線性代數(shù)必須知識結(jié)論

ijijn1式ijijnn有

個元素，展有!

為n

；的性質(zhì)、A和??；）乘素子為0列乘余為

A

；和余子式的關(guān)系

Mij

A

Aij

M

設(shè)n行列式D將D轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)為

則

(D

；將D逆轉(zhuǎn)90為

則

D

(n

D

；將D翻列為

則

；將

D

翻得為，則

D

；要公式列對；列對積

(n

；角（

◥◣

：積、

和

素積

(n

；展：

OACABOB

、

OAmnOC

B列指積；對式

A

：

A

(

中S階；k證

A

：、

AA

；；方組

，明其；證

rn

；明0征；2陣

A

是：/

A、、A、、、

rn

陣的行量；齊組Ax

；R

，Ax

解；

與

E

；A若干陣；A

為

0；TA是正矩；

量是

R

；是n陣對階陣：

AA*A*A

成；

A

*

*

A

AT

A*

AT

*AB

TAT(

*

*A*(AB)

A

，導(dǎo)符浪號或；列式，求代；陣的重要結(jié)論，均可：A

A

A

若

A

：、

AAAA

AA

；

、

A

；OOB

OB主角分）、

OB

BO

）COO

CB

斯）OCCA

OB拉普拉）陣與程組一m矩陣A，可經(jīng)換形，其標準定/

rcr11；11k1rcr11；11k111：

F

OrO

m

；與A等集合等價標狀的矩；陣

、

若

r()(B)

A

B

；陣：初換；非0元為；非0元列素必為0的應(yīng)用等后采變換）、

AX

則

且

XA

；矩

A,B)

變化，當(dāng)

為

E

，

變

A

B

：(,B(E,A；方對n數(shù)n方

果

AbEx

，則可逆且

；對角矩陣的概念、初等矩變，由其位：初等行矩初陣；

、

陣，

i

乘A，

i

乘A的；、對調(diào)，符

E,)

且

(ij)

E(i,j)

例如

1

1

1

④

E(i(k

，

i(

(())

，

1

1k

1

(k0)

；⑤倍某某列，

E(k

,且

(ij(k

E(ij())

，：1(k0)

；/

n*本性質(zhì)n*、

r(A)min(m)m

；、

r(AT(

；若

B

則

r((

；若PQ則r()(PA(AQ)(（可逆矩陣的）、

r(Arr(,r((

（）、

r(Ar((B

（）、

r(AB)min(r(),r(

（）果A陣n矩且

AB（）r(A)n、B的次組、

；若

、

為方陣則

r(ABr(A)(B

；陣的方冪、秩1的矩：為陣行矩陣（）采律；如

101b0

開式；：

(a

nn

nann

an

n

m

nnn

nn

m

mn

amb

n

；、

a

有項；、

(!23mm!(n)!

C

質(zhì)

C

r

C

r

2

rC

r

nCr

；值對：：r()

r(A)r(的：r；的：

(AX**X

)

；、

*

A

、

*

A

關(guān)A

：、

rn

，

有n子為0階為0（兩）/

nxbmxxnxbmxxTTP

rn

，A中有階子式全部為0；、

rn

，

A

有n子為0：Ax中A則：、與方程相方程組

有m；：、n同組線性方組Ax

為；

陣進行初等行變換使變；對方；由初；由n未知數(shù)m方構(gòu)n性方：、

axnnaxnaxmnn

；

aa

aa

aaAx

a

a

a

程為個方程數(shù)

a

a

、

列中

；、

x

出要：

r(A)A,

)

（知數(shù)）量性

個所組成的向量組

：

,,

成陣

A,

；B個所組成的向量組B

T,T

,

Tm

成m陣

；量向量一一對；的線性相關(guān)、無Ax有、無非零解程）性出程）相表程矩

Am

與

B

l

等價組Ax和(101例

14)/

rcrc

rT)(A)

(101例n關(guān)意：、性相關(guān)

；、

,

關(guān)

共行、

,

,

關(guān)

,

,

；無關(guān)的兩套定理若

,,

s

，則

,,

s

；若

,,

s

，

s

減，）若r維組向上n個成n維向量組：若線性無關(guān)，則也；若B線性相，也線性相關(guān)維減減）組仍定組

為

r

）能由向組

為s

）線性表示，

無則r(二74定理7)；組能由組B線則組能由組B線示B；

r()r(B)

（86定理3）r(A)(,B

（

85

理）組能由組B等

r()r(B(A,

（理推論方逆有陣

P,P,l

使

APPl

；價

~PA（左，P可）Bx解價A

，逆：

A~BB

（

；陣

Am

與

B

l

：若與B行等則與B的秩；若與B則Bx同且的向同相關(guān)；等改；陣

秩A：若ms、C組能由

組示，

；的組能由B組，A陣）組Bx的解是的理證；、ABx解；/

xxT0rrr、BxxxT0rrr

解

ABx

非；向量組

B:b,b,,r

組

Aa,,a

s

（題19）,,,b),a,,a)Kr

（

）中

且則B組關(guān)

)r

（與的列向同關(guān)性）：

r(()rK(r(K)

反證）當(dāng)r

，

K

當(dāng)理；

陣

Am

在

，

AQ(A)

、

向；（）陣

Am

在

P

，

Er(A

、P的行關(guān)

,,

s

關(guān)在全為(,,)

0的數(shù)

,,,k

s

，使

s

（）

即

；

r(

,

)s

的未知；設(shè)m的陣為r則元齊組Ax

集S的：；r(n若為

的個，

,

為

的個基礎(chǔ)系，則

,

,

n

（11133）5二型陣ATE或：ATA且兩兩正交即

a

aij

iji