探究規(guī)律題型方法總結和練習

------------------------------------------------------------------------探究規(guī)律題型方法總結和練習探究規(guī)律題型方法總結和練習一、教學內容：規(guī)律探究型問題1.圖案變化規(guī)律2.數列、代數式運算規(guī)律3.幾何變化規(guī)律4.探索研究二、知識要點：近年來，探索規(guī)律的題目成為數學中考的一個熱點，目的是考查學生觀察分析及探索的能力.題目分為題設和結論兩部分，通常題設部分給出一些數量關系或圖形變換關系，通過觀察分析，要求學生找出這些關系中存在的規(guī)律。這種數學題目本身存在一種數學探索的思想，體現了數學思想從特殊到一般的發(fā)現規(guī)律。是中考的一個難點，越來越引起考生重視。下面我們根據幾種不同類型的規(guī)律變化類型題進行分析。“規(guī)律探究型問題”根據學生已有的知識基礎和認知特點，分別從直觀形象和抽象符號上進行規(guī)律探索，突出數學的生活化，給學生提供更多機會體驗學習和探索的“過程”與“經歷”，使之擁有一定的問題解決、課題研究、社會調查的經驗，使學生經歷探索事物間的數量關系并用字母和代數式表示的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維，進一步使學生體會到代數式是刻畫現實世界的有效數學模型。現就規(guī)律探究的幾個例子，來探討一下這類專題：一、規(guī)律探索型問題的分類：1、數式規(guī)律通常給定一些數字、代數式、等式或不等式，然后猜想其中蘊含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數學方法，考查了學生的分析、歸納、抽象、概括能力。一般解法是先寫出數式的基本結構，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數量關系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數量關系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。如：1、有一串單項式：a，2a2，3a3，4a4，…，19a19，20a20，…那么第n個單項式是

。2、爭當小高斯：高斯在10歲的時候，曾計算出1+2+3+4+······+100=_________；還有另外一種解法：設S=1+2+3+······+99+100，那么也可以寫成S=100+99+98+97+······+2+1，把這兩個等式左右兩邊分別相加，可以得到2S=（1+100）+（2+99）+（3+97）+······+（99+2）+（100+1），2S=100×101，S=

由此，猜想前n個自然數和：1+2+3+4+······+n=________，前n個偶數和：2+4+6+8+······+2n=________，前n個奇數和：1+3+5+7+9+······+(2n-1)=________.猜想歸納是解決這類問題的有效方法，通過對已給出的材料和信息對研究的對象進行觀察、實驗、比較、歸納和分析綜合，作出符合一定規(guī)律與事實的推測性想象，從而發(fā)現一般規(guī)律.它是發(fā)現和認識規(guī)律的重要手段.平時的教學不能局限于課本，可以設計一些猜想性、類比性的活動，讓學生經歷一個觀察、試驗等活動過程，在活動中通過對大量特殊情形的觀察猜想出一般情形的結論，從而探索事物的內在規(guī)律.2、圖形規(guī)律根據一組相關圖形的變化規(guī)律，從中總結圖形變化所反映的規(guī)律。解決這類圖形規(guī)律問題的方法有兩種，一種是數圖形，將圖形轉化成數字規(guī)律，再用數字規(guī)律的解決問題，一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律。如：1、下圖是某同學在沙灘上用石子擺成的小房子．

觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個小房子用了_________塊石子。2、下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：經觀察可以發(fā)現：圖（2）比圖（1）多出2個“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個“樹枝”，照此規(guī)律，圖（7）比圖（6）多出個“樹枝”．圖案、圖表具有直觀、形象、簡明，包含的信息量多等特點，解決此類問題需要把“形”轉化為“數”，考查學生數形結合的數學思想。

二、規(guī)律探索型問題常用解法1、抓住條件中的變與不變找數學規(guī)律的題目，都會涉及到一個或者幾個變化的量.所謂找規(guī)律，多數情況下，是指變量的變化規(guī)律.所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關鍵.而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號.如：一組按規(guī)律排列的式子：，，，，…（），其中第7個式子是

，第個式子是

（為正整數）．分子和分母的底數沒變，變化的是符號及它們的指數，再把變量和序列號放在一起加以比較，就很容易發(fā)現其中的奧秘。2、化繁為簡，形轉化為數有些題目看上去很大、圖形很復雜，實際上，關鍵性的內容并不多.對題目做一番認真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關鍵的內容抽出來，題目的難度就會大幅度降低，問題也就容易解決了.如：將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個圖形有6個小圓，第2個圖形有10個小圓，第3個圖形有16個小圓，第4個圖形有24個小圓，……，依次規(guī)律，第6個圖形有

