第九講 圖形運動中的計算說理問題

第九講圖形運動中的計算說理問題1、如圖，拋物線

y

(x2

與x交于、點（點點B左側(cè)軸交于點C頂點為D．（1）求點AB的坐標(biāo)；（2）聯(lián)CD，過原O作⊥CD垂足為H，OE與拋物的對稱軸交于點E，聯(lián)、AD求證：∠AEO＝∠；（3）以（2）中點為圓心，1為半徑畫圓，在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一動點過作⊙E的切線，切點為Q當(dāng)?shù)拈L最小時，求點P坐標(biāo)，并直接寫出點的坐標(biāo)．圖1（1）由

1(xxx，得22

，

C(0,)

．由y

([(2](xx2

，得A2,0)

，

(3

．（2）設(shè)CDAE于點F，對稱軸與軸交于點M，作DN⊥y軸．如圖2由

D(3,

，

)

，得DN＝3

CN

DN2．因此

．如圖3由⊥CD，得∠＝∠．因此

EOM

EM2

．所以EM＝2，2)由

A(3

，M(3,0)，得

．因此

tanAEM

AM2EM2

，

DAM

DM1AM

．所以∠AEM∠．于是可得∠AED＝90°．如圖4在△與Rt△DAF中，因為∠＝∠，所以∠＝∠，即∠AEO∠ADC．圖2

圖3

圖1

（3）如圖5在eq\o\ac(△,Rt)EPQ中EQ為定值，此當(dāng)最小時，PQ也最?。O(shè)點坐標(biāo)為(,y)，那么＝(－＋(－．已知

y

(x

所以(x

y

．因此

PE

yy

y

．所以當(dāng)y＝1，PE得最小值．解方程

(x

，得x＝5，或x＝1（在對軸左側(cè)，舍去因此點坐標(biāo)為(．此時點的坐標(biāo)為(3,或

(,)

（如圖所圖5

圖6

圖第（3）題可以這樣點Q的坐標(biāo)：設(shè)點的坐標(biāo)為(,n)．由E、P(5,，可得PE＝5．又已知＝所以PQ＝．列方程

(n2)(n

4,

3,解得n

.還可以如圖7那樣求點Q的坐標(biāo)：對于Q(m)，根據(jù)兩個陰影三角形相似，可以列方程組

mn5

．同樣地，對于)，以列方程組

m

．2、已知二次函數(shù)y＝a(x)

－a(－m（a、m為常數(shù)，且≠（1）求證：不論a與為何值，該函數(shù)的圖像與軸總有兩個公共點；（2）設(shè)該函數(shù)的圖的頂點為C與軸相交于、B點，與y軸交于點D．①當(dāng)△的面積等1，求a的值②當(dāng)△的面積與△ABD的面積相等時，求m的值．（1）由＝a(x)

－(－m)＝a(－m)(－m－得拋物線與軸的交點坐標(biāo)為(m,0)、(＋1,0)因此不論a與為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點．（2）①由＝a－m

－a(－m)

1()2

，2

eq\o\ac(△,S)ABC2222eq\o\ac(△,S)ABC2222得拋物線的頂點坐標(biāo)為

C(

1,a)4

．因為1，＝

11ABa2

，所以＝±．②當(dāng)△的面積與△ABD的面積相等時，點與點D到軸的距離相等．第一種情況：如圖1，C、D重合，此時點D的坐標(biāo)可以表示為

)

，將

(0,

11)代入ya()，得a()a24

．解得

m

．圖第二種情況：如圖2，3，、D在x軸兩側(cè)，此時點D的坐標(biāo)可以表示為

)

，將

11)代入y(a，得a(4424

．解得

2

．圖2第（1）題也可以這說理：

圖由于由

11(x)2，拋物線的頂點坐標(biāo)C(a)24

．當(dāng)a0，拋物線的開口向上，而頂點在x軸下方，所以拋物線與軸由兩個交點；當(dāng)a0，拋物線的開口向下，而頂點在x軸上方，所以拋物線與軸由兩個交點．因此不論a與為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點．第（1）題也可以用的判別式Δ說理：3

由y＝a(x)－a－m＝[x－(2m＋xm＋]，得

[(2m

m

)]

＞0．因此不論a與為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點．這種方法是同學(xué)們最容易想到的，但是這種方法的運算量很大，一定要仔細(xì)．3、已知拋物線y＝－(x－a)

＋a（n為正整數(shù)，且＜a＜a＜…＜）與x軸的交點為A(b1,0)和(b,0)．n1，第1條拋物線＝－(－a)

＋a與軸的交點為A(0,0)b,0)，他依此類推（1）求a、b的值及拋物線y的解析式；（2）拋物線的頂點坐標(biāo)為(_____；依此類推第n條拋物線y的頂點坐標(biāo)為(，_____)（用含的式子表示所有拋物線的頂點坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是_______________（3）探究下列結(jié)論①若用A表示第n條拋物線被x軸截得的線的長，直接寫出A的值，并求出；②是否存在經(jīng)過點A的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得的線段的長度都相等？若存在，直接寫出直線的表達(dá)式；若不存在，請說明理由．備用圖（僅供草稿使用）（1）將A(0,0)代入＝－(－a)＋，得－a＋a＝．所以符合題意的a＝1此時y＝－(x－1)＋－x(－．所A的坐標(biāo)為(2,0)b＝2將A(2,0)代入y＝－(－a)

