數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)技巧分析

數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)技巧分析

隨著科技的進(jìn)步與發(fā)展，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論方法已廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等各個(gè)領(lǐng)域?？梢哉f(shuō)，凡是有數(shù)據(jù)出現(xiàn)的地方，都不同程度地應(yīng)用到了概率統(tǒng)計(jì)提供的模型與方法。然而，由于該課程具有一定的理論深度與難度，且對(duì)高等數(shù)學(xué)知識(shí)要求比較高，使得許多學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)會(huì)比較吃力。筆者結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探究教學(xué)中的一些方法技巧，以更好地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，主要體現(xiàn)在以下五個(gè)方面。

1突出知識(shí)的產(chǎn)生背景

簡(jiǎn)而言之，所謂的“突出知識(shí)的產(chǎn)生背景”就是讓學(xué)生知道為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。在編輯教材時(shí)往往出于篇幅以及學(xué)術(shù)性的考慮而略掉了知識(shí)點(diǎn)的產(chǎn)生過(guò)程或者應(yīng)用背景。但教師在授課過(guò)程中應(yīng)該讓學(xué)生明了為何要學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也就是首先讓學(xué)生了解該知識(shí)點(diǎn)的產(chǎn)生過(guò)程或者應(yīng)用背景，從而激發(fā)他們對(duì)該課程的學(xué)習(xí)興趣。例如，當(dāng)講授到概率的公理化定義時(shí)，教師不妨一開(kāi)始就告訴學(xué)生為何要學(xué)習(xí)該公理化定義，其原因在于我們之前介紹了若干種計(jì)算概率的方法，既然不同的方法計(jì)算出來(lái)的都是概率，很自然地我們就要思考“什么才是概率”這個(gè)問(wèn)題。而數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)特點(diǎn)就是用高度精確而簡(jiǎn)練的語(yǔ)言來(lái)描述自然界或者數(shù)學(xué)科學(xué)中具有相同性質(zhì)的一些事物，那我們應(yīng)該用什么樣的最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言來(lái)給出概率的定義呢？接著教師不妨舉一兩個(gè)例子說(shuō)明歷史上數(shù)學(xué)家關(guān)于這方面工作的努力探索，再指出我們現(xiàn)在所學(xué)習(xí)的公理化定義是1933年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫哥洛夫所給出的。然后再引進(jìn)概率的公理化定義，之后還可以通過(guò)對(duì)不同方法所得到的概率來(lái)對(duì)公理化定義進(jìn)行檢驗(yàn)，說(shuō)明不同方法得到的概率都滿(mǎn)足概率的公理化定義。這樣一來(lái)，學(xué)生就知道了為什么要學(xué)習(xí)概率公理化定義，其學(xué)習(xí)興趣也會(huì)大大提高。當(dāng)然，突出知識(shí)的產(chǎn)生背景不一定在授課初始就告訴學(xué)生，也可以在授課過(guò)程中或者授課結(jié)束總結(jié)時(shí)給出。例如，當(dāng)講到棣莫弗-拉普拉斯定理，即若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意區(qū)間[a，b)，恒有們不妨先把公式展示出來(lái)，然后分析說(shuō)明該定理可以陳述成若隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，則近似地有Y～N)。相比之下，學(xué)生對(duì)式中的積分和極限符號(hào)始終帶有恐懼感，此時(shí)我們把式化成了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的式。而學(xué)生在高中就開(kāi)始接觸正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化的過(guò)程，所以這一個(gè)化簡(jiǎn)過(guò)程可以增加學(xué)生對(duì)該定理的好感，能夠讓學(xué)生完全掌握這個(gè)公式。此時(shí)，再引進(jìn)下面的例子“在3000次拋銀幣的試驗(yàn)中，求正面向上的次數(shù)在500次到2499次之間的概率”比較上述兩式可發(fā)現(xiàn)前式有2000個(gè)數(shù)相加，而后式可通過(guò)查表很容易得到結(jié)果。于是最后給出總結(jié)：棣莫弗-拉普拉斯定理的作用就是把復(fù)雜計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)化的過(guò)程，它的主要作用就是把二項(xiàng)分布概率模型下若干項(xiàng)的概率之和轉(zhuǎn)化為一個(gè)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化查表計(jì)算的過(guò)程。

2加強(qiáng)課堂教學(xué)的師生互動(dòng)

數(shù)學(xué)家的故事以及數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生歷史或應(yīng)用背景可以為枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)增添一些光澤，但為了提高課堂的教學(xué)效果，師生間的課堂互動(dòng)必不可少。作為教學(xué)的另外一個(gè)主體———學(xué)生因?yàn)槟挲g處于20歲左右，注意力容易分散，如果沒(méi)有有效的師生互動(dòng)，學(xué)生的注意力很容易就會(huì)偏離課堂。那么如何才能達(dá)到師生之間的有效互動(dòng)呢？筆者認(rèn)為如下方法可行。

課堂提問(wèn)