個小圓．通過比較，可以發(fā)現事物的相同點和不同點，更容易找到事物的變化規(guī)律.3、尋找事物的循環(huán)節(jié)有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到了事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解.如：把一張紙片剪成4塊，再從所得的紙片中任取若干塊，每塊又剪成4塊，像這樣依次地進行下去，到剪完某一次為止。那么2007，2008，2009，2010這四個數中______________可能是剪出的紙片數有些題目，雖然形式發(fā)生了變化，但是本質并沒有改變.我們只要在觀察形式變化的過程中，始終注意尋找它的不變量，就可以揭示出事物的本質規(guī)律.三、規(guī)律探索型問題常見的結論：1、乘方型：如：一張白紙引發(fā)的規(guī)律：將一張長方形的紙對折，可得到兩層。繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行，1、連續(xù)對折n次后，可以得到幾層?2、連續(xù)對折n次后，可以得到幾條折痕?3、若這張白紙的面積為1，連續(xù)對折n次后單層面積是多少？另如：拉面問題：將一團拉面拉一次，再捏合一次，再拉第二次，又捏合一次，如此重復下去，第n次捏合后，有多少根拉面？這類問題的關鍵在于觀察數的特征：將“數”進行比較，一定會發(fā)現“數”與“數”間的聯(lián)系

2、等比型：這類題型最簡單，通過觀察、比較，學生能很容易解決。如：觀察下列圖形，則第個圖形中三角形的個數是_________3、等差型：這些題型在數學中應用最廣，題型最多。例如：火柴棍引發(fā)若干的規(guī)律1、用火柴棍拼三角形

三角形個數12345……n火柴棍根數3

……

變式1：用火柴棍拼正方形正方形個數123。。。。。。n火柴棒條數

（1）搭一搭，填一填：（2）根據你的算法，搭100個這樣的正方形需要＿＿根火柴棒。變式2：用同樣規(guī)律的藍白兩色正方形瓷磚鋪設地面，如圖所示第n個圖形中需用藍色瓷磚＿＿塊

當數學問題所反映的數列的差值均為整數K時，其通式就與整數K的倍數有關，結果一定是（Kn±常數）的形式（n為自然數），將K代入特例中驗證即可輕易得到通式，這種方法簡便易行，熟練后可口頭作出答解。4、差值呈自然數增長型這類通式往往與前n個自然數的和、前n個奇數和或前n個偶數和有關。這類習題有許多實例：一條直線上有2個點，則有1條線段；如有3個點，則有2+1條線段；有4個點，則有3+2+1條線段；依次類推：有n個已知點，則有線段（n-1）+（n-2）+……+3+2+1條線段，即有[（n-1+1）(n-1)]÷2=[n（n-1）]÷2條線段。另外還有“幾個人相互握手總次數和”、“打籃球進行單循環(huán)比賽取總場次”等問題。所反映的是同一個數學問題，只是將其置身于各類不同的生活背景中，但歸根到底是求前（n-1）個自然數的和。又如，1、用大小相同的正方形拼圖，拼第1個圖形需要3個正方形，拼第2個圖形需要6個正方形，依次類推，拼第4個圖形需要______個正方形，拼第n個圖形需要_________個正方形。

2、下邊是一個有規(guī)律排列的數表,請用含n的代數式(n為正整數)表示數表中第n行第n列的數:_____________第一列第二列第三列第四列…第一行125

10第二行436

11第三行987

12第四行161514

13

…結論的歸結無非是乘方型、n的一次式s=kn+b或二次式s=an2+bn+c。數學規(guī)律，多數是函數的解析式.函數的解析式里常常包含著數學運算,所以，要求把變量和序列號放在一起，做一些計算，是解答找規(guī)律題的好途徑.規(guī)律探索型問題涉及的基礎知識非常廣泛，題目沒有固定的形式，因此沒有固定的解題方法。它既能充分地考察學生對基礎知識掌握的熟悉程度，又能較好地考察學生的觀察、分析、比較、概括及發(fā)散思維的能力及創(chuàng)新意識，因而成為中考的熱點.這就啟發(fā)廣大數學教師必須注重過程教學,用科學的方法引導學生親身參與、經歷探索規(guī)律的過程,在這樣的過程中讓學生認識數學之美,感受探索的愉悅,逐步培養(yǎng)學生的獨立探究能力。1.圖案變化規(guī)律探究題圖案變化規(guī)律題是指在一定條件下，探索發(fā)現有關圖形所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的圖形或條件，要求學生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律，它體現了“特殊到一般”的數學思想方法，考查了學生分析、解決問題的能力，觀察、聯(lián)想、歸納的能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力，題型可涉及填空、選擇或解答。例：如圖，是一個裝飾物品連續(xù)旋轉閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個呈現出來的圖形是（）。分析：觀察圖像變化規(guī)律，不難發(fā)現陰影部分的圖形是按順時針每次旋轉兩個小格。答案是B2.數列、代數式運算規(guī)律猜想型探究題題設中提供某些信息，供解題者觀察、類比、推理、反思，從而歸納、猜測、驗證得出一般性的規(guī)律和結論，這樣的問題稱為猜想型探究題。猜想型探究題能培養(yǎng)學生對數字的敏感和直覺思維，能培養(yǎng)學生發(fā)現與創(chuàng)新的思維品質和探索精神。3.幾何變化規(guī)律探究題觀察幾何圖形、根據題中的變化規(guī)律進行分析，猜想下面所沒有給出的圖形變化情況、探究圖形的變化和所求的結果、歸納總結發(fā)現規(guī)律。例：對面積為1的△ABC逐次進行以下操作：第一次操作，分別延長AB、BC、CA至點A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，順次連接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1；第二次操作，分別延長A1B1、B1C1、C1A1至點A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，順次連接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，記其面積為S2