＋a，得－a)

＋a＝．所以符合題意的a＝4此時y＝－(x－4)

＋4＝－(－x－6)．（2）拋物線的頂點坐標(biāo)為(，9)；第n條拋物線的頂點坐標(biāo)為n，)；所有拋物線的頂點坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是y＝x（3）①如圖1A＝2由第（2）題得到，拋物線＝－(x－a)

＋a的頂點坐標(biāo)為n

，n

)．所以y＝－(x－n

)

＋

＝n

－(－n

)

＝(n－＋n

)(－n

)所以第n條拋物線與軸的交點坐標(biāo)為A(n－n,0)A(n＋．所以A＝n＋n)－n－n)＝2n．②如圖1直線y＝x2和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得的線段的長度都相等．4

圖我們一起來梳理一下這道題目的備用圖怎么用．第一步，由y＝－(x－a)＋a，得拋物線的頂點坐標(biāo)為()．頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，而且已知＞，因先畫出頂點所在的射線＝x＞第二步，計算出，畫拋物線的頂點、與軸的右交點．第三步，計算出，畫拋物線的頂點、與軸的右交點．4如圖1正六形的邊長為P是上的一動點過PMAB于M作//CD交DE于N．（1）①∠＝_______°；②求證：＋＝3；（2）如圖2點是AD中點，聯(lián)結(jié)OMON求證：ON．（3）如圖，點O是AD的中點，OG平分∠MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊的四邊形，并說明理由．圖1

圖2

圖3（1）①∠＝60．②如圖4延長FA、交直線BC與M、，那么△、△、△、△都是等邊三角形．所以PM＋PNMN＝MB＋＋CN＝圖4

圖5

圖

（2）如圖5聯(lián)結(jié)．由（1）知，＝BP，DN．由AM＝∠OAM＝∠OBP＝60°OAOB得△AOM≌BOP．以O(shè)M＝OP．同理△≌△，得＝OP所以O(shè)M＝．（3）四邊形OMGN菱形．說理如下：由（2）知，∠＝∠，∠＝∠COP（圖5所以∠AOM∠＝∠BOP＋∠＝°．所以∠MON＝120．如圖6當(dāng)OG平分∠MON時，∠MOG∠NOG60°又因為∠AOF＝FOE＝EOD60°，于是可得AOM∠FOG＝∠．于是可得△AOM△≌△．所以O(shè)M＝OG＝ON所以△MOG與△NOG兩個全等的等邊三角形．所以四邊形四條邊都相等，四邊形OMGN是菱形．在本題情景下，菱形OMGN的面積的最大值和最小值各是多少？因為△MOG與△NOG全等的等邊三角形所以O(shè)G最大時菱形的面積最大最小時菱形的面積最?。甇G的最大值等于，此時正三角形的邊長為菱形的最大面積為

32

a

．OG與垂直時最小，此時正三角形的邊長為

3a菱形的最小面積為2

a

．5、已知二次函數(shù)y＝－＋bx＋c的圖像經(jīng)過點(0,Q－（1）求此二次函數(shù)解析式；（2若點A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖像上一點過點軸的平行線交二次函數(shù)圖像于點分別過點、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，且所得四形為正方形．①求正方形的ABCD的積；②聯(lián)結(jié)、PD，PD交AB于點E求證：△∽△PEA．（1）將點P(0,Q(2,－分別代入y＝－x＋bx＋c得

cb

解得

0,所以該二次函數(shù)的解析式為＝－

＋1．（2）①如圖1設(shè)點坐標(biāo)為(x,－x此時y＝2x．

＋，四邊形恰為正方形時，AD＝AB解方程－

＋1＝2，得

x

2

．所以點橫坐標(biāo)為

2

．因此正方形ABCD面積等于

[2(

22

．②設(shè)與交點，那么

PF

OPOF22

．6

所以

PAE

(2

．又因為tanPDADPO

ODOP

2

，所以∠PAE＝∠．又因為∠P公用，所以△PAD∽△圖1

圖2事實上，對于矩形ABCD，總有結(jié)論△∽△PEA．證如下：如圖2設(shè)點坐標(biāo)為(x,－＋1)，那么－OF－(－x＋1)＝x．所以

tanPAE

PF2AF

．又因為

PDA

，所以∠∠PDA．因此△∽△PEA6、某數(shù)學(xué)活動小組作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程：（1）操作發(fā)現(xiàn)：在等腰△中，，分別以AB、為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示DF⊥AB于F⊥ACGBC的中點MD列結(jié)論正確的是__________（填序號即可①AF＝AG＝

AB

；②MD；③整個圖形是軸對稱圖形；④MD⊥ME（2）數(shù)學(xué)思考：在任意△中，分別以AB為斜邊，向△的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是中點，連結(jié)和ME則MD與ME有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程；（3）類比探究：在任意△中，仍分別AB斜邊，向ABC內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖所示M是中點，連結(jié)和ME試判斷△MDE的形狀．答：．圖（1）填寫序號①②④．7

（2）如圖4作DF⊥AB，⊥AC，垂足分別為F、G．因為DF、EG分別是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜邊上的高，所以F分別是AB、的中點．又已知M是中點，所以MF、MG是△的位線．所以

MF

AC，AB

，MF，MG//AB．所以∠BFM＝BAC，∠MGC＝∠BAC．所以∠BFM＝MGC．所以∠＝∠MGE．