第一十九章 幾何證明

第一十九幾何證明本綜解《幾何證明》一章，是論證幾何學(xué)習(xí)的入門(mén)。在這一章，注重于邏輯知識(shí)和演繹推理。其中還涉及關(guān)于線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)平分線(xiàn)直角三角形等的研究既為充實(shí)平面幾何必需的基本知識(shí)，又是演練邏輯推理的載體，是嘗試建立論證幾何體系的初步實(shí)踐。本章可分為三部分部是題與證明部分是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與角平分線(xiàn)，第三部分是直角三角形?！?9.1

命與明命題與證明

演繹證明命題與定義公理與定理實(shí)驗(yàn)幾何階段的學(xué)習(xí)是憑借直觀推進(jìn)到說(shuō)理，現(xiàn)在將從“說(shuō)理”推進(jìn)到“演繹證明并且最終的學(xué)習(xí)是落實(shí)到證明是層次的幾何學(xué)習(xí)僅注重于運(yùn)用邏輯推理的方法獲得更系統(tǒng)的幾何知識(shí)，而且將成為我們一種極為重要的思維方式。在論證幾何階段只有從公理已知出發(fā)被嚴(yán)格論證的命題才認(rèn)為是正確的依觀察試所取得的一切結(jié)論都有待于進(jìn)一步證明與實(shí)用性強(qiáng)的學(xué)科如物理學(xué)有著本質(zhì)的區(qū)別所數(shù)學(xué)是最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膰?yán)格的學(xué)科論證幾何的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的非常好的時(shí)機(jī)。19.1.1演繹明演繹推理是數(shù)學(xué)證明一種常用的、完全可靠的方法。演繹證明是一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，是我們將要學(xué)習(xí)的證明方法。演繹證明也稱(chēng)為證明。19.1.2命題）能斷它是正確錯(cuò)誤的句子叫做命題，如實(shí)反映事物情況的命題是真命題；沒(méi)有如實(shí)反映事物情況的命題是假命題。）命一般都可以離出“題設(shè)“論”兩個(gè)部分，通常以“如果……那么……”的形式來(lái)表示。19.1.3定義能界定某個(gè)對(duì)象含義的句子叫做定義。19.1.4公理某些真命題有人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐得出，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理。19.1.5定理同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的真命題稱(chēng)為定理：）其確性可通過(guò)理或其它真命題邏輯推理而得到。）其可作為判斷它命題真假的依據(jù)。/

§19.2

證舉解題的思路證明舉例添輔助線(xiàn)幾何證明舉例已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)等角形的判定與性質(zhì)等核心內(nèi)容為載體，學(xué)習(xí)基本的邏輯術(shù)語(yǔ)、幾何證明的步驟、格式和規(guī)范，積累演繹證明的經(jīng)驗(yàn)。19.2.1證明法在證明之前有分析這是在弄清意的基礎(chǔ)上探索證明思路的過(guò)程這才用分析的方法是“要證什么著眼探“需知什么考“要證什么追“已知證明的表述，一般是從“已知”開(kāi)始，推導(dǎo)出“可知求的“結(jié)論19.2.2添輔線(xiàn)由于證明的需要，可以在原來(lái)的圖上添畫(huà)一些線(xiàn)，即添加輔助線(xiàn)來(lái)完成一些幾何證明，輔助線(xiàn)通常畫(huà)成虛線(xiàn)。

19.2.3利用角的要段造等角形

eq\o\ac(○,1)線(xiàn)：倍長(zhǎng)中線(xiàn)法

如圖，在△中AD為邊的中線(xiàn)。延長(zhǎng)AD到E，

D

使DE＝AD連接CE結(jié)論：≌△ECD，∠＝∠，∠B∠，＝AB，∥AB。

E

eq\o\ac(○,2)平分線(xiàn)：翻折、坐高中有兩個(gè)點(diǎn)重了）如圖，在△中AD為∠BAC的平分線(xiàn)。在AB上截取AE＝AC連接DE結(jié)論：AED△，＝DC，∠＝∠AFDADE＝ADF

G

1

2

F延長(zhǎng)AC點(diǎn)G使得＝AB，連接。結(jié)論：≌△AGD等作D⊥與FDH于H。結(jié)論：AFD△AHD等

Geq\o\ac(○,3)：翻折如圖，在△中AD為邊的高。在BC上截取DE＝，連接AE結(jié)論：≌△AED等

F

AE

C延長(zhǎng)F，使得＝DC連接結(jié)論：≌等/

§19.3原命題互逆命題逆命題

逆題逆理原定理互逆定理逆定理通常每個(gè)真命題的逆命題不定真?zhèn)€假命題的逆命題不一定假所有的命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理。19.3.1互逆題如原命題：互余的角不相等；逆命題：不相等的角互余。這里原命題與逆命題都是假命題。如原命題平四邊形的兩組對(duì)分別相等命題兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。這里原命題、逆命題都是真命題。如原命題：凡直角必相等；逆命題：凡相等的角必為直角。這里原命題是真命題，逆命題是假命題。19.3.2互逆理如原定理：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等；逆定理：三個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形。如原定理：同圓的半徑相等；逆命題：半徑相等的圓是同圓。這里，原定理的逆命題是假命題，如等圓，所以原定理沒(méi)有逆定理。§19.4

線(xiàn)的直分性質(zhì)定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理：和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。點(diǎn)在線(xiàn)段AB的直平分線(xiàn)上和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，

A＝

在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上?！虯BACB本節(jié)講述了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理和逆定理并將其應(yīng)用于證明和計(jì)算中從點(diǎn)的/

集合思想解釋線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)。19.4.1線(xiàn)段直分定文字表述：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。符號(hào)表述：∵點(diǎn)在段AB的直平分線(xiàn)上CDAB，＝BC

