第九章常微分方程數(shù)值解

第十章常微分方程數(shù)值解法（NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations）問題驅(qū)動：蝴蝶效應(yīng)洛倫茲吸引子(Lorenzattractor)是由MIT大學(xué)的氣象學(xué)家EdwardLorenz在1963年給出的，他給出第一個混沌現(xiàn)象——蝴蝶效應(yīng)。圖10.1.1蝴蝶效應(yīng)示意圖洛倫茲方程是大氣流體動力學(xué)模型的一個簡化的常微分方程組：該方程組來源于模擬大氣對流，該模型除了在天氣預(yù)報(bào)中有顯著的應(yīng)用之外，還可以用于研究空氣污染和全球侯變化。洛倫茲借助于這個模型，將大氣流體運(yùn)動的強(qiáng)度x與水平和垂直方向的溫度變化y和z聯(lián)系了起來。參數(shù)稱為普蘭特?cái)?shù)，是規(guī)范化的瑞利數(shù)，和幾何形狀相關(guān)。洛倫茲方程是非線性方程組，無法求出解析解，必須使用數(shù)值方法求解上述微分方程組。洛倫茲用數(shù)值解繪制結(jié)果圖10.1.1，并發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象?！?引言微分方程數(shù)值解一般可分為：常微分方程數(shù)值解和偏微分方程數(shù)值解。自然界與工程技術(shù)中的許多現(xiàn)象，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可歸結(jié)為常微分方程（組）的定解問題。一些偏微分方程問題也可以轉(zhuǎn)化為常微分方程問題來（近似）求解。Newton最早采用數(shù)學(xué)方法研究二體問題，其中需要求解的運(yùn)動方程就是常微分方程。許多著名的數(shù)學(xué)家，如Bernoulli（家族），Euler、Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循歷史傳統(tǒng)，研究重要的力學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型，在這些問題中，許多是常微分方程的求解。作為科學(xué)史上的一段佳話，海王星的發(fā)現(xiàn)就是通過對常微分方程的近似計(jì)算得到的。本章主要介紹常微分方程數(shù)值解的若干方法。一、初值問題的數(shù)值解法1、一階常微分方程初值問題的一般形式常微分方程的數(shù)值解法分為（1）初值問題的數(shù)值解法（2）邊值問題的數(shù)值解法(2)一般構(gòu)造方法：

離散點(diǎn)函數(shù)值集合+線性組合結(jié)構(gòu)→近似公式2.迭代格式的構(gòu)造(1)構(gòu)造思想：將連續(xù)的微分方程及初值條件離散為線性方程組加以求解。由于離散化的出發(fā)點(diǎn)不同，產(chǎn)生出各種不同的數(shù)值方法。基本方法有：有限差分法（數(shù)值微分）、有限體積法（數(shù)值積分）、有限元法（函數(shù)插值）等等。

(3)如何保證迭代公式的穩(wěn)定性與收斂性?3.微分方程的數(shù)值解法需要解決的主要問題(1)如何將微分方程離散化，并建立求其數(shù)值解的迭代公式？(2)如何估計(jì)迭代公式的局部截?cái)嗾`差與整體誤差？稱在區(qū)域D上對滿足Lipschitz條件是指:記4、相關(guān)定義二、初值問題解的存在唯一性

考慮一階常微分方程的初值問題

/*Initial-ValueProblem*/:則上述IVP存在唯一解。只要在

上連續(xù),且關(guān)于y滿足Lipschitz條件，即存在與無關(guān)的常數(shù)L使對任意定義在上的都成立，求函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點(diǎn)

a=x0<x1<…<xn=b處的近似值的方法稱為微分方程的數(shù)值解法。稱節(jié)點(diǎn)間距為步長，通常采用等距節(jié)點(diǎn)，即取hi=h

(常數(shù))。稱為微分方程的數(shù)值解。三、初值問題的離散化方法

離散化方法的基本特點(diǎn)是依照某一遞推公式，值,取。按節(jié)點(diǎn)從左至右的順序依次求出的近似

如果計(jì)算，只用到前一步的值，則稱這類方法為單步方法。如果計(jì)算需用到前r步的值,

,則稱這類方法為r步方法?！?歐拉方法/*Euler’sMethod*/

歐拉公式(單步顯示公式）：向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為x0x1亦稱為歐拉折線法

/*Euler’spolygonalarcmethod*/

在假設(shè)yi=y(xi)，即第i步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截?cái)嗾`差/*localtruncationerror*/。定義2.2

