數(shù)值第三章數(shù)據(jù)擬合

數(shù)值分析

NumericalAnalysis第三章數(shù)據(jù)擬合方法鄭州大學(xué)研究生課程（2013-2014學(xué)年第一學(xué)期）

ISCM2007,BeijingChina1第三章數(shù)據(jù)擬合方法

§3.1問(wèn)題提出§3.2最小二乘法的基本概念§3.3線性擬合方法§3.4非線性曲線的數(shù)據(jù)擬合

ISCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis§3.1問(wèn)題提出離散數(shù)據(jù)點(diǎn)插值：插值函數(shù)精確通過(guò)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

ISCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis兩類(lèi)實(shí)際情況:★離散數(shù)據(jù)點(diǎn)提出來(lái)自試驗(yàn)，具有測(cè)量誤差，要求插值函數(shù)通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)反而會(huì)保留測(cè)量誤差的影響?！?/p>

某些情況下需要找出反映變量變化關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)，而非精確通過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)的外形控制函數(shù)。§3.1問(wèn)題提出ISCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

例3.1.1ISCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis已知一組數(shù)據(jù)(xi,yi),y=f(xi)，i=1,2,…,m。f未知。構(gòu)造插值函數(shù)φ(x)來(lái)逼近f(x),則有

φ(xi)=f(xi)=yi,i=1,2,…,m或記Q=(φ(x1),φ(x2),…,φ(xm)),Y=(y1,y2,…,ym),則有

Q=Y.

如果數(shù)據(jù)不能同時(shí)滿(mǎn)足某個(gè)特定函數(shù)，而要求所求的逼近函數(shù)“最優(yōu)地”靠近數(shù)據(jù)點(diǎn)，即向量Q與Y

的誤差或距離最小。按Q與Y的誤差最小原則作為最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)所構(gòu)造出的函數(shù)，我們稱(chēng)為擬合函數(shù)?！?.1問(wèn)題提出ISCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis定義Q與Y

之間的距離：其中，R稱(chēng)為均方誤差。

最小二乘法：按均方誤差達(dá)到極小構(gòu)造擬合曲線的方法。§3.1問(wèn)題提出ISCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis§3.2最小二乘法的基本概念

構(gòu)造擬合曲線的兩個(gè)問(wèn)題：Q:從哪一類(lèi)函數(shù)族里面選擇擬合曲線的形式？A:根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景，選擇逼近f(x)的函數(shù)族。

ISCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis數(shù)據(jù)擬合的線性模型

(x)=a11(x)

+······+an

n(x)例如:[1(x)

,···,

n(x)]=[1,x,···,xn-1][1(x)

,···,

n(x)]=[1,cosx,···,cos(n-1)x]§3.2最小二乘法的基本概念I(lǐng)SCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

Q：如何確定參數(shù)a1,a2,…,an以確定一條擬合曲線呢？A:按照在數(shù)據(jù)點(diǎn)處均方誤差最小的原則。這種用求解誤差函數(shù)最小值問(wèn)題來(lái)確定擬合參數(shù)的方法稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法§3.2最小二乘法的基本概念I(lǐng)SCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

§3.2最小二乘法的基本概念I(lǐng)SCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

@最小二乘法歸結(jié)為求n個(gè)未知數(shù)的線性代數(shù)方程組?！?.2最小二乘法的基本概念I(lǐng)SCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

最小二乘法的正規(guī)方程組（其解為駐點(diǎn)）§3.2最小二乘法的基本概念I(lǐng)SCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis引進(jìn)矩陣和向量記號(hào)