提問(wèn)的問(wèn)題應(yīng)該是精心設(shè)計(jì)的，且應(yīng)具備趣味性和啟發(fā)性。一般而言，數(shù)學(xué)課堂的提問(wèn)問(wèn)題要和所講授的公式或者定理緊密聯(lián)系。例如在講到“泊松近似定理”時(shí)，教師可以首先僵硬地?cái)[出公式。然后提問(wèn)學(xué)生：“你覺(jué)得左右兩個(gè)公式哪一個(gè)比較簡(jiǎn)單”。由于學(xué)生高中開(kāi)始就接觸組合公式，所以他們對(duì)組合公式比較熟悉，一般情況下他們都會(huì)回答比簡(jiǎn)單。接著，引進(jìn)例“某人騎摩托車(chē)上街，出事故率為，若他獨(dú)立重復(fù)上街400次，求出事故恰好兩次的概率。”此時(shí)讓學(xué)生甲、乙到黑板求解該題目，規(guī)定甲用組合公式，乙用近似公式。結(jié)果乙不用兩分鐘就可通過(guò)查表解決，而甲算半天得不到結(jié)果。最后教師可以把用組合公式計(jì)算的結(jié)果以及近似公式計(jì)算的結(jié)果給出，比較之后給出以下結(jié)論：實(shí)際上“泊松近似定理”就是把復(fù)雜的計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)化的一個(gè)工具，并且這種簡(jiǎn)化具有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用，特別是在沒(méi)有計(jì)算機(jī)的時(shí)代，這種簡(jiǎn)化優(yōu)勢(shì)特別明顯。

分組討論

讓學(xué)生分組討論問(wèn)題，可以讓每個(gè)學(xué)生都參與到課堂教學(xué)中，增加學(xué)生之間的相互交流，加深他們對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握，也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。例如在講授“古典概率模型”時(shí)引進(jìn)例“從一副沒(méi)有大小王的撲克中，取五張牌，求下列事件的概率：A=出現(xiàn)同花順，B=出現(xiàn)俘虜，C=出現(xiàn)四大天王，D=出現(xiàn)同色。”然后讓學(xué)生分組討論，最后各組選派代表在黑板上寫(xiě)出答案。由于該問(wèn)題源于實(shí)際生活，學(xué)生都會(huì)積極地參與到討論中，這樣課堂氣氛就會(huì)活躍起來(lái)，也提高了教學(xué)效果。

黑板練習(xí)

隨機(jī)選擇部分學(xué)生到黑板進(jìn)行練習(xí)。有些大學(xué)教師或許會(huì)認(rèn)為讓學(xué)生到黑板進(jìn)行練習(xí)是中學(xué)教師做的事情，實(shí)際上大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中隨機(jī)選擇學(xué)生到黑板練習(xí)也是必須并且很有意義的。隨機(jī)地挑選學(xué)生到黑板進(jìn)行練習(xí)可以讓教師了解到學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，同時(shí)也可以對(duì)學(xué)生的心理造成一定的影響，對(duì)抄襲作業(yè)等行為起到一定的抑制作用，并且也可以加強(qiáng)師生間的課堂互動(dòng)。

3注意教材的靈活處理

首先教材的選擇非常重要，要根據(jù)學(xué)生的授課學(xué)時(shí)、接受能力進(jìn)行篩選。但是，即使確定好教材之后，授課內(nèi)容也必須因材施教。例如在農(nóng)業(yè)院校給農(nóng)學(xué)的學(xué)生授課，在概率論方面應(yīng)該注重理論知識(shí)的講解，里面一些知識(shí)的推導(dǎo)必不可少，其邏輯性要求也應(yīng)該嚴(yán)謹(jǐn)化。這樣有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的鍛煉，也有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，如前文所介紹的棣莫弗-拉普拉斯定理的講授。但對(duì)于數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容，由于其知識(shí)推導(dǎo)需要較多較復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，所以在對(duì)農(nóng)科數(shù)學(xué)學(xué)生授課過(guò)程中就不宜于詳細(xì)證明和推導(dǎo)，而更應(yīng)該側(cè)重于思想以及知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用。例如，在講授“無(wú)交互作用的雙因素的方差分析”時(shí)，對(duì)于公式SST=SSA+SSB+SSE我們可不必進(jìn)行嚴(yán)格推導(dǎo)，只是粗略地介紹一下其推導(dǎo)原理，即，而更應(yīng)該注重于SST，SSA，SSB，SSE的意義，并且突出“無(wú)交互作用的雙因素的方差分析”的應(yīng)用背景。這樣的授課方式，即概率論方面注重于理論推導(dǎo)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面注重于實(shí)際應(yīng)用的處理方法主要是根據(jù)農(nóng)業(yè)院校的學(xué)生文理兼有、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊并且學(xué)時(shí)數(shù)不多的情況而采用。否則，若把數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容也進(jìn)行嚴(yán)格化證明和推導(dǎo)，那對(duì)于很多高中選修文科上來(lái)的大一學(xué)生來(lái)說(shuō)無(wú)疑是難度過(guò)大，最終雖然教師授課認(rèn)真辛苦，但教學(xué)效果會(huì)大打折扣。因此，教師應(yīng)該根據(jù)不同的學(xué)科需要并且根據(jù)不同的學(xué)生水平選擇適當(dāng)?shù)慕滩?，并合理地處理教材中的授課內(nèi)容。