若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱該算法有p階精度。定義2.1歐拉法的局部截?cái)嗾`差：Ri的主項(xiàng)/*leadingterm*/歐拉法具有1階精度。例1:

用歐拉公式求解初值問題取步長。解:

應(yīng)用Euler公式于題給初值問題的具體形式為：

其中。計(jì)算結(jié)果列于下表：

可用腿來檢部驗(yàn)近紹似解錢的準(zhǔn)挑確程山度。進(jìn)行石計(jì)算麥，數(shù)倉值解晨已達(dá)戒到了錢一定寶的精乒度。這個如初值蔑問題鏈的準(zhǔn)鼻確解纖為閃，從上跨表最旱后一罩列，碧我們跪看到蜻取步筐長隱式概歐拉惰法(向后Eu嗎le符r法）/*與i懇mp己li贊ci培t之Eu掉le運(yùn)r罰me寸th曲od能*最/向后松差商面近似配導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+注：由于膛未知慘數(shù)yi+1同時兩出現(xiàn)目在等祥式的高兩邊笑，不偽能直液接得株到，叉故稱兇為隱式/*岸i反mp暑li天ci不t裹*/歐拉北公式金，而誦前者對稱為顯式/*腦e采xp亂li恐ci揭t伸*/歐拉宰公式吵。一般器先用刻顯式宅計(jì)算榴一個肝初值陜，再迭代求解濤。隱式歐拉蝴法的怎局部亞截?cái)嗝哉`差革：即隱式懷歐拉算公式怖具有1階精日度。梯形賢公式/*快tr免ap度ez頂oi防d破fo瓦rm襯ul耐a傷*/—顯、太隱式憲兩種書算法結(jié)的平均注：梯形繡公式蔥的局搭部截轉(zhuǎn)斷誤蜂差傭，即梯鋪形公作式具有2階精應(yīng)度，比辰歐拉辯方法叼有了額進(jìn)步寧。但注埋意到驚該公澤式是隱式慨公式，計(jì)有算時況不得烏不用皂到迭代浙法，脾其迭確代收憑斂性彎與歐璃拉公廊式相格似。歐拉顛公式辱的改梢進(jìn)中點(diǎn)份歐拉廟公式/*矩m輸id晉po盈in進(jìn)t突fo者rm什ul涌a造*/中心啞差商賀近似證導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè),則可偵以導(dǎo)藍(lán)出即中誓點(diǎn)公泛式具勤有2階精竄度。方法顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點(diǎn)公式簡單精度賢低穩(wěn)定猜性最統(tǒng)好精度擱低,計(jì)算投量大精度地提高計(jì)算胃量大精度狂提高,顯式多一個清初值,可能消影響驅(qū)精度Ca棵n’潔t憑yo每u險(xiǎn)gi剖ve羨m龍e哥a博fo嗚rm富ul橫awi際th昂a越ll善t義he纏a致dv正an恒ta結(jié)ge夏s薪y(tǒng)e墻t地wi嬌th寇ou礎(chǔ)t非an醒yof稀t鴿he纏d盯is依ad暫va炕nt額ag帆es淹?Do青y澤ou貨t命hi瘡nk號i去t己po救ss歲ib沃le歌?We廚ll濕,茄ca供ll點(diǎn)m委e腐gr庸ee耳dy溪…OK濤,裙le敞t’際s罩ma席ke艘i圣t代po簡ss術(shù)ib抓le抵.改進(jìn)沸歐拉蜓法/*篇m或od走if經(jīng)ie闖d傭Eu侍le云r’習(xí)s蹄me網(wǎng)th炒od紀(jì)*犬/St盆ep純1:先用裁顯式鳴歐拉屢公式廉作預(yù)英測，債算出Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+iy注:此法烏亦稱任為預(yù)測-校正隨法/*淹p丹re及di擋ct季or障-c結(jié)or喇re向ct質(zhì)or燒m俯et籍ho魚d奶*/可以軍證明遞該算藍(lán)法具有2階精領(lǐng)度，同繡時可卵以看觸到它是個單步遞推虛格式溉，比砍隱式毯公式貿(mào)的迭瞞代求咐解過舅程簡單。后貢面將帽看到穩(wěn)，它撓的穩(wěn)定索性高絡(luò)于顯式寄歐拉崇法。在實(shí)和際計(jì)水算時賺，可培將歐休拉法袋與梯涉形法救則相粘結(jié)合借，計(jì)算現(xiàn)公式近為應(yīng)用亡改進(jìn)樂歐拉情法,如果此序列某收斂,它的手極限寺便滿掃足方坡程改進(jìn)南歐拉回法的凱截?cái)嗨渍`差因此冶，改輔進(jìn)歐鼻拉法等公式除具有2階精印度二元奇函數(shù)春的n階Ta美yl糞or展式殘：例2:用改費(fèi)進(jìn)Eu翼le欠r公式祥求解壓例1中的展初值尸問題蛙，取步長。解：對此脾初值皆問題餃采用棗改進(jìn)Eu瘦le慰r公式修，其具熔體形擁式為計(jì)算尤結(jié)果及列于掠下表詳：改進(jìn)的Euler法Euler法通過勤計(jì)算哄結(jié)果奇的比剩較可闊以看秧出，次改進(jìn)她的Eu閉le贏r方法的計(jì)凈算精盆度比Eu棋le機(jī)r方法隙要高叢?！?龍格-庫塔啞法/*Ru論ng彎e-容Ku作tt惠aMe倘th肅od糊*他/建立高精度的單步遞推格式。單步峰遞推漆法的基本由思想是從(xi,yi)點(diǎn)出勿發(fā)，歐拉鋸法及絲式其各塔種變設(shè)形所氣能達(dá)犧到的韻最高匙精度變?yōu)?階。以某一誘斜率沿直雕線達(dá)食到攤點(diǎn)?？疾斓酶倪M(jìn)違的歐洋拉法庸，可痰以將棗其改屈寫為五：斜率一定邪取K1K2的平均練值嗎？步長譯一定射是一水個h嗎？將改進(jìn)歐拉法推廣為：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+ll首先年希望歐能確跪定系澆數(shù)1、2、p，使得此到的走算法剝格式因有2階精萬度，練即在瘋的前苦提假濕設(shè)下死，使錢得St蟲ep振1:將K2在(xi,yi)點(diǎn)作Ta示yl疲or展開St凳ep榨2:將K2代入豆第1式，版得到St顏ep乒3:將yi+1與y(xi+1)在xi點(diǎn)的泰勒展開雀作比陣較要求，則必須有：這里塵有揭個未匹知數(shù)弦，折個方菠程。32存在無窮撇多個耽解。所欣有滿騎足上號式的哈格式冒統(tǒng)稱狼為2階龍雙格-庫塔私格式。注意到，就是改進(jìn)的歐拉法。

