高中數(shù)學(xué)2-3學(xué)案：第一章 計(jì)數(shù)原理 第2課時(shí)　排列的應(yīng)用 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時(shí)排列的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1。進(jìn)一步加深對(duì)排列概念的理解。2.掌握幾種有限制條件的排列，能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．知識(shí)點(diǎn)排列及其應(yīng)用1．排列數(shù)公式Aeq\o\al（m,n)＝________________________________________________________________________（n，m∈N＊，m≤n）＝____________。Aeq\o\al（n,n)＝________________＝______(叫做n的階乘）．另外,我們規(guī)定0！＝______。2．應(yīng)用排列與排列數(shù)公式求解實(shí)際問題中的計(jì)數(shù)問題的基本步驟類型一無限制條件的排列問題例1(1）有7本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有7種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？反思與感悟典型的排列問題，用排列數(shù)計(jì)算其排列方法數(shù)；若不是排列問題，需用計(jì)數(shù)原理求其方法種數(shù)．排列的概念很清楚，要從“n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素”．即在排列問題中元素不能重復(fù)選取,而在用分步計(jì)數(shù)原理解決的問題中，元素可以重復(fù)選取．跟蹤訓(xùn)練1(1）有5個(gè)不同的科研小課題,從中選3個(gè)由高二(6）班的3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行研究，每組一個(gè)課題，共有多少種不同的安排方法?（2）有5個(gè)不同的科研小課題，高二(6）班的3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組報(bào)名參加，每組限報(bào)一個(gè)課題，共有多少種不同的報(bào)名方法?類型二排隊(duì)問題eq\x（命題角度1元素“相鄰”與“不相鄰"問題）例23名男生，4名女生，這7個(gè)人站成一排在下列情況下，各有多少種不同的站法．(1)男、女各站在一起;(2）男生必須排在一起；(3）男生不能排在一起;(4）男生互不相鄰，且女生也互不相鄰．反思與感悟處理元素“相鄰"“不相鄰"問題應(yīng)遵循“先整體，后局部"的原則．元素相鄰問題，一般用“捆綁法",先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再松綁,將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列．元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通"元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素．跟蹤訓(xùn)練2排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單．(1)任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種?(2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？eq\x(命題角度2定序問題）例37人站成一排．(1）甲必須在乙的左邊（不一定相鄰），則有多少種不同的排列方法？（2）甲、乙、丙三人自左向右的順序不變（不一定相鄰)，則有多少種不同的排列方法？反思與感悟這類問題的解法是采用分類法．n個(gè)不同元素的全排列有Aeq\o\al(n，n)種排法，m個(gè)不同元素的全排列有Aeq\o\al（m，m)種排法．因此Aeq\o\al（n，n）種排法中，關(guān)于m個(gè)元素的不同分法有Aeq\o\al（m,m）類，而且每一分類的排法數(shù)是一樣的．當(dāng)這m個(gè)元素順序確定時(shí)，共有eq\f(A\o\al（n，n),A\o\al(m,m）)種排法．跟蹤訓(xùn)練37名師生排成一排照相，其中老師1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按從高到低的順序站，有多少種不同的站法？eq\x（命題角度3特殊元素與特殊位置問題)例4從包括甲、乙兩名同學(xué)在內(nèi)的7名同學(xué)中選出5名同學(xué)排成一列，求解下列問題：（1）甲不在首位的排法有多少種？(2）甲既不在首位，又不在末位的排法有多少種？(3）甲與乙既不在首位又不在末位的排法有多少種？(4）甲不在首位，同時(shí)乙不在末位的排法有多少種?反思與感悟“在"與“不在”排列問題解題原則及方法（1）原則：解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時(shí),可以從元素入手也可以從位置入手，原則是誰特殊誰優(yōu)先．（2）方法：從元素入手時(shí)，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置入手時(shí)，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解題時(shí)，或從元素考慮，或從位置考慮,都要貫徹到底．不能一會(huì)考慮元素，一會(huì)考慮位置，造成分類、分步混亂，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．跟蹤訓(xùn)練4某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課,如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法?類型三數(shù)字排列問題例5用0，1,2，3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無重復(fù)的數(shù)字？