§3.2最小二乘法的基本概念I(lǐng)SCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis

§3.2最小二乘法的基本概念I(lǐng)SCM2007,BeijingChina/41鄭州大學(xué)研究生2013-2014學(xué)年課程數(shù)值分析NumericalAnalysis★徐以上秋正規(guī)奪方程業(yè)組是劃否存紅在唯缸一解?★正規(guī)驅(qū)方程麗組的筒解是割最小持二乘你問(wèn)題嘩的駐句點(diǎn)，轎此駐住點(diǎn)是昂否就矛是最即小二廊乘問(wèn)蚊題的弓解呢？§3撐.2最小相二乘弄法的基舊本概魔念I(lǐng)S效CM西2執(zhí)00嗎7,宮Be錦ij滿(mǎn)in循g統(tǒng)Ch啊in近a/4沈1鄭州馬大學(xué)鴿研究壞生20仙13狐-2禾01狹4學(xué)年葵課程數(shù)值填分析Nu固me慚ri起ca蔬l撤An會(huì)al騰ys儀is可以械證明,此解社是最小葉二乘啦問(wèn)題聽(tīng)的解.§3鍵.2最小慶二乘束法的基真本概衛(wèi)念I(lǐng)S西CM餅2國(guó)00倆7,得Be進(jìn)ij挨in董g窗Ch托in掩a/4禮1鄭州唉大學(xué)傷研究艙生20送13葵-2膨01附4學(xué)年由課程數(shù)值征分析Nu事me始ri澆ca朵l盼An認(rèn)al幣ys沙is定理3.販2.治2§3蕉.2最小陽(yáng)二乘嶺法的基椒本概緊念I(lǐng)S止CM葬2仰00秘7,什Be要ij漁in龍g烏Ch救in游a/4熄1鄭州綢大學(xué)壘研究哥生20平13遮-2娃01欄4學(xué)年繁課程數(shù)值晃分析Nu柄me芬ri宣ca夕l柏An飄al核ys啊is§3薯.3線性麥數(shù)據(jù)拴擬合趟方法已知神數(shù)據(jù)槍表

x

x1

x2··········xmf(x)y1

y2··········ym求擬合函數(shù):(x)具=a科+簽b父xa+bx1=y1a+bx2=y2··················a+bxm=ym超定方程擺組IS說(shuō)CM曉2累00時(shí)7,田Be凍ij永in垂g廊Ch瓦in戴a/4蜓1鄭州未大學(xué)烏研究火生20當(dāng)13抵-2韻01等4學(xué)年蹦課程數(shù)值信分析Nu倍me累ri技ca杜l蹤蝶An覆al拴ys漢is2-范數(shù)碗平方殘差:rk=(a+躍bxk)混–yk(k浙=1,蛙2,災(zāi)··季·,m)§3藏.3線性膝數(shù)據(jù)痕擬合捉方法IS號(hào)CM某2講00輸7,粒Be治ij漸in映g掀Ch調(diào)in惱a/4淘1鄭州普大學(xué)算研究膚生20曬13駛-2歸01滑4學(xué)年醋課程數(shù)值掏分析Nu愛(ài)me蹈ri粱ca需l扶An瘋al占ys復(fù)is求a,b使S(a,b)=min§3斧.3線性圍數(shù)據(jù)金擬合恥方法IS召CM柔2刪00柔7,辛Be門(mén)ij淘in叛g蠻Ch襯in文a/4榜1鄭州譯大學(xué)筋研究到生20擠13漢-2附01建4學(xué)年茂課程數(shù)值花分析Nu櫻me尖ri兩ca惜l狗An按al濱ys衰is§3吐.3線性固數(shù)據(jù)菊擬合壁方法IS梯CM靈2型00順7,虛Be戚ij董in丘g吵Ch腹in趟a/4障1鄭州棄大學(xué)初研究策生20取13惑-2川01犯4學(xué)年帽課程數(shù)值級(jí)分析Nu雕me哈ri剛ca題l闊An件al卡ys幟is方程呆組系數(shù)您矩陣方程隸組右端寄項(xiàng)§3臥.3線性忙數(shù)據(jù)司擬合躲方法IS若CM乒2刪00策7,吩Be萄ij兼in侍g贊Ch趟in換a/4須1鄭州唐大學(xué)稀研究抽生20凍13弟-2宜01疏4學(xué)年絹課程數(shù)值股分析Nu叼me站ri財(cái)ca衫l務(wù)An排al韻ys故is超定疊方程非組:AX續(xù)=正規(guī)講方程林組:ATAX療=AT擬合溫曲線聾的法方謝程(正規(guī)該方程弦組)。解之勸得a，b。塘代入(x)=a+b焰x,即得肥所求糊的擬老合曲譽(yù)線?！?羞.3線性堤數(shù)據(jù)竄擬合刺方法IS肥CM客2澆00艱7,卻Be污ij居in強(qiáng)g汽Ch首in廈a/4榴1鄭州矛大學(xué)妨研究密生20傘13萌-2恢01災(zāi)4學(xué)年閥課程數(shù)值賽分析Nu殿me牽ri船ca遷l掙An氏al皮ys燃is例3.薪3.憂(yōu)1已知汁實(shí)驗(yàn)攀數(shù)據(jù)爆如下,求線傷性擬閘合函佳數(shù)。解:設(shè)擬合曲線訂方程孩為(x)=a稿+址b乎x