為獲病得更濤高的盛精度粒，應(yīng)膽該如善何進(jìn)詢一步雁推廣汁？)...,(......),(),(),(]...[1122112321313312122122111--++++++=+++=++==++++=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyybbbabbaballl其中i(i=去1,衡…湖,m)，i(i=無2,族…朽,m)和ij(i=材2,烈…列,m;j=雷1,伐…炭,i1)均為目待定踐系數(shù)該，確昂定這塔些系漲數(shù)的派步驟萄與前某面相鉆似?？紤]意一階憑常微導(dǎo)分方鼠程初流值問慣題將區(qū)膝域[a杰,b備]進(jìn)行太分劃吊：若則n級顯率式Ru拍ng徒e-玩Ku產(chǎn)tt濕a方法二階Ru傭ng鈴e-慮Ku陰tt槐a方法取n丈=2記由此簽得另一麗方面為使局部截?cái)嗾`差為,應(yīng)取改進(jìn)蟻的Eu訪le薦r方法取中點(diǎn)昌方法取二階He肯un方法取二級Ru霧ng扶e-族Ku濾tt襲a方法選不超歸過二果階記則因此局部截?cái)嗾`差只能達(dá)到三級Ru股ng鞭e-蛙Ku韻tt竄a方法取n煌=3記又由觸于因此拳要使子局部晃截?cái)嘣暾`差勵為蔽，必杰須Ku倚tt艇a方法取三階He蝴un方法取三級Ru工ng錯e-繭Ku長tt脫a方法暫不超那過三匪階完全丈類似絞于二聚級Ru宇ng驗(yàn)e-抖Ku企tt撫a方法仰的分勾析只能頭達(dá)到三級Ru俊ng奮e-歪Ku挑tt閱a方法榴的局愛部截印斷誤作差將魯和挽都展寄開到傍項(xiàng),易證四級R-紡K方法取n福=4局部沉截?cái)啾痴`差降為O(頂h5)四階經(jīng)典古龍格-庫塔璃法/*Cl舟as形si蓬ca報(bào)l倘Ru幼ng影e-善Ku譽(yù)tt牧a存Me淹th魯od*/：附注炸：二階Ru類ng鬼e-椅Ku部tt腐a方法謹(jǐn)?shù)木謱毑拷仨摂嗾`鮮差只能李達(dá)到五階Ru持ng陰e-哪Ku駁tt盡a方法摟的局廊部截騾斷誤套差只能吹達(dá)到四階Ru扛ng桿e-倦Ku蹦tt稿a方法騎的局足部截霜斷誤憶差只能西達(dá)到三階Ru尊ng渠e-茄Ku癢tt騰a方法僵的局偉部截全斷誤屠差只能蔽達(dá)到注：龍格-庫塔苦法的全主要級運(yùn)算膨在于票計(jì)算的值哥，即猛計(jì)算川的學(xué)值。Bu憤tc拌he種r于19猶65年給者出了驚計(jì)算烈量與嫂可達(dá)悶到的出最高亡精度拿階數(shù)映的關(guān)棄系：753可達(dá)到的最高精度642每步須算Ki的個數(shù)由于臥龍格-庫塔攜法的區(qū)導(dǎo)出著基于房誠泰勒企展開智，故晶精太好戲的解免，最蔽好采鈔用低階癢算法而將粗步長h取小。度主攝要受瘦解函把數(shù)的塌光滑袖性影嶄響。圣對于升光滑賽性不§4單步各方法澡的收扣斂性誦與穩(wěn)驚定性/*Co逢nv猛er效ge率nc樹yan狡d浪St俊ab桂il押it腹y*/收斂小性/*Co姥nv烏er抱ge賊nc竭y*/定義

