典型混沌電路及其分析

典型混沌電路及其分析第一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五§1混沌電路綜述

一、電路中混沌現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)與研究的歷史

電路中的混沌現(xiàn)象早在20世紀(jì)20年代就被發(fā)現(xiàn)，前面曾經(jīng)提到的范德坡的工作就涉及到電路中的混沌現(xiàn)象。實(shí)際上，范德坡所處的時(shí)代正是建立電路理論基礎(chǔ)的時(shí)代，當(dāng)時(shí)的科學(xué)家急需建立振幅穩(wěn)定與頻率穩(wěn)定的振蕩電路，從而產(chǎn)生穩(wěn)定的電磁波。穩(wěn)定振蕩的數(shù)學(xué)模型是極限環(huán)，當(dāng)時(shí)的理論基礎(chǔ)還不能夠完全滿(mǎn)足工程技術(shù)的需要，必須由電子工程師一方面進(jìn)行工程技術(shù)設(shè)計(jì)，一方面完善數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論。極限環(huán)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論是微分方程理論，而且還是非線(xiàn)性的微分方程理論，而非線(xiàn)性的微分方程很容易產(chǎn)生混沌，范德坡、李納德等科學(xué)家就是在這樣的情況進(jìn)行研究的。第二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

由于當(dāng)時(shí)混沌問(wèn)題的研究歷史不成熟，就把電路中出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象認(rèn)為是一種尚未認(rèn)真研究的另一種現(xiàn)象，是一種需要消除的壞現(xiàn)象，起碼是要暫時(shí)回避的現(xiàn)象，這就是當(dāng)時(shí)科學(xué)家的態(tài)度。這個(gè)現(xiàn)象不僅在電子學(xué)領(lǐng)域中存在，而且在其它學(xué)科領(lǐng)域中也存在，例如數(shù)學(xué)學(xué)科中的龐加萊。從這里可以看出，電子學(xué)的發(fā)展歷史與其它學(xué)科的發(fā)展歷史是密切相關(guān)的，是互相推動(dòng)與互相制約的，這也正是20世紀(jì)上半葉電子科學(xué)技術(shù)的大背景，是電子學(xué)從物理學(xué)的電磁學(xué)中獨(dú)立出來(lái)并向信息科學(xué)發(fā)展的大背景。從這里還可以看出，電子學(xué)中的混沌現(xiàn)象研究與應(yīng)用研究必定會(huì)蓬勃發(fā)展起來(lái)，這是歷史的必然。

再回過(guò)頭來(lái)看頻率穩(wěn)定性問(wèn)題的研究。由于歷史時(shí)代要求頻率的穩(wěn)定，它與當(dāng)時(shí)的其它技術(shù)的共同發(fā)展，處于主流地位，使得線(xiàn)性電子技術(shù)以巨大的勢(shì)頭形成人類(lèi)社會(huì)的重要產(chǎn)業(yè)，并將人類(lèi)文明推向信息化歷史時(shí)代。相對(duì)說(shuō)來(lái)，非線(xiàn)性電子學(xué)在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)處于緩慢發(fā)展的時(shí)期?！笆瓴圾Q，一鳴驚人”，1983年蔡少棠提出的蔡氏混沌電路震驚了電子學(xué)界，許多電子工作者投入了精力予以研究。第三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五1990年，混沌同步電路的研究再次把非線(xiàn)性電路研究推向一個(gè)高潮，這是因?yàn)樗闹匾饬x特別是它極有可能用于保密通信與軍事目的受到重視。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路、分形編碼、混沌測(cè)量電路等為非線(xiàn)性電路大家庭增加了許多新成員。到現(xiàn)在，人們提出了許許多多的混沌電路，各種混沌電路文獻(xiàn)浩如煙海，幾乎每年約數(shù)千篇的論文問(wèn)世，技術(shù)上也不斷出現(xiàn)新突破。非線(xiàn)性電路目前處于穩(wěn)定、健康、迅速發(fā)展的時(shí)期。第四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、電路系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分類(lèi)

根據(jù)分類(lèi)目的的不同，電路系統(tǒng)分類(lèi)的形式也很不同?，F(xiàn)在按照電路動(dòng)態(tài)特性分類(lèi)，它和電路狀態(tài)方程的階數(shù)有一定的關(guān)系。電路系統(tǒng)的變量是電壓、電流、電荷、電磁鏈，控制變量是電路元件電阻、電容、電感等參數(shù)。從能量的角度看，電路系統(tǒng)中有的元件（包括分布參數(shù)）從電路系統(tǒng)中吸收能量，變成熱能或輻射能等，有的元件從電路工作電源吸收能量，儲(chǔ)存或消耗在電路系統(tǒng)中，電路系統(tǒng)與外界進(jìn)行著能量的交換。從信息的角度看，電路系統(tǒng)與外界一般進(jìn)行信息交換，輸入信息與輸出信息。從物質(zhì)的角度看，電路系統(tǒng)與外界一般不進(jìn)行物質(zhì)交換。物理學(xué)中，與外界進(jìn)行著物質(zhì)、能量交換的系統(tǒng)叫做開(kāi)放系統(tǒng);與外界不進(jìn)行物質(zhì)、能量交換的系統(tǒng)叫做封閉系統(tǒng);與外界僅進(jìn)行能量交換的系統(tǒng)叫做耗散系統(tǒng)，因此電路系統(tǒng)是耗散系統(tǒng)。第五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