4留意知識(shí)的前后聯(lián)系

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支，因此在授課過(guò)程中教師也應(yīng)該時(shí)時(shí)留意知識(shí)的前后聯(lián)系。這里所講“知識(shí)的前后聯(lián)系”主要有以下兩種情況：第一，新舊概念的區(qū)別聯(lián)系。當(dāng)講授到一個(gè)新概念，發(fā)現(xiàn)它與某些舊概念有密切聯(lián)系或者容易產(chǎn)生混淆時(shí)就應(yīng)該對(duì)兩者進(jìn)行對(duì)比辨析。例如，當(dāng)講授到“相互獨(dú)立”概念時(shí)，很多學(xué)生都會(huì)把它與“互不相容”概念聯(lián)系在一起或者對(duì)這兩個(gè)概念產(chǎn)生混淆。此時(shí)，教師應(yīng)該通過(guò)例子說(shuō)明“相互獨(dú)立”與“互不相容”沒(méi)有任何聯(lián)系；第二，新舊結(jié)論的區(qū)別聯(lián)系。當(dāng)講授到一個(gè)新結(jié)論，發(fā)現(xiàn)它和原來(lái)的結(jié)論容易產(chǎn)生混淆時(shí)，教師也應(yīng)該通過(guò)例子對(duì)兩者進(jìn)行辨析。例如在講授完“獨(dú)立同分布的中心極限定理”之后，很多學(xué)生就會(huì)把它和“切比雪夫不等式”混淆。此時(shí)不妨引進(jìn)下面例子“一零件包括10部分，每部分的長(zhǎng)度是一個(gè)隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，且具有同一分布。其數(shù)學(xué)期望是2mm，均方差是，規(guī)定總長(zhǎng)度為20±時(shí)產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率?！比缓笞寣W(xué)生用“獨(dú)立同分布的中心極限定理”和“切比雪夫不等式”來(lái)求解。通過(guò)這個(gè)例子可以很好地讓學(xué)生明白“切比雪夫不等式”一般用于理論研究，得到的結(jié)果比較粗糙。相比之下，“獨(dú)立同分布的中心極限定理”更具有實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值。除此之外，教師還應(yīng)在授課過(guò)程中注意到新舊知識(shí)的前后承接或者同一概念的前后變異。例如，在講授到數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)時(shí)書(shū)本往往針對(duì)于正態(tài)總體進(jìn)行展開(kāi)，這時(shí)候就要復(fù)習(xí)中心極限定理以及通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)?明現(xiàn)實(shí)生活中大部分的隨機(jī)變量都服從或者近似地服從正態(tài)分布，因此數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本上都是針對(duì)正態(tài)總體進(jìn)行研究。另外，在講授到回歸分析中的樣本相關(guān)系數(shù)應(yīng)該和概率論中所講授的兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比，這樣就可以讓學(xué)生更好地理解樣本相關(guān)系數(shù)的作用以及定義的形式?？偠灾?，在授課過(guò)程中教師應(yīng)時(shí)刻留意知識(shí)的前后聯(lián)系，這樣可以使學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)有更好的理解和認(rèn)識(shí)，也加深他們對(duì)新舊知識(shí)的記憶和掌握。

5注重理論的實(shí)際應(yīng)用

第一，在教學(xué)過(guò)程中由始至終地突出概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所有知識(shí)點(diǎn)的實(shí)際應(yīng)用背景，也就是前面所談及的突出知識(shí)的產(chǎn)生背景。例如，抽取撲克概率的問(wèn)題可以解決打撲克過(guò)程中不同牌種的大小關(guān)系，再比如方差分析表中只要把算出的F統(tǒng)計(jì)量的值和相應(yīng)臨界值比較就可以用來(lái)判斷不同總體的期望值之間是否相等。只要讓學(xué)生明白到他們一旦掌握了這些知識(shí)就可以用來(lái)解決生活實(shí)際問(wèn)題，則他們學(xué)習(xí)的興趣就可大大提高。第二，開(kāi)設(shè)上機(jī)實(shí)驗(yàn)課，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問(wèn)題。在講授概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的同時(shí)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的課程與之匹配。讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)上通過(guò)數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析和回歸分析等。如此一來(lái)，學(xué)生就會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)是好玩的、有用的，其學(xué)習(xí)興趣更加濃厚。在上機(jī)實(shí)驗(yàn)課最后階段教師還可以引進(jìn)生活實(shí)際應(yīng)用例子，提供生活實(shí)際數(shù)據(jù)讓學(xué)生通過(guò)軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模擬合。華南農(nóng)業(yè)大學(xué)在2010年開(kāi)設(shè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生做過(guò)這樣的實(shí)驗(yàn)，教師首先介紹了一些動(dòng)物增重