若某算法對于任意固定的

x

=xi=x0+ih，當(dāng)

h0

(同時i)時有

yi

y(xi

)，則稱該算法是收斂的。例：就初詠值問鍋題寧考必察歐肢拉顯父式格預(yù)式的派收斂惕性。解：該問陸題的寄精確廣解為歐拉公式票為對任意偵固定佳的x=xi=i言h，有穩(wěn)定忽性/*St灶ab么il亂it彎y*/例：考察委初值侮問題露在蟲區(qū)間[0潔,赴0.推5]上的駱解.分別拔用歐末拉顯努、隱內(nèi)式格敲式和忽改進(jìn)晌的歐晚拉格姿式計(jì)廢算數(shù)顧值解討。0.00.10.20.30.40.5精確解改進(jìn)歐拉法

歐拉隱式歐拉顯式

節(jié)點(diǎn)xi1.卻00顯002.凳00罵004.煌00輔008.接00洲001.凡60拖001盡013.宮20視001漢011.忙00架002.鈔50筋001金016.襲25橡001風(fēng)021.蓄56外251違023.淚90輛631犯039.土76檢561染041.孤00攔002.元50瞇006.服25杠001.泥56科261據(jù)013.料90著631算019.歷76餡561沾011.盜00抗004.醋97我871枕022.冠47殖881夫031.積23磚411董046.泳14隙421故063.英05明901責(zé)07Wh昆at秤i器s直wr蛛on錯g檢??饒!AnEngin