一般地說(shuō)，電路系統(tǒng)更關(guān)心的是信息交換，因而對(duì)于能量交換的關(guān)心程度相對(duì)偏少，有時(shí)侯會(huì)忽略某些重要問(wèn)題，應(yīng)該引起注意?，F(xiàn)在討論電路系統(tǒng)能量交換中對(duì)于信息狀態(tài)的影響，并以電路系統(tǒng)儲(chǔ)能元件個(gè)數(shù)及有無(wú)信號(hào)輸入進(jìn)行討論。將不包含隨時(shí)間變化的激勵(lì)信號(hào)的電路叫做自治電路，將包含隨時(shí)間變化的激勵(lì)信號(hào)的電路叫做非自治電路。以下討論中我們把激勵(lì)信號(hào)分成“簡(jiǎn)單”的信號(hào)和“復(fù)雜”的信號(hào)，“簡(jiǎn)單”的信號(hào)如正弦波信號(hào)或者其它周期信號(hào)，“復(fù)雜”的信號(hào)如混沌信號(hào)。1、零階電路—無(wú)儲(chǔ)能元件電路，即純電阻電路

純電阻電路用代數(shù)方程描述，由于純電阻電路是時(shí)不變?cè)?，所滿(mǎn)足的方程與時(shí)間無(wú)關(guān)，不需要列寫(xiě)微分方程，僅列寫(xiě)代數(shù)方程就夠了，故純電阻電路是零階電路微分方程（非微分方程）。對(duì)于零階電路微分方程，分為線(xiàn)性零階電路微分方程與非線(xiàn)性零階電路微分方程，還分為自治零階電路微分方程與非自治零階電路微分方程，兩兩構(gòu)成四種零階電路微分方程。第六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五零階電路微分方程不存在電路運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，但是存在電路求解問(wèn)題，這些問(wèn)題研究成熟，方法有疊加原理、代文寧定理、諾頓定理、電壓源電流源等效變換方法等。自治零階電路不會(huì)產(chǎn)生新的動(dòng)態(tài)特性。2、一階微分電路—僅含有一個(gè)儲(chǔ)能元件的電路電路僅有零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，是研究現(xiàn)代電子電路的起步電路，一般電路分析教科書(shū)中都有詳細(xì)的討論。3、二階微分電路—含有二個(gè)儲(chǔ)能元件的電路對(duì)于自治線(xiàn)性二階微分電路，動(dòng)態(tài)特性為衰減振蕩或增幅振蕩，不穩(wěn)定。對(duì)于自治非線(xiàn)性二階微分電路，電路可以產(chǎn)生極限環(huán)，屬于穩(wěn)定振蕩電路。對(duì)于非自治非線(xiàn)性二階微分電路，能夠產(chǎn)生混沌，如杜芬方程電路，圓周映射也屬于這種情況，并且導(dǎo)致符號(hào)動(dòng)力學(xué)的研究。對(duì)于自治非線(xiàn)性二階微分電路，不能夠產(chǎn)生混沌。第七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五4、三階微分電路—含有三個(gè)儲(chǔ)能元件的電路

三階非線(xiàn)性微分電路已經(jīng)復(fù)雜化，能夠產(chǎn)生混沌。例如蔡氏電路、洛倫茨方程電路等，這還是自治電路的情況。對(duì)于非自治電路，還能產(chǎn)生超混沌與亞超混沌。5、三階以上微分電路運(yùn)動(dòng)特性更復(fù)雜,可能出現(xiàn)多級(jí)超混沌現(xiàn)象。將以上各種情況整理于下表。第八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五表4-1電路方程的階、自治與非自治、線(xiàn)性與非線(xiàn)性的形態(tài)零階自治電路一階自治電路零階非自治電路二階自治電路一階非自治電路三階自治電路二階非自治電路三階及三階以上自治與非自治電路線(xiàn)性非線(xiàn)性線(xiàn)性非線(xiàn)性線(xiàn)性非線(xiàn)性線(xiàn)性非線(xiàn)性線(xiàn)性非線(xiàn)性平衡點(diǎn)√√√√√√√√√√周期極限環(huán)√√√√√√√擬周期極限環(huán)√√√混沌√√亞超混沌√超混沌√噪聲√√√√√√√√√√由上表可以看出1、若電路的階數(shù)相同，則n階非自治電路與n+1階自治電路形態(tài)相同。2、盡管非線(xiàn)性的n階非自治電路及n+1階自治電路與線(xiàn)性的n+1階非自治電路及n+2階自治電路有許多相似之處，但是線(xiàn)性電路永遠(yuǎn)不能產(chǎn)生混沌。第九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、混沌電路的定義

目前混沌電路的定義有多種形式，這里采用系統(tǒng)的初始激發(fā)已經(jīng)衰減到零時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻率特性來(lái)定義。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻率特性粗分有下列4種：1、噪聲響應(yīng)：系統(tǒng)輸出為噪聲，連續(xù)頻譜輸出。

2、靜態(tài)響應(yīng)：在狀態(tài)相空間，所有軌道趨于一個(gè)平衡點(diǎn)。

3、同頻周期響應(yīng)、非同頻周期響應(yīng)與準(zhǔn)周期響應(yīng)：系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)相同頻率的周期波形，即ωo=ωi;系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)正整數(shù)倍頻率的周期波形，ωo=nωi，n為正整數(shù);系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)真分?jǐn)?shù)倍頻率的周期波形，即ωo=pωi,p為真分?jǐn)?shù);系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)基頻不可約分的周期分量波形。

