得ui詞SviC它,ma璃xui違Spi按pi/vi降序枕排序,并依病次填渾入背識包。分數(shù)罩背包普問題:最優(yōu)佛解0/跌1背包云問題:近似齡解0/犁1背包偉問題辰貪婪累算法演的性筑能比弦可能父無界。例如,候U=各{u1,u2},繼v1=1乎,辰p1=2勉,v2=p2=C>犁2算法炮所求兵解為{u1},最優(yōu)拍解為{u2}C可能船任意級大,故性漸能比休可能越無界.對算勻法做搞簡單禮修改籌可使友性能帆比為2.修改疊算法胃的步快驟:對物咸體按pi/vi降序爆排序,并依聚次裝寶入背爪包,得到街價值徐為pr的解;挑選一個膏價值敗最大的物渴體裝紹入背弄包,得到勸價值地為ps;選擇pr和ps中較言大者鹽作為果輸出孝。算法Kn凱ap浙sa淚ck孫-P諷ro忍bl汗em近似蘭算法輸入:宣U=喚{u1,u2,…君un},守V=眉{v1,v2,…苦,vn},P=站{p1,p2,…年,pn},脂C輸出:價值矩最大梨的子推集SU排序聚使p1/v1p2/v2…編pn/vni0;v0;p0;S{}戒;蕉//初始細化wh翁il梯ei<揉nan碑dv<國C旦{if關vi杠C-甜v{SS丹{刮ui};vv訪+vi;pp倍+pi};ii輩+1落;}令S={雅us},其中us為價歇值最爭大物孤體;Ifp鞏psre晃tu今rn當S狐;孔el岡se徑r千et滔ur命n卡S子.0/盼1背包唉問題叢的多辜項式乏近似椒方案算法鍵步驟:n個物蹦體按價值聰體積館比遞減斧排序;k=樸1/;i=界0;fo瓣r(投i=蘇0;醬i<槐=k命;i搶++林)fo然r(測j=花1;撿j<番=Cni;j書++步)2)j=羅1;3)從n個物弓體中熄選取i個物交體放進漠背包,這種酬選擇克共有Cni組,選擇第j組i個物饅體,其余聰物體太的選侵擇按騾貪心笨算法以執(zhí)行;令結螞果背鞠包中枕物體窄總價紙值為vj,保存美背包紗中物盼體序嘗號的仇數(shù)組自為kpj;4)若j<迫Cni,j在=j倉+1于,則轉3)形,否則乎轉5)逗;5)從Cni組結妨果中,選取vj最大鏡的一碑組結艷果,令其會價值資為svi,保存逆相應翁背包快中物卵體序名號的怒數(shù)組棕為sk緣瑞pi;6)秋i猛=i雙+1封;若ik,則轉2)典,否則勵轉7)候;7)從k+撲1組結記果中,選取svi最大娛的一晴組結鈔果,令其帳價值兼為v,保存灑相應螞背包棄中物寧體序富號的廣數(shù)組顯為kp犁,則v及kp為算巷法的統(tǒng)最終扣輸出即結果爽。多項應式近暑似方溝案的性能患分析:定理15秒.4對某舊個k1,令=1慌/k,算法留的運視行時糊間為O(knk+手1),性能娛比為1+。證明:1)時間致復雜碎性的杏證明對每失個確賤定的i,共需嘩進行Cni組選哨擇,執(zhí)行Cni次kn肌ap停sa昆ck睜_r樹ee臘dy算法;秋i由0遞增模到k,共需普執(zhí)行東的循惱環(huán)次桂數(shù)為:物體蔽排序奸在算棄法第令一步歲完成,執(zhí)行性時無以需重膽復執(zhí)駝行;每一壯輪循頓環(huán)中,把物款體裝隸入背雹包的萌工作都量為O(任n)送;因此,算法珠的總悔運行富時間伐為O(職knk+育1)。2)性能必比的毯證明令I是背奶包問稠題的還一個鋼實例,X是相陵應于最優(yōu)卡解的物尺體集削合。有躍兩種嬌情況:若|X赤|k,則算法殲第3步Cni組選此擇中衡必有嶼一組買選擇滾是最失優(yōu)解敞（遍裙歷了緩所有水種情棚況）引。此吐時,算法足的性鮮能比振為1。若|X醒|>k,令Y=擁{u1,u2,…證,uk}是X中k個價披值最箱大的結物體缸集合,令Z=揪{uk+盜1,薪uk+魂2,岔…,恢ur}是X中其余防物體勻的集智合。平均翠數(shù)：庫當i>恩k+痛1時，籃平均亂值一廈直在膚減少假定葡對滿獵足k+度1ir-