（1）六位奇數(shù)；（2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)；（3)不大于4310的四位偶數(shù)．反思與感悟數(shù)字排列問題是排列問題的重要題型，解題時(shí)要著重注意從附加受限制條件入手分析,找出解題的思路．常見附加條件有：（1）首位不能為0;（2）有無重復(fù)數(shù)字；（3)奇偶數(shù)；（4）某數(shù)的倍數(shù)；（5）大于（或小于）某數(shù)．跟蹤訓(xùn)練5用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的（1)能被5整除的五位數(shù)；(2）能被3整除的五位數(shù);(3)若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列{an}，則240135是第幾項(xiàng)．1．6位選手依次演講，其中選手甲不排在第一個(gè)也不排在最后一個(gè)演講，則不同的演講次序共有________種．2．3名男生和3名女生排成一排，男生不相鄰的排法有________種．3．用數(shù)字1,2,3,4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為________．4．從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4×100m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問共有________種參賽方案．5．用數(shù)字0,1,2，3，4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共________個(gè)．求解排列問題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對(duì)于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后,再除以定序元素的全排列間接法正難則反,等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法

答案精析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)eq\f（n!，n－m?。﹏（n－1）（n－2)…2·1n！1題型探究例1解（1)從7本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，相當(dāng)于從7個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，所以共有Aeq\o\al（3,7)＝7×6×5＝210（種)不同的送法．（2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有7×7×7＝343（種）不同的送法．跟蹤訓(xùn)練1解（1）從5個(gè)不同的課題中選出3個(gè),由興趣小組進(jìn)行研究,對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同的安排方法有Aeq\o\al（3,5）＝5×4×3＝60(種）．(2)由題意知3個(gè)興趣小組可能報(bào)同一科研課題，因此元素可以重復(fù),不是排列問題．由于每個(gè)興趣小組都有5種不同的選擇，且3個(gè)小組都選擇完才算完成這件事，所以由分步計(jì)數(shù)原理得共有5×5×5＝125(種)報(bào)名方法．例2解（1)(相鄰問題捆綁法）男生必須站在一起,即把3名男生進(jìn)行全排列,有Aeq\o\al(3，3)種排法，女生必須站在一起，即把4名女生進(jìn)行全排列,有Aeq\o\al（4，4）種排法，全體男生、女生各看作一個(gè)元素全排列有Aeq\o\al(2，2）種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有Aeq\o\al（3，3)·Aeq\o\al(4，4）·Aeq\o\al(2，2)＝288（種)排法．（2）（捆綁法)把所有男生看作一個(gè)元素,與4名女生組成5個(gè)元素全排列，故有Aeq\o\al（3,3）·Aeq\o\al（5,5)＝720(種)不同的排法．（3）（不相鄰問題插空法)先排女生有Aeq\o\al（4，4）種排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5個(gè)空中，有Aeq\o\al（3,5)種排法,故有Aeq\o\al(4，4)·Aeq\o\al（3,5)＝1440（種）不同的排法．（4）先排男生有Aeq\o\al（3,3）種排法．讓女生插空，有Aeq\o\al(3，3)Aeq\o\al（4，4）＝144（種）不同的排法．跟蹤訓(xùn)練2解(1)先排歌唱節(jié)目有Aeq\o\al(5,5）種,歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有Aeq\o\al（4,6)種方法，所以任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有Aeq\o\al（5，5）·Aeq\o\al(4，6)＝43200(種）方法．(2）先排舞蹈節(jié)目有Aeq\o\al（4,4)種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目放入．所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有Aeq\o\al（4,4）·Aeq\o\al(5，5）＝2880（種)方法．例3解(1）甲在乙前面的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的一半，故有eq\f（A\o\al(7，7),A\o\al(2,2))＝2520（種）不同的排法．(2)甲、乙、丙自左向右的順序保持不變，即甲、乙、丙自左向右順序的排法種數(shù)占全體全排列種數(shù)的eq\f(1,A\o\al（3，3)).故有eq\f（A\o\al(7，7)，A\o\al（3,3）)＝840（種）不同的排法．跟蹤訓(xùn)練3解7人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有Aeq\o\al（4，4）種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同的站法,所以共有2·eq\f(A\o\al(7,7）,A\o\al（4,4))＝420（種)不同的站法．