高中數(shù)學(xué)5學(xué)案：1章末復(fù)習(xí)提升

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、題型探究題型一利用正弦、余弦定理解三角形1.解三角形的四種類型已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角（如a，B,C)正弦定理由A＋B＋C＝180°,求角A；由正弦定理求出b與c，在有解時(shí)只有一解兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出一邊所對(duì)的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解時(shí)只有一解三邊(a,b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解時(shí)只有一解兩邊和其中一邊的對(duì)角(如a,b，A）正弦定理、余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有兩解、一解或無(wú)解2.三角形解的個(gè)數(shù)的判斷已知兩邊和其中一邊的對(duì)角不能唯一確定三角形，解這類三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解、無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角”，此時(shí)一般用正弦定理,但也可用余弦定理.(1)利用正弦定理討論:若已知a、b、A，由正弦定理eq\f(a,sinA）＝eq\f(b,sinB），得sinB＝eq\f（bsinA,a)。若sinB〉1，無(wú)解；若sinB＝1,一解；若sinB<1，兩解。（2)利用余弦定理討論：已知a、b、A。由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，這是關(guān)于c的一元二次方程.若方程無(wú)解或無(wú)正數(shù)解，則三角形無(wú)解；若方程有唯一正數(shù)解，則三角形有一解；若方程有兩個(gè)不同正數(shù)解，則三角形有兩解。例1如圖，在△ABC中，a＝BC，b＝AC,c＝AB,B＝45°，b＝eq\r（10)，cosC＝eq\f(2\r（5),5).（1)求邊長(zhǎng)a；(2)設(shè)AB中點(diǎn)為D，求中線CD的長(zhǎng).解（1）由cosC＝eq\f（2\r(5），5)，C∈（0°,90°），得sinC＝eq\r（1－cos2C）＝eq\r（1－\f（2\r（5),5)2)＝eq\f（\r（5），5）,sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f（\r（2)，2)×eq\f(2\r（5）,5）＋eq\f（\r(2）,2）×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(3\r(10)，10)，由正弦定理得a＝eq\f（bsinA，sinB)＝eq\f(\r(10）×\f(3\r(10),10），\f（\r(2）,2）)＝3eq\r(2）.（2)由余弦定理得c2＝（3eq\r(2)）2＋(eq\r（10））2－2×3eq\r（2）×eq\r(10)×eq\f（2\r（5),5）＝4，所以c＝2，又因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以BD＝1.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC×cosB＝12＋(3eq\r(2))2－2×1×3eq\r（2）×eq\f（\r（2），2）＝13，∴CD＝eq\r(13）.跟蹤訓(xùn)練1在△ABC中,角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)a,b，c滿足條件b2＋c2－bc＝a2和eq\f（c,b）＝eq\f(1,2）＋eq\r（3)，求A和tanB的值。解由余弦定理cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc）＝eq\f（1,2）〉0，∴A∈(0°，90°)，∴A＝60°。在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B。由已知條件，應(yīng)用正弦定理得eq\f(1，2）＋eq\r（3)＝eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(sin120°－B,sinB)＝eq\f（sin120°cosB－cos120°sinB，sinB)＝eq\f（\r(3)，2tanB）＋eq\f(1,2)，從而tanB＝eq\f（1，2）.題型二判斷三角形的形狀1.利用正弦定理、余弦定理判斷三角形的形狀的兩種方法方法一:通過邊之間的關(guān)系判斷形狀；方法二：通過角之間的關(guān)系判斷形狀。利用正弦、余弦定理可以將已知條件中的邊、角互化,把條件化為邊的關(guān)系或化為角的關(guān)系。2.判斷三角形的形狀時(shí)常用的結(jié)論(1)在△ABC中，A〉B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.（2)在△ABC中，A＋B＋C＝π,A＋B＝π－C,則cos(A＋B)＝－cosC，sin（A＋B)＝sinC.(3）在△ABC中，a2＋b2<c2?eq\f(π,2)〈C〈π，a2＋b2＝c2?cosC＝0?C＝eq\f(π，2），a2＋b2>c2?cosC>0?0<C〈eq\f（π,2).例2已知△ABC中,內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c,eq\f(a3＋b3－c3,a＋b－c)＝c2,且acosB＝bcosA，試判斷△ABC的形狀。