4、混沌電路：與以上電路都不同的輸出，定義如下：一個(gè)由確定性運(yùn)動(dòng)方程所描述的確定性電路，由直流或確定性輸入信號(hào)所激勵(lì)，其輸出波形中包含一段或多段連續(xù)頻譜，那么稱(chēng)此電路為混沌電路。第十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五四、幾種混沌電路之間的關(guān)系1、混沌電路動(dòng)態(tài)特性的共同點(diǎn)任何混沌電路的相圖都落在某一個(gè)奇異吸引子之中，前面幾節(jié)討論的幾個(gè)吸引子是在三維相空間中運(yùn)動(dòng)。相圖具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）一個(gè)相圖中的相軌線(xiàn)只有一根，無(wú)頭無(wú)尾，（平衡點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)，應(yīng)該認(rèn)為是無(wú)窮時(shí)間，并且實(shí)際上絕對(duì)的不動(dòng)點(diǎn)是不存在的。表示運(yùn)動(dòng)無(wú)休止，永不重復(fù)，永不相交。（2）龐加萊截面圖是分形圖，有精細(xì)結(jié)構(gòu)，無(wú)限復(fù)雜，具有自相似性。（3）奇異吸引子有不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)、吸引盆、吸引域、分形面。其中我們感興趣的是，經(jīng)常是一個(gè)不穩(wěn)定焦點(diǎn)，如洛斯勒吸引子;兩個(gè)不穩(wěn)定焦點(diǎn)，如蔡氏電路、杜芬方程電路、洛倫茨方程電路的吸引子等;少數(shù)是多個(gè)不穩(wěn)定焦點(diǎn)。第十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、幾個(gè)混沌電路的分組、比較與相互關(guān)系（1）從線(xiàn)性L(fǎng)RC串聯(lián)電路與LRC諧振電路演變而來(lái)的非線(xiàn)性電路。

線(xiàn)性L(fǎng)RC串聯(lián)電路與線(xiàn)性L(fǎng)RC諧振電路滿(mǎn)足的微分方程分別是

范德坡方程是

杜芬方程是對(duì)照線(xiàn)性L(fǎng)RC串聯(lián)電路與范德坡方程，范德坡方程是將線(xiàn)性L(fǎng)RC串聯(lián)電路一階導(dǎo)數(shù)的正系數(shù)2μ改為μ（x2-1）,使得當(dāng)x>1時(shí)為衰減振蕩，當(dāng)x<1時(shí)為增幅振蕩，從而產(chǎn)生極限環(huán)。范德坡方程的非線(xiàn)性項(xiàng)是從一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)中引入的。第十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)照線(xiàn)性L(fǎng)RC諧振電路與杜芬方程，實(shí)質(zhì)是僅僅多了一項(xiàng)ax3，導(dǎo)致線(xiàn)性的單峰諧振幅頻曲線(xiàn)成為多峰諧振幅頻曲線(xiàn)，出現(xiàn)了混沌。（2）圓周映射是雙頻非線(xiàn)性耦合，從電路構(gòu)成來(lái)看，它與杜芬方程電路是完全相同的，實(shí)驗(yàn)電路都是LC振蕩器。（3）蔡氏電路洛淪茲方程電路第十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五洛斯勒方程電路

這三個(gè)方程電路是一組電路，是三階微分方程電路。蔡氏電路的非線(xiàn)性項(xiàng)是五段折線(xiàn)，能用x的1、3、5、7、9等次多項(xiàng)式擬合。洛淪茲方程的非線(xiàn)性項(xiàng)是xz與xy，洛斯勒方程的非線(xiàn)性項(xiàng)是xz。根據(jù)這樣一來(lái)的規(guī)律，我們也可以自己構(gòu)造出形形色色的非線(xiàn)性電路，實(shí)現(xiàn)混沌電路的靈活設(shè)計(jì)。（4）邏輯斯蒂映射

對(duì)應(yīng)的電路是最普遍的混沌電路，幾乎所有的混沌電路中都有邏輯斯蒂映射關(guān)系，例如蔡氏電路就是這樣的典型電路。第十四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五§2

典型蔡氏混沌電路分析一、典型蔡氏電路結(jié)構(gòu)與狀態(tài)方程

1983年，美國(guó)貝克萊(Berkeley)大學(xué)的蔡少棠(Leon.O.Chua)教授發(fā)明了蔡氏電路(Chua’sCircuit)，蔡氏電路因其簡(jiǎn)潔性和代表性而成為研究非線(xiàn)性電路中混沌的典范。蔡氏電路是由線(xiàn)性電阻﹑電容、電感和非線(xiàn)性“蔡氏二極管”組成的三階自治電路，它滿(mǎn)足以下一種能夠產(chǎn)生混沌的條件：（a)非線(xiàn)性元件不少于一個(gè)；（b)線(xiàn)性有效電阻不少于一個(gè)；（c)儲(chǔ)能元件不少于三個(gè)，蔡氏電路符合以上標(biāo)準(zhǔn)，如圖4-1。一個(gè)具體的典型蔡氏電路如圖4-2所示。圖4-1蔡氏電路方框圖第十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五圖4-2典型的蔡氏電路另一種典型的蔡氏電路如圖4-3所示，也是經(jīng)常被討論的一個(gè)電路。圖4-3另一種典型的蔡氏電路第十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五蔡氏電路狀態(tài)方程為：其中，或VC1、VC2和iL