例4解(1）方法一把同學(xué)作為研究對(duì)象．第一類：不含甲，此時(shí)只需從甲以外的其他6名同學(xué)中取出5名放在5個(gè)位置上，有Aeq\o\al(5,6）種．第二類:含有甲,甲不在首位：先從4個(gè)位置中選出1個(gè)放甲,再從甲以外的6名同學(xué)中選出4名排在沒有甲的位置上，有Aeq\o\al(4，6)種排法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，含有甲時(shí)共有4×Aeq\o\al(4,6)種排法．由分類計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(5，6）＋4×Aeq\o\al(4，6)＝2160(種）排法．方法二把位置作為研究對(duì)象．第一步，從甲以外的6名同學(xué)中選1名排在首位，有Aeq\o\al（1，6）種方法．第二步，從占據(jù)首位以外的6名同學(xué)中選4名排在除首位以外的其他4個(gè)位置上，有Aeq\o\al(4,6)種方法．由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al（4,6)＝2160(種）排法．方法三(間接法)即先不考慮限制條件,從7名同學(xué)中選出5名進(jìn)行排列,然后把不滿足條件的排列去掉．不考慮甲不在首位的要求，總的可能情況有Aeq\o\al(5，7）種；甲在首位的情況有Aeq\o\al（4,6)種,所以符合要求的排法有Aeq\o\al(5,7)－Aeq\o\al（4，6）＝2160(種)．(2)把位置作為研究對(duì)象,先滿足特殊位置．第一步，從甲以外的6名同學(xué)中選2名排在首末2個(gè)位置上，有Aeq\o\al（2,6)種方法．第二步,從未排上的5名同學(xué)中選出3名排在中間3個(gè)位置上，有Aeq\o\al（3，5）種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，有Aeq\o\al（2，6)·Aeq\o\al（3，5）＝1800(種）方法．（3)把位置作為研究對(duì)象．第一步,從甲、乙以外的5名同學(xué)中選2名排在首末2個(gè)位置，有Aeq\o\al(2,5）種方法．第二步，從未排上的5名同學(xué)中選出3名排在中間3個(gè)位置上,有Aeq\o\al（3，5)種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2，5)·Aeq\o\al（3，5）＝1200(種）方法．(4）用間接法．總的可能情況是Aeq\o\al（5，7）種，減去甲在首位的Aeq\o\al(4,6)種，再減去乙在末位的Aeq\o\al(4,6）種．注意到甲在首位同時(shí)乙在末位的情況被減去了兩次,所以還需補(bǔ)回一次Aeq\o\al(3，5)種,所以共有Aeq\o\al(5,7）－2Aeq\o\al(4,6）＋Aeq\o\al（3，5）＝1860（種）排法．跟蹤訓(xùn)練4解6門課總的排法是Aeq\o\al(6，6），其中不符合要求的可分為體育排在第一節(jié)，有Aeq\o\al(5,5）種排法;數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，有Aeq\o\al(5,5）種排法,但這兩種方法，都包括體育排在第一節(jié)，數(shù)學(xué)排在最后一節(jié),這種情況有Aeq\o\al(4，4）種排法．因此符合條件的排法有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5，5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504（種)．例5解(1)第一步，排個(gè)位，有Aeq\o\al（1,3)種排法；第二步，排十萬位，有Aeq\o\al（1,4）種排法；第三步，排其他位，有Aeq\o\al(4，4）種排法．故共有Aeq\o\al（1，3)Aeq\o\al（1，4)Aeq\o\al（4,4)＝288(個(gè)）六位奇數(shù)．(2）方法一（直接法)十萬位數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同，因此需分兩類．第一類,當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，有Aeq\o\al（5，5）個(gè)；第二類，當(dāng)個(gè)位不排0時(shí)，有Aeq\o\al(1，4）Aeq\o\al（1，4）Aeq\o\al（4，4)個(gè)．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al（5，5)＋Aeq\o\al(1,4）Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al（4，4）＝504(個(gè)）．方法二（排除法）0在十萬位和5在個(gè)位的排列都不對(duì)應(yīng)符合題意的六位數(shù),這兩類排列中都含有0在十萬位和5在個(gè)位的情況．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(6，6）－2Aeq\o\al(5,5）＋Aeq\o\al（4，4)＝504(個(gè)）．(3)分三種情況，具體如下：①當(dāng)千位上排1,3時(shí)，有Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al（1,3)Aeq\o\al（2,4）個(gè)．②當(dāng)千位上排2時(shí)，有Aeq\o\al(1，2）Aeq\o\al（2,4)個(gè)．③當(dāng)千位上排4時(shí)，形如40×2，42×0的各有Aeq\o\al(1，3)個(gè)；形如41××的有Aeq\o\al(1,2）Aeq\o\al(1,3）個(gè)；形如43××的只有4310和4302這兩個(gè)數(shù)．故共有Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al(1，3)Aeq\o\al（2，4）＋Aeq\o\al(1，2）Aeq\o\al(2，4)＋2Aeq\o\al(1,3）＋Aeq\o\al（1，2）Aeq