x 1 2 3 45f(x)4 4.5 6 8 9§3兔.3線性密數(shù)據(jù)證擬合腔方法IS蜜CM籮2串00籌7,春Be沈ij某in屯g對(duì)Ch乏in祝a/4頂1鄭州狐大學(xué)酒研究錯(cuò)生20普13肚-2剪01緒4學(xué)年趁課程數(shù)值就分析Nu廣me愁ri漂ca終l文An渣al幫ys棉is5a+命15b阻=31筍.515a盟+55b簡(jiǎn)=10旦8a輩=2.傻25隊(duì),b=1.鑒35ATAX辜=AT§3隆.3線性椅數(shù)據(jù)耀擬合兼方法IS秧CM圍2墊00濾7,牽Be逮ij棋in下g乎Ch姓in早a/4忌1鄭州闖大學(xué)氧研究湯生20陳13催-2舍01暫4學(xué)年悉課程數(shù)值距分析Nu咱me什ri旗ca蹄l取An鏟al曲ys侍is||r||2=岡0.丙75蒼83殘差壤向量:(1矩)－4=－0.狠40(2惜)－4.憤5=0.剖45(3蝦)－6=0.湊30(4弱)－8=－0.握35(5墓)－9=0(x)=灣2慶.2欺5+穴1.拌35x§3失.3線性汪數(shù)據(jù)辣擬合錄方法IS私CM億2可00虛7,殺Be儲(chǔ)ij品in澇g女Ch故in肢a/4悶1鄭州告大學(xué)裙研究洪生20鋒13傳-2匠01既4學(xué)年受課程數(shù)值腹分析Nu搜me僅ri就ca咸l畜An漂al線ys容is例3.鑼3.材2求數(shù)扣據(jù)的倒二次痛擬合駛函數(shù)P(x)=a0+a1x+a2x2x12345f(x)

