第2講 立方根培優(yōu)講義

學(xué)就學(xué)狀、學(xué)功學(xué)習(xí)人如何破、如實(shí)目的…第知識(shí)點(diǎn)一立根和開(kāi)立方１．立方根的定義

立方根一般的如果一個(gè)數(shù)的立方等于呢么這個(gè)數(shù)叫做的立方根三次方根即如果x那叫做

的立方根，記作

。注意）個(gè)數(shù)a都有一個(gè)立方根。（）次根號(hào)“

”中的不能略不寫(xiě)，若省略就變成二次根號(hào)了。（）為

3

表示

的立方根，所以有立方根的定義可得

3

。２立根的性質(zhì)任何實(shí)數(shù)都有唯一確定的立方根。正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)。負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)。０的立方根是０３開(kāi)方與立方開(kāi)立方：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算。333

3

（

取任何數(shù)）這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。*０的平方根和立方根都是０本。注意）立方與立方互為逆運(yùn)算。（）方根等于其本身的數(shù)有三個(gè)，-1，0。（）開(kāi)方數(shù)為帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先將它們化為假分?jǐn)?shù)。知識(shí)點(diǎn)二推：

次方根１如一個(gè)數(shù)的

次方（

是大于１的整數(shù)）等于

，這個(gè)數(shù)就叫做

的

次方根。當(dāng)

為奇數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)叫做

的奇次方根。當(dāng)為數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)叫做的次方根。２正的偶次方根有兩個(gè)。

０的偶次方根為０。負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根。正數(shù)的奇次方根為正。０的奇次方根為０。負(fù)數(shù)的奇次方根為負(fù)。

３

n

1

學(xué)就學(xué)狀、學(xué)功學(xué)習(xí)人如何破、如實(shí)目的…n

a

(a

；

n

n

(a

；

n

n

n

(a知識(shí)點(diǎn)三立根的性質(zhì)與平方的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行比較*一個(gè)數(shù)的平方根和一個(gè)數(shù)的立根，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？相同點(diǎn)：正數(shù)，都存在平方根或立方根；零，都存在一個(gè)平方根或立方根，它們都是零．不同點(diǎn)：正數(shù)，雖都存在平方根或立方根，但個(gè)數(shù)不同；負(fù)數(shù)，有一個(gè)立方根，還是負(fù)數(shù)；但負(fù)數(shù)卻沒(méi)有平方根．這是因?yàn)椋龜?shù)、零、負(fù)數(shù)的平方都不是負(fù)數(shù)．例1.（1）的方根是（）列說(shuō)法中：①都是27的立根，②

y

y，的方根是2，④

3

。其中正確的有（）A、1個(gè)B、個(gè)、3個(gè)、4個(gè)分析）們知道4的次等于64，所以64的立根就是4；（）立方根只有一個(gè)27的方根是3而不是正負(fù)3，-3的方等于27，錯(cuò)；②根據(jù)立方的定義可知對(duì)；③根64開(kāi)方于8立方根是，正確；④先次根號(hào)里面的化簡(jiǎn)等于3次號(hào)下64，那么應(yīng)該等于4，錯(cuò)。例2.求下各數(shù)的立方根：(1)

827

；(2)-125；(3)-0.008；(4)0（）

（）8強(qiáng)調(diào)：(1)這就是說(shuō)，求負(fù)數(shù)的立方根可以先求出這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的立方根，再取它的相反數(shù)．(2)求負(fù)數(shù)的立方根有兩個(gè)方法一是由立方根定義去求，二是轉(zhuǎn)化成先求負(fù)數(shù)的絕對(duì)值的立方根，再求它的相反數(shù)．2

學(xué)就學(xué)狀、學(xué)功學(xué)習(xí)人如何破、如實(shí)目的…練習(xí)：求下列各數(shù)的立方根：（）－

7）0.064）－）－．例3.已知：

x

x

+5＝ｙ，求ｘｙ立方根．例4.已知：ｘ－2的平方根是±2,2++7的立根是，求ｘ+ｙ的平方根．練習(xí)：若ｘ＝－），ｙ＝2）求ｘｙ的所有可能值．2.已知－）+

＝，ｘｙ－ｚ的立方根．例5.求下列各式中的ｘ：（）169ｘ＝；（2ｘ－）＝；（）125－ｘ＝；（4）（+3＝．3

123333333學(xué)就學(xué)狀、學(xué)功學(xué)習(xí)人如何破、如實(shí)目的…123333333練習(xí)）x-2=0；（）（x+3=44