解由eq\f（a3＋b3－c3，a＋b－c）＝c2，得a3＋b3－c3＝c2(a＋b)－c3，∴a2＋b2－ab＝c2，∴cosC＝eq\f（1，2）>0，又∵C∈(0°，180°）,∴C＝60°。由acosB＝bcosA,得2RsinAcosB＝2RsinBcosA(R為△ABC外接圓的半徑）,∴sin(A－B）＝0，又∵A－B∈（－180°，180°)，∴A－B＝0°,∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC為等邊三角形.跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中,若(a2＋b2）sin（A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，請(qǐng)判斷三角形的形狀。解∵(a2＋b2)sin（A－B)＝（a2－b2）sin(A＋B），∴（a2＋b2)（sinAcosB－cosAsinB）＝(a2－b2)(sinAcosB＋cosAsinB），∴2b2sinAcosB－2a2cosAsinB＝0，∴eq\f(a2,b2)＝eq\f（sinAcosB，cosAsinB),又由正弦定理可得eq\f(a2,b2)＝eq\f（sin2A，sin2B)，∴eq\f（sinAcosB，cosAsinB)＝eq\f(sin2A,sin2B)，∴eq\f（cosB，cosA）＝eq\f（sinA，sinB）,∴sin2A＝sin2B。又∵A∈(0，π），B∈（0,π），∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f（π，2)，∴△ABC為等腰三角形或直角三角形。題型三正弦、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用正弦、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用應(yīng)注意的問題（1）認(rèn)真分析題意，弄清已知元素和未知元素,根據(jù)題意畫出示意圖；(2）明確題目中的一些名詞、術(shù)語(yǔ)的意義,如仰角、俯角、方向角、方位角等;(3)將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，利用學(xué)過的幾何知識(shí)，作出輔助線，將已知與未知元素歸結(jié)到同一個(gè)三角形中，然后解此三角形;（4)在選擇關(guān)系時(shí)，一是力求簡(jiǎn)便，二是要盡可能使用題目中的原有數(shù)據(jù)，盡量減少計(jì)算中誤差的積累；(5)按照題目中已有的精確度計(jì)算，并根據(jù)題目要求的精確度確定答案并注明單位。例3如圖，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，另兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)B，C分別在A的正東方20km和54km處。某時(shí)刻,監(jiān)測(cè)點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào)，8s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)A,20s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)C相繼收到這一信號(hào)，在當(dāng)時(shí)氣象條件下,聲波在水中的傳播速度是1.5km/s.（1）設(shè)A到P的距離為xkm，用x表示B,C到P的距離，并求x的值；（2）求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離（精確到0。01km)。解(1）由題意得PA－PB＝1.5×8＝12(km）,PC－PB＝1.5×20＝30（km).∴PB＝x－12，PC＝18＋x.在△PAB中，AB＝20km，cos∠PAB＝eq\f（PA2＋AB2－PB2，2PA·AB)＝eq\f(x2＋202－x－122，2x·20)＝eq\f(3x＋32，5x）.同理cos∠PAC＝eq\f(72－x,3x)?！遚os∠PAB＝cos∠PAC，∴eq\f(3x＋32，5x)＝eq\f（72－x,3x)，解得x＝eq\f(132,7）。（2)作PD⊥a于D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·eq\f（3x＋32，5x)＝eq\f(3×\f(132,7）＋32，5)≈17。71（km）.所以靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離為17.71km。跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，A，B兩個(gè)小島相距21nmile，B島在A島的正南方,現(xiàn)在甲船從A島出發(fā)，以9nmile/h的速度向B島行駛,而乙船同時(shí)以6nmile/h的速度離開B島向南偏東60°方向行駛,則行駛多少時(shí)間后，兩船相距最近？并求出兩船的最近距離。解設(shè)行駛t小時(shí)后，甲船行駛了9tnmile到達(dá)C處,乙船行駛了6tnmile到達(dá)D處。當(dāng)9t<21，即t<eq\f(7,3）時(shí)，C在線段AB上，此時(shí)BC＝21－9t，在△BCD中，BC＝21－9t,BD＝6t，∠CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理知：CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos120°。＝(21－9t）2＋（6t）2－2（21－9t）·6t·(－eq\f（1，2））＝63t2－252t＋441＝63（t－2）2＋189.