分別是元件C1、C2的兩端電壓及通過(guò)電感的電流，G是可調(diào)阻抗器的電導(dǎo)，G=1/RN是等效非線(xiàn)性電阻的電導(dǎo)。上述三個(gè)方程是一個(gè)等式右端不顯含時(shí)間的常微分方程組，系統(tǒng)狀態(tài)由VC1、VC2、iL三個(gè)狀態(tài)變量描述，構(gòu)成三維相空間。由于G(VC1）是非線(xiàn)性電阻函數(shù)，可以用多項(xiàng)式函數(shù)展開(kāi)，含有高次項(xiàng)，所以在方程組中的第一個(gè)方程是非線(xiàn)性方程。第十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、蔡氏電路電壓、電流圖形分析1、波形圖分析典型蔡氏電路圖4-2、圖4-3的電壓、電流波形呈現(xiàn)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，處于無(wú)休止的運(yùn)動(dòng)，也不是周期性的運(yùn)動(dòng)，其中V1與IL在兩個(gè)正、負(fù)數(shù)值之間跳來(lái)跳去，波形相同而極性相反；V2在零附近無(wú)規(guī)則地變化，如圖4-4所示。(a)V1波形(b)V2波形(c)IL波形圖4-4典型蔡氏電路V1、V2與IL信號(hào)輸出波形2、相圖分析第十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五蔡氏電路的相圖是V1-V2-IL三維空間的相軌跡流線(xiàn)圖，在V1-V2、V1-IL、V2-IL三個(gè)相平面的透影如圖4-5(a)、(b)、(c)所示，將3個(gè)相圖畫(huà)在一起并用立體圖的形式表示則見(jiàn)圖4-5(d)。由相圖清楚可見(jiàn)，相圖軌線(xiàn)在三維相空間中圍繞兩個(gè)點(diǎn)旋繞并在這兩個(gè)點(diǎn)之間跳來(lái)跳去，永不閉合，運(yùn)動(dòng)是無(wú)周期的。蔡氏電路的這一個(gè)運(yùn)動(dòng)形態(tài)被蔡氏叫做“雙渦旋”，因?yàn)樗南鄨D很象兩個(gè)靠近的旋渦。圖4-5(e)是三維相圖的形象化畫(huà)法。(a)Vc1~Vc2平面相圖(b)Vc1~IL平面相圖(c)Vc2~iL平面相圖第十九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

(d)三維相圖產(chǎn)生的三個(gè)平面相圖(e)三維相圖刻畫(huà)圖4-5典型蔡氏電路雙渦旋輸出相圖三、蔡氏電路元件參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)的影響第二十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

蔡氏電路的運(yùn)動(dòng)形態(tài)因元件參數(shù)值的不同而有不同的拓?fù)湫再|(zhì)，上述典型蔡氏電路的運(yùn)動(dòng)形態(tài)僅僅是一個(gè)特例，可以把電路元件參數(shù)值看作控制參數(shù)而使蔡氏電路工作在不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)狀態(tài)?，F(xiàn)在以其中的線(xiàn)性電阻R為例說(shuō)明。R兩端分別是線(xiàn)性元件與蔡氏二極管，R將這二者連接。在線(xiàn)性元件C2、L端，是非耗能元件（儲(chǔ)能元件），蔡氏二極管是放能元件，只有R是耗能元件。將R的參數(shù)為控制變量進(jìn)行討論，為了使得討論過(guò)程方便，將電阻R從大到小的順序進(jìn)行討論，使用圖4-2的電路參數(shù)，重點(diǎn)討論R在1.298kΩ-1.92kΩ這一范圍的狀態(tài)。先考慮R很大的情況，即R>1.92kΩ，例如R為100kΩ，電路狀態(tài)變化中V1與V2相圖為穩(wěn)定焦點(diǎn)，呈蝌蚪形，為衰減振蕩，這就是不動(dòng)點(diǎn)。R逐漸減小至1.911K時(shí)，等幅振蕩。R逐漸減小至1.910K時(shí)，增幅振蕩開(kāi)始，L、C2振幅增至3.7V,C1蔡氏二極管振幅增至3.7V,周期1。第二十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

R=1.918~1.820K，周期2；R=1.819~1.818K，周期4；R=1.787K，周期8；R=1.786K，周期16；R繼續(xù)減少至1.750K為單渦旋圖形，這是電路第一次進(jìn)入單渦旋混沌，為洛斯勒形混沌吸引子。R繼續(xù)減少會(huì)出現(xiàn)周期3、周期6、周期12等，并第二次進(jìn)入單渦旋混沌。這樣繼續(xù)周期-混沌-周期-混沌地演變，直至洛斯勒形混沌結(jié)束。

減少至R=1.7165K時(shí)演變成雙渦旋圖形?；痉秶荝為1.716K~1.300K。仔細(xì)調(diào)試R值（在1/10000精度內(nèi)）并仔細(xì)觀察還會(huì)發(fā)現(xiàn)，雙渦旋混沌相圖的演變中也有各種“周期”出現(xiàn)，例如R=1.349K時(shí)出現(xiàn)“周期5”，R=1.324K時(shí)出現(xiàn)“周期3”等。R=1.320K~1.300K,無(wú)波形，有一個(gè)短暫的不動(dòng)點(diǎn)。R=1.200K~1.000K時(shí)，10.0mS之前不動(dòng)，之后緩慢增幅振蕩從而達(dá)到最大振幅，呈單葉周期。第二十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五各種演變的波形圖、相圖等如圖4-6至圖4-7所示。(a)穩(wěn)定焦點(diǎn),V1波形