A

CPO

B∴PA＝D如：如圖，B、CE三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，ABC＝°DC是AB的垂直平分線(xiàn)，求∠ACE的數(shù)。解∵是AB的垂直平分線(xiàn)∴＝BC∴∠A＝∠A∵∠ABC57∴∠A°∵∠ACE＝∠＋∠A∴∠ACE＝11419.4.2線(xiàn)段直分逆理

ADB

文字表述：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。符號(hào)表述：＝PB∴點(diǎn)P在段AB的直平分線(xiàn)上如：如圖，DC直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)，CA＝CB，＝DB求證：⊥ABAO＝BO證明：CA＝CB＝DB∴點(diǎn)C、點(diǎn)D在段AB的線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上。即直線(xiàn)CD垂平分線(xiàn)段AB∴CD⊥AB，AO角平線(xiàn)§19.5

lD

定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。逆定理：到一個(gè)角兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。OC平分AOB，EDAOFDOB

角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。

＝A

到一個(gè)角兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角平分線(xiàn)上。E

CO

DF

B/

本節(jié)講述了角平分線(xiàn)性質(zhì)定理和逆定理并將其應(yīng)用于證明和計(jì)算中從點(diǎn)的集合思想解釋角平分線(xiàn)，掌握題中有角平分線(xiàn)時(shí)常用添加輔助線(xiàn)的方法。19.5.1角平線(xiàn)理

A文字表述：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。

E

C符號(hào)表述：∵∠AOD＝∠BODDE，DF⊥∴DE＝DF

O

DF

B19.5.2角平線(xiàn)定文字表述：到一個(gè)角兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。符號(hào)表述：⊥，⊥BO，DE＝∴∠AOD∠§

軌三種基本軌跡：eq\o\ac(○,1)

和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；eq\o\ac(○,2)

在一個(gè)角的內(nèi)（包括頂點(diǎn)到兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線(xiàn)；eq\o\ac(○,3)

到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心、定長(zhǎng)為半徑的圓。本節(jié)從點(diǎn)的集合認(rèn)識(shí)開(kāi)始，用集合思想解釋線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)平線(xiàn)、圓而解軌跡的概念和幾個(gè)簡(jiǎn)單軌跡對(duì)的軌跡的概念的認(rèn)識(shí)尤是對(duì)軌跡兩層含義的認(rèn)識(shí)強(qiáng)調(diào)軌跡的純粹性和完備性；記憶三種基本軌跡，并利用交軌法綜合應(yīng)用。19.6.1和一線(xiàn)兩端的離等點(diǎn)的跡線(xiàn)的直分如：到線(xiàn)段兩端點(diǎn)離相等的點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)l。19.6.2在一角內(nèi)（括點(diǎn)且角兩的離等點(diǎn)軌是個(gè)的分如：到AOB兩距離相等的點(diǎn)的軌跡是AOB的分OC/

19.6.3到定的離于長(zhǎng)點(diǎn)軌是以點(diǎn)圓、長(zhǎng)半的如：到定點(diǎn)的離相等定長(zhǎng)2cm的點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為心、定為徑圓。§19.7

直三形等判S.S.S.全等角三形判定

直角三角形是特殊的三角形，關(guān)于一般三角形全等的判定方法，對(duì)直角三角形都適用。直角三角形全等的“H.L.”判定理既體現(xiàn)了其獨(dú)特性，又滲透了劃歸的數(shù)學(xué)思想。19.7.1利用般角全的法定角三形等如圖：ECAB，F(xiàn)D⊥AB垂足分別為點(diǎn)D，＝BD，＝FD，

E

F求證：＝。

D

19.7.2利用H.L.判直三形全如圖：AB⊥BD，AC，AB＝AC，求證：≌△。

AB§19.8

直三形性直角三角形的性質(zhì)

直角三角形的兩個(gè)銳角互余斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半若一個(gè)銳角為30°，那么它所對(duì)的直邊等于斜邊的一半若一條直角邊等于斜邊的一半，那么它所的角為30°對(duì)直角三角形的性質(zhì)的研究，從他的角、邊以及特殊線(xiàn)段之間所構(gòu)成的各種關(guān)系著手，滲透了“從特殊到一般”的解決問(wèn)題的策略。19.8.1直角三角形的兩個(gè)銳角互余/

AA如：若在直角三角形中兩銳角相差°，則這兩個(gè)銳角分別等于。19.8.2在直角三角形中邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一（反過(guò)來(lái)可以eq\o\ac(△,定)為直角三角形）A如圖：ABC中∠B＝°∠C＝°，D是BC上點(diǎn)，∠BAD°，求證：＝2AC

B

D

C19.8.3在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半D如圖：∥BC＝°，∠B°，求證：＝AD＋

12

AB。

19.8.4在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條斜邊所對(duì)的角等度

D、如圖，△ABC中∠＝°CD⊥AB，BC＝2CDAD＝

，求的長(zhǎng)。

E

、如圖，正方形ABCD中，AEBDBD，交AD于F。求證：∠EBD＝30°

DB§19.9

勾定勾股定理

Rt中，斜邊大于直角邊Rt中，兩條直角邊的平方和于斜邊的平方如果一條邊的平方等于其他兩邊的平方和，那么它是t。勾股定理是全人類(lèi)的共同財(cái)富在類(lèi)重大科技發(fā)現(xiàn)中占有重要地位學(xué)勾股定理及其逆定理的過(guò)程中將感受到人類(lèi)文明的力量。/

勾定如：△ABC中，

A:2:3

，求這個(gè)三角形的三邊比：：c?！?9.10點(diǎn)Ax，y）11和（x，y22離公式

兩的離式在行于上，—x|12在Y軸或平行線(xiàn)上，AB=|y—|12地，x