4.探索研究已知題中給出一個全新的名詞，根據所學的知識和名詞的含義解題.體現學生對新知識、新事物的判斷和認知能力，通過提高數學知識技能，準確地運用數學基本思想和方法解題.例：如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”.如圖①所示，矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”.顯然，當△ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個.根據上面敘述，（1）說明什么樣的平行四邊形是一個三角形的“友好平行四邊形”；（2）如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大小.（2）此時共有2個友好矩形，如圖的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面積相等.三、重點難點：通過觀察、分析，找出存在的規(guī)律。它既是重點又是難點，著重考查學生觀察、操作、實驗、歸納、猜想、驗證等能力，是對學生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)的重要前提．【典型例題】例題1、圖形的操作過程（本題中四個矩形的水平方向的邊長均為a，豎直方向的邊長均為b）：●在圖①中，將線段A1A2向右平移1個單位到B1B2，得到封閉圖形A1A2B2B●在圖②中，將折線A1A2A3向右平移1個單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B3（1）在圖③中，請你類似地畫一條有兩個折點的折線，同樣向右平移1個單位，從而得到一個封閉圖形，并用斜線畫出陰影；（2）請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積：S1＿＿，S2＿＿，S3＿＿；（3）聯(lián)想與橋梁如圖④中，在一塊矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？并說明你的猜想是正確的.考點：平行四邊形的面積.【分析】這個題目是要求學生從幾何圖形的變化中，探索圖形面積的變化，并加以說明.在前面的三個圖形中，常規(guī)的辦法是利用平行四邊形（或分別割成多個平行四邊形）的面積計算來求陰影部分的面積，進而計算空白部分的面積．注意平行四邊形的面積是底乘以高，陰影部分的面積以一個單位為底，高均為b，或者多個和為b，所以空白部分面積均為ab－b.但是當陰影部分的左右邊界由折線變?yōu)槿我獾那€時，計算的方法已經不再適用，因此我們考慮圖形的拆分和拼接，利用平移得到空白部分構成的“簡單”圖形來計算草地的面積．【解析】（1）畫圖（要求對應點在水平位置上，寬度保持一致）

想一想，什么樣的兩數之積等于這兩數之和？設n表示正整數，用關于n的等式表示這個規(guī)律為：＿＿＿＿＿×＿＿＿＿＿=＿＿＿＿＿+＿＿＿＿＿．考點：探究規(guī)律、導出公式．【分析】該題是通過觀察給出的運算，找到反映其規(guī)律的表達式．此類問題不僅考查學生對知識的掌握，同時考查學生觀察分析的能力．通過觀察給出的四個等式左邊是一個分數與一個整數的積且分數的分子比分母大1，而整數與分子相同．右邊是這兩個數的和，所以不難發(fā)現其規(guī)律為：左邊例題4、我們給出如下定義：若一個四邊形的兩條對角線相等，則稱這個四邊形為等對角線四邊形．請解答下列問題：（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是等對角線四邊形的兩種圖形的名稱；（2）探究：當等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為時，這對角所對的兩邊之和與其中一條對角線的大小關系，并證明你的結論．考點：平行四邊形、等邊三角形的性質和判定、三角形的兩邊之和大于第三邊的性質等.【分析】本題的名詞為學生的猜想提供了條件，正確結論的探索，是證明的基礎.結論的證明綜合了平行四邊形、等邊三角形的性質、三角形的性質及平移的方法和手段，將兩邊之和平移到同一線段上，再與第三邊進行比較.【解析】（1）答案不唯一，如正方形、矩形、等腰梯形等等．即等對角線四邊形中兩條對角線所夾銳角為時，這對角所對的兩邊之和大于或等于其中一條對角線的長．例題5、四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點．如圖1，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD＝PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點．（1）如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點．（2）如圖3，作出四邊形ABCD的一個準等距點（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF＝∠CBE，CE＝CF．求證：點P是四邊形ABCD的準等距點．考點：三角形全等、特殊四邊形的性質、垂直平分線的性質等.【分析】根據題中的“準等距點”的概念，PD＝PB，PA≠PC，可以知道，點P在線段BD的垂直平分線上，再