(b)周期1,V1波形

(c)周期3,V1波形（d)單渦旋,V1波形(e)雙渦旋,V1波形(f)穩(wěn)定焦點(diǎn),V2波形(g)周期1,V2波形(h)周期3,V2波形(i)單渦旋,V2波形(j)雙渦旋,V2波形圖4-6蔡氏電路V1與V2信號(hào)輸出波形第二十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(a)穩(wěn)定焦點(diǎn)(b)周期1(c)周期2(d)周期4(e)周期8(f)單渦旋混沌(g)周期3(h)周期6(i)雙渦旋混沌(j)雙渦旋中的“周期3”(k)雙渦旋中的“周期5”圖4-7蔡氏電路相圖中看到的混沌演變（V1-V2相圖）第二十四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五改變蔡氏電路的其它元件參數(shù)如L、C1、C2等參數(shù)范圍，也能夠得到以上結(jié)論。四、蔡氏電路頻譜分析

因?yàn)椴淌想娐份敵霾ㄐ尾皇侵芷诓ㄐ?，也不是噪聲，而是一個(gè)混沌吸引子。這一特點(diǎn)決定它的頻譜不是離散譜，也不是光滑連續(xù)譜，而是不光滑連續(xù)譜。L、C1點(diǎn)的頻譜在不同電路狀態(tài)下的頻譜圖如圖4-8所示。周期1(R=1.83K)

周期2(R=1.80K)第二十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五單渦旋混沌(R=1.75K)雙渦旋混沌(R=1.50K)“周期5”(R=1.3525K)圖4-8頻譜圖第二十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

由上敘述可見(jiàn)，R的變化引起蔡氏電路運(yùn)動(dòng)形態(tài)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。為了便于看出蔡氏電路中混沌工作區(qū)域范圍在參數(shù)中的位置，給讀者一個(gè)印象，特將R參數(shù)值作為橫坐標(biāo)予以表示，如圖4-9所示。圖4-9蔡氏電路中混沌工作區(qū)域范圍示意圖

由圖可見(jiàn)，混沌工作區(qū)域范圍在參數(shù)中所占的比例很小，在經(jīng)典電子學(xué)中，這個(gè)范圍在電子學(xué)工作者的經(jīng)驗(yàn)中可以完全被忽略，這在其它學(xué)科中也是類(lèi)似的，正是這個(gè)原因使得混沌現(xiàn)象在歷史上多次被觀察到而多次被忽視。第二十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五五、蔡氏電路仿真方法

對(duì)于蔡氏電路仿真方法，盡管有許多種專(zhuān)用軟件可以選擇，但是任何一種專(zhuān)用軟件都遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿(mǎn)足我們的要求。現(xiàn)將常用軟件在蔡氏電路仿真方面的應(yīng)用情況列表如下:表4-2蔡氏電路仿真軟件特點(diǎn)對(duì)比一覽表軟件名稱(chēng)功能原理圖電路原理圖波形圖相圖頻譜圖龐加萊截面管理界面李氏指數(shù)Protel最好最好好無(wú)好無(wú)無(wú)無(wú)Pspice好好好好很好無(wú)無(wú)無(wú)EWB好好好很好很好無(wú)無(wú)無(wú)VewSystem好好好很好很好無(wú)無(wú)無(wú)Matlab很好無(wú)很好很好編程編程編程很好VB無(wú)無(wú)編程技巧編程技巧編程編程技巧編程技巧很好VC無(wú)無(wú)編程技巧編程技巧編程編程技巧編程技巧很好第二十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五六、實(shí)際電路元件組成的蔡氏電路實(shí)驗(yàn)裝置

注意蔡氏電路中的電感器L，它沒(méi)有串聯(lián)的一個(gè)等效小電阻，而實(shí)際電感器L總是等效串聯(lián)一個(gè)小電阻的，若考慮這個(gè)小電阻，這種蔡氏電路就叫做蔡氏振蕩器。由于蔡氏振蕩器分析結(jié)果很麻煩，沒(méi)有多大的理論價(jià)值，一般不予討論。但是電感器L等效串聯(lián)小電阻，這就引出幾個(gè)問(wèn)題，第一，若用實(shí)際電感器L組成蔡氏電路，必須考慮L小電阻的影響，仿真時(shí)要在L上串聯(lián)一個(gè)小電阻。第二，若要使用無(wú)誤差的理想化的L，必須專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)L，可用運(yùn)算放大器電路實(shí)現(xiàn)，這就是有源電感的應(yīng)用，具體電路如圖4-10所示，將有源電感單獨(dú)畫(huà)于圖4-11，并對(duì)有源電感值計(jì)算如下。第二十九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五圖4-10有源電感代替無(wú)源電感的蔡氏電路圖4-11有源電感具體電路第三十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

當(dāng)Z1、Z3、Z5全為電阻，Z2與Z4中的一個(gè)為電容時(shí)，電路呈現(xiàn)電感，將R4換成C4，則有

有源電感值計(jì)算容易，測(cè)量也容易，用雙蹤示波器的兩個(gè)探頭分別接V1與V5，可以分別看到有源電感的電壓與電流，當(dāng)置于李薩如位置時(shí)能夠看有源電感的相圖。第三十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

典型蔡氏電路也可以改變它的局部結(jié)構(gòu)而仍然產(chǎn)生混沌輸出，上面的蔡氏振蕩器就是一例。典型蔡氏電路為基礎(chǔ)派生出來(lái)的電路很多，例如在C1兩端并聯(lián)一個(gè)小電容就能改變蔡氏電路的動(dòng)態(tài)特性。它在保密蔡氏電路中得到應(yīng)用。如果在線(xiàn)性電阻與C2、L端并聯(lián)一節(jié)RC電路，也能產(chǎn)生混沌輸出，并且此混沌更復(fù)雜，因?yàn)槎嗔艘粋€(gè)儲(chǔ)能元件，也就使得微分方程多了一階，這樣的混沌是超混沌。

蔡氏電路的物理電路實(shí)驗(yàn)具有一定的難度，這是由于混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)于電路元件參數(shù)的誤差特別敏感，一般說(shuō)來(lái)，蔡氏電路中只要一個(gè)電路元件的誤差超過(guò)1%就有可能導(dǎo)致整體設(shè)計(jì)的失敗，這在后面講到的混沌同步實(shí)驗(yàn)中特別重要，要引起足夠的重視。而在線(xiàn)性電子線(xiàn)路中不存在這樣的問(wèn)題。第三十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

典型蔡氏電路實(shí)驗(yàn)除仔細(xì)選擇電子元件外，對(duì)于線(xiàn)性電阻R的4-5位精度一定要保證，在初步實(shí)驗(yàn)中可以用2個(gè)多圈精密電位器串聯(lián)進(jìn)行細(xì)心調(diào)試，定型實(shí)驗(yàn)裝置中使用高穩(wěn)定度的電阻器元件R，需要時(shí)自行繞制電阻器R。電感器L的小電阻要在焊接之前測(cè)量出來(lái)并做好記錄以備后查，仿真時(shí)要對(duì)它進(jìn)行仿真，電子市場(chǎng)買(mǎi)到的普通電感器一般不能產(chǎn)生混沌輸出，若必須使用電子市場(chǎng)買(mǎi)的普通電感器，可以使用幾只串聯(lián)，最好自己專(zhuān)門(mén)繞制電感器，并且需要精確測(cè)量它的參數(shù)。電子市場(chǎng)買(mǎi)到的普通電容器一般離散性很大，也需要精心選擇。第三十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

制作多個(gè)相同的混沌電路時(shí)，必須保證電路元件的對(duì)稱(chēng)性，可以在購(gòu)買(mǎi)電子元件時(shí)多購(gòu)買(mǎi)3-10倍的元件，從中選取參數(shù)集中的元件組成設(shè)計(jì)電路。設(shè)計(jì)混沌電路參數(shù)時(shí)，盡量使較多的元件具有相同的參數(shù)，以利于元件采購(gòu)，這是混沌電子線(xiàn)路實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)。非線(xiàn)性電路的設(shè)計(jì)極易失敗，線(xiàn)性電子線(xiàn)路實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)有很大的局限性。第三十四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五§3范德坡方程及其電路

一、范德坡微分方程與二階LC振蕩電路

振蕩是自然界普遍存在的一種運(yùn)動(dòng)形式，力學(xué)、聲學(xué)、熱力學(xué)、電工學(xué)、光學(xué)、微觀粒子中普遍存在著各種各樣的振動(dòng)，其深入研究具有理論意義與應(yīng)用價(jià)值。本節(jié)研究非線(xiàn)性電路的極限環(huán)，它對(duì)應(yīng)電子學(xué)中的各種自激振蕩電路，并以二階電路為例進(jìn)行研究。從電子學(xué)一個(gè)世紀(jì)的歷史來(lái)看，范德坡方程電路是最早遇到的能夠產(chǎn)生混沌的電路，范德坡是第一個(gè)遇到混沌的科學(xué)家。當(dāng)時(shí)范德坡研究的是三相復(fù)振蕩器，并且進(jìn)行振蕩電路實(shí)驗(yàn)研究，當(dāng)改換振蕩頻率過(guò)程時(shí)，在耳機(jī)中聽(tīng)到不規(guī)則的振蕩聲音，這正是混沌聲音，范德坡把電路中的混沌現(xiàn)象理解為是噪聲，是暫時(shí)沒(méi)有消除的電路設(shè)計(jì)缺陷。第三十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

描述振蕩電路的微分方程是范德坡方程，它是非線(xiàn)性微分方程，在21世紀(jì)20年代研究電子管RLC電路時(shí)得到。與線(xiàn)性微分方程相比，非線(xiàn)性微分方程的解有兩個(gè)新結(jié)果，一是能夠產(chǎn)生穩(wěn)定性極限環(huán)，一是能夠產(chǎn)生不確定性混沌。本節(jié)重點(diǎn)討論穩(wěn)定極限環(huán)，也提及如何由穩(wěn)定極限環(huán)轉(zhuǎn)換成混沌。RLC的電壓電流關(guān)系容易導(dǎo)出所需微分方程，只要考慮到電子管電路的非線(xiàn)性，就能得到范德坡非線(xiàn)性微分電路方程?，F(xiàn)在的教科書(shū)中的多數(shù)振蕩器電路都是這樣的非線(xiàn)性電路，本質(zhì)就是放大器的限幅非線(xiàn)性。