2例6.選擇題1.－

的立方根是（）A，－

1B，±C，－

D，

122.當(dāng)ｘ＝－8時(shí)則x的是（）A，－B，－C4D，±3.若一個(gè)數(shù)的平方根與它的立方完全相同，則這個(gè)數(shù)是（）A，1B，－C0，±04.下列說(shuō)法：①一個(gè)數(shù)的平方根定有兩個(gè)；②一個(gè)正數(shù)的平方根一定是它的算術(shù)平方根；③負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A，0個(gè)B，1個(gè)C，個(gè)D3個(gè)例7.填空題1.0的算術(shù)平方根是＿＿＿，立根是＿＿＿＿．2.若

＝，（ａ5）－的方是＿＿＿＿．3.64的平根的立方根是＿＿＿＿．4.計(jì)算：

1

1927

＝＿＿＿＿＿＿．5.若

1a3＝，則＿＿＿＿．例8.若

3

和3

互為相反數(shù)，求

的值。例設(shè)1996x

＝1997y

＝xyz>0,且3

2

1997

2

z

2

＝

3

+

3

+

3

，求

11++.x解設(shè)＝1997y＝＝，4

222學(xué)就學(xué)狀、學(xué)功學(xué)習(xí)人如何破、如實(shí)目的…222則1996x

＝

ax

,1997y

a＝

a＝z3

＝

3

ax

,

3

＝,y

3

3a＝，z所以條件等式變?yōu)閍(

1xz

＝

111()z

,∴

111＝+,∴++＝xzxzxy練習(xí)：若a、互為反數(shù)，、互負(fù)倒數(shù)，求

3

3

8cd

的值。課堂練習(xí)：一、填空題1、121的方根是＿＿＿＿算術(shù)平方根＿＿＿＿＿．2、4.9×

的算術(shù)平方根是＿＿＿＿＿＿．32）

的平方根是＿＿＿＿＿，算術(shù)平方根是＿＿＿＿．4、0的術(shù)平方根是＿＿＿，立方根是＿＿＿．5、－

是＿＿＿＿的平方根．6、64的方根的立方根是＿＿＿＿．7、如果

，那么x＝________；如果x

9，么

________8、一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根的和_____．個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根的商是________．9、算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)____，方根等于本身的數(shù)_____．10、若一個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等它的立方根，則這個(gè)數(shù)________；11、

的平方根是______，

的算術(shù)平方根是_________，

的算術(shù)平方根是；12、若一個(gè)數(shù)的平方根是

，則這個(gè)數(shù)的立方根是；13、當(dāng)當(dāng)

m______

時(shí)，時(shí)，

3

有意義；有意義；14、若一個(gè)正數(shù)的平方根是

2a

和a

，則

a

，這個(gè)正數(shù)是；15、已知

2b3)

0，

；5

學(xué)就學(xué)狀、學(xué)功學(xué)習(xí)人如何破、如實(shí)目的…16、

12

的最小值是_______，時(shí)的值是_______17、的術(shù)平方是2則＝________．二、選擇題1、169的方根是（）A，13B，－13C，±D，±2、0.49的算術(shù)平方根是（）

A，0.49B，－C，0.7，

0.3、

的平方根是（）A，9B，－C，±9D，±4、下列等式正確的是（）A，

＝－3B，

＝±C，

7＝7

D，

2

＝5、－

18

的立方根是（）A，－

18

B，±

12

C，

D，

6、當(dāng)ｘ＝－時(shí)，

3

2

的值是（）A，－B，－C，4，±47、下列語(yǔ)句，寫(xiě)成式子正確的（）A，3是9的算平方根，即

93B，－是－的立根，

27

＝±C，

是2的算術(shù)平方根，即

＝D，－的方根是2，即

8

＝－28、下列說(shuō)法：①一個(gè)數(shù)的平方一定有兩個(gè)；②一個(gè)正數(shù)的平方根一定是它的算術(shù)平方根；③負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A，0個(gè)B，個(gè)C2個(gè)D39、若一個(gè)數(shù)的平方根與它的立根完全相同，則這個(gè)數(shù)是（）A，1B，－，0D，±10、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A、

(

B、

3

C、2的方根是

D、81的平方根是

6

學(xué)就學(xué)狀、學(xué)功學(xué)習(xí)人如何破、如實(shí)目的…11、

的值是（A．-3．C-9．912、如果

x

有意義，則x可取的最小整數(shù)為（A．0．．．13、下列各數(shù)沒(méi)有平方根的是（A．－﹙－2﹚B．

(

C．

(

D．14、計(jì)算

的結(jié)果是（）A.3B.7C.-3D.-715、若a=

3

,b=-∣

∣，c=

()

,則a、b、的小關(guān)系是（）A.a＞＞B.c＞＞C.ba＞D.cb＞16、設(shè)

、為實(shí)數(shù)，且

5x

x5