∴當(dāng)t＝2時(shí)，CD取得最小值eq\r（189）＝3eq\r（21）.當(dāng)t＝eq\f（7，3）時(shí),C與B重合，此時(shí)CD＝6×eq\f（7，3)＝14>3eq\r（21）。當(dāng)t〉eq\f(7，3)時(shí)，BC＝9t－21，則CD2＝(9t－21）2＋(6t)2－2（9t－21)·6t·cos60°＝63t2－252t＋441＝63（t－2)2＋189〉189.綜上可知，t＝2時(shí),CD取最小值3eq\r(21)nmile，故行駛2h后，甲、乙兩船相距最近，最近距離為3eq\r(21)nmile.題型四與三角形有關(guān)的綜合問題該類問題以三角形為載體，在已知條件中設(shè)計(jì)了三角形的一些邊角關(guān)系，由于正弦定理和余弦定理都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的等式，通過定理的運(yùn)用能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化，在邊角互化時(shí)，經(jīng)常用到三角函數(shù)中兩角和與差的公式及倍角公式等。例4在△ABC中，角A，B,C的對(duì)邊分別為a，b，c,且滿足（2a－b)cosC＝ccosB，△ABC的面積S＝10eq\r(3)，c＝7。（1)求角C；（2)求a,b的值。解(1)∵(2a－b）cosC＝ccosB,∴（2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，2sinAcosC－sinBcosC＝cosBsinC,即2sinAcosC＝sin(B＋C)，∴2sinAcosC＝sinA?！逜∈(0，π），∴sinA≠0，∴cosC＝eq\f（1，2）〉0，又∵C∈(0，π），∴C＝eq\f(π,3).（2)由S＝eq\f(1,2)absinC＝10eq\r（3)，C＝eq\f(π，3)得ab＝40.①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即c2＝(a＋b)2－2ab(1＋coseq\f（π，3)），∴72＝（a＋b）2－2×40×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,2)））?！郺＋b＝13。②由①②得a＝8，b＝5或a＝5，b＝8。跟蹤訓(xùn)練4在△ABC中,設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB。（1）求角C的大小；（2)若c＝eq\r（3），求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.解（1）由題意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB,即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab,由余弦定理得cosC＝eq\f（a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f（－ab，2ab)＝－eq\f(1,2)，又∵0〈C<π，∴C＝eq\f(2π，3）.(2)由正弦定理得eq\f（a,sinA）＝eq\f（b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，則△ABC的周長(zhǎng)為L(zhǎng)＝a＋b＋c＝2（sinA＋sinB)＋eq\r(3）＝2[sinA＋sin（eq\f（π，3）－A）］＋eq\r(3)＝2sin(A＋eq\f(π,3）)＋eq\r(3).∵0<A〈eq\f(π，3），∴eq\f(π，3)<A＋eq\f(π,3）<eq\f(2π,3)，∴eq\f（\r（3），2)<sin（A＋eq\f（π,3)）≤1，∴2eq\r(3）〈2sin（A＋eq\f（π,3)）＋eq\r(3）≤2＋eq\r(3），∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是（2eq\r(3），2＋eq\r(3)]。三、思想方法總結(jié)1.函數(shù)與方程思想的應(yīng)用與函數(shù)思想相聯(lián)系的就是方程思想。所謂方程思想，就是在解決問題時(shí)，用事先設(shè)定的未知數(shù)溝通問題所涉及的各量間的制約關(guān)系，列出方程(組)，從而求出未知數(shù)及各量的值,使問題獲得解決，所設(shè)的未知數(shù)溝通了變量之間的聯(lián)系。方程可以看做未知量與已知量相互制約的條件，它架設(shè)了由已知探索未知的橋梁。本章在利用正弦、余弦定理求角或邊長(zhǎng)時(shí)，往往滲透著函數(shù)與方程思想.例5在△ABC中,已知A>B>C,且A＝2C,b＝4，a＋c＝8，求a，c的長(zhǎng)。解由正弦定理得eq\f（a,sinA)＝eq\f（c,sinC),∵A＝2C，∴eq\f（a,sin2C)＝eq\f(c，sinC)，∴a＝2ccosC。又∵a＋c＝8，∴cosC＝eq\f(8－c，2c)，①由余弦定理及a＋c＝8，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab）＝eq\f(a2＋42－c2，8a）＝eq\f（8－c2＋42－c2，88－c)＝eq\f(10－2c,8－c)。②由①②知eq\f（8－c，2c）＝eq\f(10－2c,8－c）,整理得5c2－36c＋64＝0.∴c＝eq\f(16，5）或c＝4(舍去）。∴a＝8－c＝eq\f(24，5）。故a＝eq\f(24，5)，c＝eq\f（16，5）。2.分類討論思想某些問題在一定條件下的解有多種情況，在解題過程中，應(yīng)分析條件及在每個(gè)條件下所產(chǎn)生的結(jié)果.分類討論思想在歷年高考中是必考的，在討論時(shí)應(yīng)做到不重不漏，并注意各種情況包含的交叉內(nèi)