電子電路中的振蕩電路是耗散結(jié)構(gòu)，它從直流電壓源中獲得電的能量，以?xún)?chǔ)能元件電容與電感進(jìn)行電場(chǎng)能與磁場(chǎng)能兩種形式的電能量之間的交換，又通過(guò)其中的電阻將電能轉(zhuǎn)換成非電能的熱能。下面推導(dǎo)從晶體管LC振蕩器得到的范德坡方程。圖4-12(a)是一個(gè)簡(jiǎn)單LC振蕩器電路，等效交流電路如圖(b)，圖(b)中的電壓源是變壓器耦合電壓，來(lái)自電感的耦合電壓。第三十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

將L的串聯(lián)等效電阻r變換成并聯(lián)形式，用符號(hào)R表示，是線(xiàn)性電阻，如圖(c)。將三極管等效為電阻RNL如圖(d)。這個(gè)電阻是電壓控制電流型的廣義電阻，是一個(gè)非線(xiàn)性負(fù)電阻，推導(dǎo)如下：三極管的集電極電壓-基極電壓關(guān)系曲線(xiàn)是反向變壓器決定的曲線(xiàn)，如圖(e)所示。三極管的基極電壓-基極電流關(guān)系曲線(xiàn)，如圖(f)所示，其中ube1是發(fā)射結(jié)導(dǎo)通電壓，對(duì)于硅材料約0.65伏。三極管的基極電壓-集電極電流在放大區(qū)是線(xiàn)性關(guān)系，飽和后集電極電流不再改變，由直流電壓源的電壓與集電極直流電阻決定，如圖(g)所示。結(jié)合圖(f)與圖(g)，得到圖(h)基極電壓-集電極電流關(guān)系曲線(xiàn)，整個(gè)曲線(xiàn)呈現(xiàn)“S”型，如圖(h)所示。綜合圖(e)與圖(h)得到集電極電壓-集電極電流關(guān)系曲線(xiàn)，如圖(i)所示。這就是最終的廣義電阻特性曲線(xiàn)，請(qǐng)與右上角的線(xiàn)性電路比較。為了下面的公式簡(jiǎn)化，做坐標(biāo)平移，將圖(i)坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)到Q點(diǎn)，如圖(j)所示。第三十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五圖4-12范德坡電路廣義電阻推導(dǎo)用圖第三十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

圖4-12(i)中的特性曲線(xiàn)描繪的是本電路中RC諧振時(shí)，或者說(shuō)是集電極負(fù)載是純電阻時(shí)的晶體管集電極電壓-集電極電流關(guān)系曲線(xiàn)，用三次項(xiàng)表示，這一特性曲線(xiàn)可以用如下公式表達(dá)：移動(dòng)坐標(biāo)原點(diǎn)去掉直流項(xiàng)，如圖(j)所示，上式去掉下標(biāo)，表達(dá)式成為且有g(shù)1>0，g3>0由圖4-12（j）建立電路狀態(tài)方程比較方便4-14-24-3將3-22代入，將4-2代入，第三十九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五擬將4-4式改寫(xiě)成無(wú)量綱的數(shù)學(xué)方程，作如下變換4-4得到下面的范德坡方程4-5第四十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五4-6消取x2，容易將上式改寫(xiě)成4-7范德坡發(fā)現(xiàn)，當(dāng)μ值變大時(shí)，振蕩波形變成方波，范德坡稱(chēng)之為張弛振蕩，它對(duì)于某些強(qiáng)迫頻率特別敏感，可以不需共振而鎖定在強(qiáng)迫頻率上，從而能夠產(chǎn)生混沌。范德坡方程具有很有趣的結(jié)果，特別是受迫范德坡方程使得人們?nèi)プ龈钜徊降难芯俊７兜缕路匠逃幸粋€(gè)變形形式第四十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

與人的心臟跳動(dòng)的波形接近，可以作為心臟搏動(dòng)的模型，心電圖由P、Q、R、S和T五個(gè)波段組成，心跳是一種張弛振蕩，心律不齊是包括健康人在內(nèi)的常見(jiàn)狀態(tài)，嚴(yán)重心律不齊則是心臟疾病，用數(shù)學(xué)方法或者電路方法模擬心律不齊并分析其規(guī)律性涉及生命科學(xué)技術(shù)問(wèn)題，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。歷史上的范德坡就對(duì)于此問(wèn)題特感興趣，他發(fā)表了重要文章《心臟搏動(dòng)是張弛振蕩及一個(gè)心臟的電模型》，含有清晰的用混沌學(xué)觀點(diǎn)研究生命科學(xué)的思想方法。第四十二頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、范德坡方程定性討論

對(duì)于范德坡方程，它的積分曲線(xiàn)可以使用三種標(biāo)準(zhǔn)方法求得，一是嚴(yán)格意義下的純數(shù)學(xué)分析方法，找出其運(yùn)動(dòng)形態(tài);二是數(shù)值計(jì)算方法做出其積分曲線(xiàn);三是憑經(jīng)驗(yàn)使用對(duì)比的方法求出它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，下面先使用對(duì)比的方法求出它的運(yùn)動(dòng)形態(tài)。對(duì)比方程是線(xiàn)性RLC串聯(lián)諧振電路方程第四十三頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五對(duì)應(yīng)于普通電路中，R總是正值，構(gòu)成阻尼因子，使電流輸出有三種形式：阻尼振蕩、欠阻尼振蕩與過(guò)阻尼振蕩，三種情況都是衰減振蕩，都是一次微分項(xiàng)系數(shù)（1/RC）>0。對(duì)照范德坡方程，當(dāng)μ>0，若|x|>1，表示振蕩振幅比較大，則，與式3-28描述的電路形態(tài)相同，電路系統(tǒng)呈現(xiàn)正電阻特性，LC電路系統(tǒng)消耗能量為衰減振蕩;反之，若|x|<1，則，電路系統(tǒng)呈現(xiàn)負(fù)電阻特性，LC電路系統(tǒng)增加能量為增幅振蕩。因此可以猜測(cè)到，電路輸出等幅振蕩，這是通常LC振蕩電路系統(tǒng)研究方法所講述的內(nèi)容。等幅振蕩的相圖圖形是一個(gè)封閉的環(huán)形，數(shù)學(xué)上稱(chēng)為極限環(huán)，動(dòng)力學(xué)中稱(chēng)為吸引子，是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，無(wú)混沌。當(dāng)μ<0，若|x|>1，呈現(xiàn)負(fù)電阻特性，電路系統(tǒng)發(fā)散;若|x|<1，呈現(xiàn)正電阻特性，電路系統(tǒng)趨于不動(dòng)點(diǎn)，這也是一種極限環(huán)，不過(guò)這是一種與吸引子極限環(huán)相對(duì)的極限環(huán)，稱(chēng)為排斥子，是不穩(wěn)定的極限環(huán)，整體刻畫(huà)如圖4-13。第四十四頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五圖4-13范德坡方程極限環(huán)整體刻畫(huà)第四十五頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五

由上面分析可知，傳統(tǒng)LC振蕩電路中輸出的波形嚴(yán)格說(shuō)來(lái)不是正弦波，頻率也不很穩(wěn)定，為了使LC振蕩輸出正弦波不失真與幅度穩(wěn)定，需要對(duì)圖4-12（a）的放大電路加入交流負(fù)反饋或者采取其它穩(wěn)幅措施，為了穩(wěn)定正弦波頻率，需要增加諧振回路Q(chēng)值或者使用晶體振蕩器.從范德坡方程來(lái)看，就是使其相圖更接近圓形。第四十六頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、范德坡方程數(shù)值分析

下面用VB編寫(xiě)簡(jiǎn)單的程序進(jìn)行仿真，使用四階龍格-庫(kù)塔法。編寫(xiě)程序的思想是，在預(yù)測(cè)的極限環(huán)內(nèi)外分別選擇一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)作為初始條件，現(xiàn)選(0.5,0.5)、(0.5,3)，分別從這兩個(gè)初始點(diǎn)上迭代，為了提高運(yùn)算精度，算法使用四階龍格-庫(kù)塔算法。為了顯示結(jié)果的數(shù)量化表示，程序用了較多的篇幅編寫(xiě)坐標(biāo)顯示圖形。

程序運(yùn)行結(jié)果如圖4-14所示，圖中μ值分別是-0.02、-0.01、0、0.1、0.5、1、2、3的仿真結(jié)果，圖中從（d）開(kāi)始，μ值>0，顯示出清晰的極限環(huán)。第四十七頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(a)μ=-0.02(b)μ=-0.01(c)μ=0(d)μ=0.1(e)μ=0.5(f)μ=1第四十八頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五(g)μ=2(h)μ=3圖4-14范德坡方程極限環(huán)第四十九頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五圖4-15MATLAB的范德坡波形與極限環(huán)運(yùn)行結(jié)果第五十頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4普通混沌電路

一、研究普通混沌電路的背景與意義

前面討論過(guò)的各種各樣的混沌電路以及所依據(jù)的非線(xiàn)性方程，由于歷史的原因或者其它原因，從電子電路設(shè)計(jì)的角度來(lái)看，總是帶有“特殊性”的“手工工藝品”，使得這些非線(xiàn)性電路設(shè)計(jì)不很流暢?，F(xiàn)代電子電路發(fā)展很快，可以提供的電路設(shè)計(jì)手段很多，另一方面，非線(xiàn)性方程也很多。因而，用電子電路設(shè)計(jì)非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)是很容易的，稍微使用一些電路技巧就可以設(shè)計(jì)出很多很靈活的非線(xiàn)性電路系統(tǒng)。

電子電路的內(nèi)容既豐富又靈活，像一座大舞臺(tái)，電子學(xué)工作者們?cè)谶@里創(chuàng)造了一個(gè)又一個(gè)電子電路的奇跡。如果說(shuō)前面幾節(jié)講述的著名非線(xiàn)性電路是著名科學(xué)家在特定領(lǐng)域內(nèi)創(chuàng)造的奇跡，那么，本節(jié)敘述的就是廣大的電子工作者各顯神通壯闊場(chǎng)面。第五十一頁(yè)，共六十頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、非線(xiàn)性電路組成單元

一個(gè)非線(xiàn)性電路是由幾個(gè)基本單元電路組成的，這些基本單元電路多數(shù)是線(xiàn)性基本單元電路，而非線(xiàn)性基本單元電路很少，一般是一個(gè)。線(xiàn)性基本單元電路有的僅是一個(gè)單一線(xiàn)性電路元件，如電阻器、點(diǎn)容器、電