44.5689

解:將數(shù)劃據(jù)點(diǎn)蔥代入,得§3災(zāi).3線性愛(ài)數(shù)據(jù)搞擬合時(shí)方法IS傻CM貫2筍00散7,玩Be瓶ij慈in猴g毯Ch郵in作a/4社1鄭州僚大學(xué)贏研究搶生20風(fēng)13淺-2沈01賴(lài)4學(xué)年越課程數(shù)值超分析Nu運(yùn)me璃ri茶ca個(gè)l斥An映al蜓ys籌isa0+a1+a2=4a0+2a1+4a2=4.5··················a0+5a1+25a2=9§3叢.3線性喜數(shù)據(jù)斗擬合翅方法IS響CM賠2滋00貴7,奪Be音ij的in敞g魔Ch校in公a/4并1鄭州標(biāo)大學(xué)皇研究揉生20度13錄-2象01馬4學(xué)年碰課程數(shù)值節(jié)分析Nu躲me駐ri帖ca沿l莖An遙al捧ys班isa0=3閘,a1=0橫.7鼻07轟1,a2=0貪.1夠07衛(wèi)1§3帝.3線性眨數(shù)據(jù)覺(jué)擬合尊方法IS糟CM暖2換00尼7,待Be風(fēng)ij想in麥g存Ch派in眼a/4仆1鄭州其大學(xué)啞研究虛生20蜜13填-2構(gòu)01趁4學(xué)年腰課程數(shù)值哨分析Nu攏me月ri友ca版l述An善al窯ys耽is得P(x)=頑3+荒0.鏡70宇71x+隔0.送10宏71x2二次臉擬合龍誤差:||r||2=煩0.末64設(shè)37比較豎線性特?cái)M合俘誤差:||r||2=辛0.袋75言83§3夢(mèng).3線性著數(shù)據(jù)腫擬合斧方法IS棍CM嶄2撿00椒7,著B(niǎo)e爛ij憑in陳g呢Ch慘in擇a/4聽(tīng)1鄭州菌大學(xué)添研究不生20叼13食-2蓮01羽4學(xué)年虛課程數(shù)值滲分析Nu屑me和ri顆ca亮l輩An往al瞇ys吹is§3均.3線性這數(shù)據(jù)例擬合狂方法x0振=0愚:0杏.1排:1公;y竟0=壟(x郵0.都^2節(jié)-3兆*x手0+適5)露.*窯ex醫(yī)p(咸-5界*x悠0)票.*榴si吩n(社x0錄);p3剩=p臭ol面yf泳it臉(x飯0,稍y0間,3情);vp搭a(粗po王ly瞧2s詞ym邪(p桂3)辰,1扔0)x=膠0:熔0.齊01細(xì):1脹;y表a=購(gòu)(x父.^宮2-象3*遺x+說(shuō)5)炎.*久ex櫻p(晨-5種*x撐).圈*si術(shù)n(匹x);y1取=p追ol烈yv螞al麗(p臭3,瓦x)巴;su擺bp碎lo刪t(約2,奏1,拌1)花,p眾lo靈t(劈燕x,杰y1膜,x夏,y敞a,洋x0撥,y語(yǔ)0,鄰'o睜')達(dá),l傘eg剩en斤d(肝'三次急擬合兵曲線',嫩'原函朝數(shù)曲盞線',聯(lián)'樣本稈點(diǎn)')p4盟=p彼ol肆yf巾it箱(x量0,匯y0現(xiàn),4捏);港y腔4=芹po藍(lán)ly權(quán)va價(jià)l(鞭p4災(zāi),x責(zé));p5剃=p亦ol哀yf懶it涂(x員0,妨y0滿(mǎn),5演);腰y在5=際po工ly陣va紗l(忽p5切,x繩);p8敘=p挖ol甚yf店it閉(x犬0,味y0噴,8低);鐮y拼8=糞po墨ly脂va民l(鴨p8菠,x兄);su羞bp膜lo樹(shù)t(逼2,診1,礎(chǔ)2)夠,p數(shù)lo殺t(就x,期y4安,'測(cè)x'絞,x捧,y央5,看'-余',阻x,萍y8耗,'禮:'窗,x辜,y門(mén)a,鬧'-界')le敞ge演nd呼('四次擴(kuò)擬合耽曲線',旬'五次峽擬合鏈曲線',圈'八次降擬合本曲線',窮'原函競(jìng)數(shù)曲領(lǐng)線')vp上a(畫(huà)po脈ly幼2s悅ym槽(p溉8)戀,5壯)IS薪CM棉2畜00滲7,壓Be辜ij澤in待g造Ch餡in叛a(bǔ)/4灑1鄭州往大學(xué)器研究畫(huà)生20抄13海-2葵01幕4學(xué)年杠課程數(shù)值拿分析Nu錦me漆ri端ca隊(duì)l陳An射al咐ys溝is§3達(dá).3線性跌數(shù)據(jù)別擬合傲方法IS校CM豬2伍00逢7,斧Be編ij糊in糞g兆Ch棉in絕a/4忍1鄭州幫大學(xué)跳研究贊生20考13槐-2法01多4學(xué)年彈課程數(shù)值極分析Nu鈔me剖ri往ca飄l麥An舟al碗ys將is§3棄.4非線醉性曲斤線的煮數(shù)據(jù)號(hào)擬合問(wèn)題塊提出夕：離嗓散點(diǎn)逐圖呈扁非線讓性。IS互CM聯(lián)2尋00浸7,走Be鑒ij喬in改g茫Ch債in更a/4存1鄭州苗大學(xué)束研究持生20駱13年-2暮01賀4學(xué)年球課程數(shù)值偉分析Nu摟me典ri榴ca以l坦An輸al籍ys候is如果鴉非線憤性函填數(shù)為峽將給忌定數(shù)辦據(jù)(xi,yi)轉(zhuǎn)換頓為(ui,vi),求出a,b,再代更回原雹變量y,x，可旗求得紫原非靈線性箱擬合羨曲線示?！?光.4非線價(jià)性曲積線的繼數(shù)據(jù)剖擬合IS倍CM志2投00歇7,稱(chēng)Be避ij拉in睡g寺Ch協(xié)in敞a/4堂1鄭州誤大學(xué)脂研究味生20悼13指-2委01恩4學(xué)年躁課程數(shù)值家分析Nu障me蓄ri已ca共l厭An潑al炭ys守is例3.萄4.渡1用給熄數(shù)據(jù)塊求經(jīng)蜜驗(yàn)公鋸式：y=aebxx1襲2乳3跪4蜘5涼6借7偉8y15覽.3摘20倒.5露27副.4照36照.6般49描.1顧65編.6獄87混.8爺11盡7.濕6解線性伶化。億對(duì)經(jīng)饅驗(yàn)公蘭式取茄自然夕對(duì)數(shù)lny=lna+bx令u=lny，b0=lna，u=虛b0+b荷x代入次數(shù)據(jù)狹得矛瞧盾方離程組§3揪.4非線孝性曲膨線的吊數(shù)據(jù)北擬合IS檔CM荒2禾00狀7,尋Be醋ij酸in懶g(shù)犬Ch橡in族a/4僚1鄭州木大學(xué)五研究芹生20字13忽-2毅01疑4學(xué)年素課程數(shù)值床分析Nu浙me險(xiǎn)ri筐ca芳l某An臟al偷ys弱is由法乳方程ATAB室=ATy，B=（b0,b),即∴a=始e2.跡43消69=1粱1.溫43賞75飛.y=1濃1.潤(rùn)43質(zhì)75綢e0.皆29緣瑞12x.IS膝CM至2效00火7,臺(tái)Be野ij烤in塌g杠Ch鍛in柜a/4澡1鄭州剖大學(xué)歌研究芹生20鄭13忙-2刺01刷4學(xué)年泰課程數(shù)值琴分析Nu負(fù)me貌ri兩ca像l塊An腳al授ys浩is擬合拘曲線齡的均喂方誤疲差為榴：擬合牢曲線娃的圖麗形為§3源.4非線拉性曲暑線的疑數(shù)據(jù)腎擬合IS維CM鴿2澇00礎(chǔ)7,約Be監(jiān)ij依in秩g劉Ch常in梯a/4裹1鄭州扣大學(xué)階研究賀生20霉13保-2達(dá)01料4學(xué)年乓課程數(shù)值平分析Nu程me戴ri妨ca俊l擊An盼al舟ys擦is§3稍.4非線守性曲夢(mèng)線的對(duì)數(shù)據(jù)穩(wěn)擬合例3.波4.蟻2IS昌CM帥2咐00蹄7,管Be椅ij京in握g驢Ch品in獸a/4產(chǎn)1鄭州嫂大學(xué)預(yù)研究隙生20表13繼-2佛01每4學(xué)年焦課程數(shù)值卵分