離散數學復合函數與逆函數

復習定義4-1.1

設X，Y為任何兩個集合，如果f為X到Y的關系（fXY），且對每一xX，都有唯一的yY，使<x,y>f。則稱f是X到Y的函數（functions），記為f：X→Y，當X=X1…Xn時，稱f為n元函數。函數也稱映射（mapping）或變換(transformation）。若<x,y>f，則x稱為自變元，y稱為在f作用下x的象，<x,y>f記作y=f(x)。由所有xX的象構成的象集合稱為函數的值域ranf，即ranf=f(X)={f(x)|xX}Y前域（定義域）domX，值域(象集合)ranf，陪域（共域）Y由函數的定義可知，函數是特殊的關系，特殊點有以下兩點：（1）函數的定義域是X，而不是X的真子集。即任意xX都有象yY存在（象存在性）。（2）一個x只能對應唯一的一個y（象唯一性）。函數的定義式還可以寫成：

f={<x,y>|xX∧yY∧f(x)=y}

定義4-1.2設函數f:A→B，g:C→D，如果A=C，B=D，且對所有xA和xC，都有f(x)=g(x)，則稱函數f等于函數g,記為f=g。如果AC，B＝D，且對每一xA，f(x)＝g(x)。則稱函數f包含于函數g，記為fg。因為函數是序偶的集合，故兩個函數相等可用集合相等的概念予以定義。設X和Y都為有限集，分別有m個和n個不同元素，由于從X到Y任意一個函數的定義域是X，在這些函數中每一個恰有m個序偶。另外任何元素xX，可以有Y的n個元素中任何一個作為它的象，故共有nm個不同的函數。在上例中n=2,m=3,故應有23個不同的函數。今后我們用符號YX表示從X到Y的所有函數的集合，甚至當X和Y是無限集時，也用這個符號。Y中的每一元素都有原象幾類特殊情況：設f：X→Y，如果對任意yY，均有xX，使y=f(x)，即ranf=Y，則稱f為X到Y的滿射函數(surjection)，滿射函數也稱到上映射。定義4-1.3對于f：X→Y的映射中，如果ranf=Y，即Y的每一個元素是X中一個或多個元素的象點，則稱這個映射為滿射（或到上映射）。Y中元素若有原象則原象唯一定義4-1.4從X到Y的映射中，X中沒有兩個元素有相同的象，則稱這個映射為入射（或一對一映射）。設f：X→Y，如果對任意x1，x2X,x1x2

蘊涵f(x1)f(x2)。則稱f為X到Y的單射函數(injection)，單射函數也稱一對一的函數或入射函數。Y中的每一元素都有原象且原象唯一定義4-1.5如果f既是X到Y的單射，又是X到Y的滿射，則稱f為X到Y的雙射函數（bejection）。雙射函數也稱一一對應。151頁(6)設A和B是有窮集合,有多少不同入射函數和多少不同的雙射函數?解設|A|=m，|B|=n，要使映射f：A→B為入射，必須有|A|≤|B|，即m≤n。在B中任意選出m個元素的任一全排列，就能形成的一個不同的入射，故的不同入射共有：設A={a1,a2,…,am}，B=={b1,b2,…,bm}，則對a1對應的元素共有m種取法，a2對應的元素共有m-1種取法，……am-1對應的元素共有2種取法，am對應的元素共有1種取法。故f：A→B的不同雙射共有m(m-1)(m-2)…2·1=m!（個）（個）要使映射f：A→B為雙射，必須|A|=|B|。定理4-2.1

設f:X→Y是一個雙射函數，那么fc為Y到X的雙射函數，即有fc:Y→X。證明：a).先證fc是一個函數（需要證存在性和唯一性）設f={<x,y>|xX∧yY∧f(x)=y}

和fc={<y,x>|<x,y>f}

因f是雙射，所以f是滿射，即所有的yY都有x與它對應，這正是fc的存在性。又因f是雙射，所以f是入射，即所有的yY都只有唯一的x與它對應，這正是fc的唯一性。b).二證fc是一個滿射又因ranfc=domf=X,fc是滿射。c).三證fc是一個單射反設若y1

≠y2,有fc(y1)=fc(y2)因為fc(y1)=x1,fc(y2)=x2,得x1=x2，故f(x1)=f(x2)，

即

y1=f(x1)=f(x2)=y2。得出矛盾，假設不成立。定義4-2.1

設f:X→Y是一個雙射函數，稱Y→X的雙射函數fC為f的逆函數，記為f-1。與復合關系的記法正好相反定義4-2.2

設函數f:X→Y,g:W→Z,若f(X)W，則gf={<x,z>|xX∧zZ∧(y)(yY∧y=f(x)∧z=g(y))},稱g在函數f的左邊可復合。定理4-2.2

設兩個函數的復合是一個函數。證明：設

g:W→Z,

f:X→Y為左復合,即f(X)W，a).先證象存在性對于任意

xX,因為f為函數，故必有唯一的序偶<x,y>使y=f(x)成立。而f(x)f(X)，即f(x)W，又因為g是函數，故必有唯一的序偶<y,z>使z=g(y)成立,根據復合定義，<x,z>gf。即X中的每個x對應Z中的某個z。b).再先證象唯一性假定gf中包含序偶<x,z1>和<x,z2>且x1≠x2，這樣在Y中必存在y1和y2

，使得在f中有<x,y1>和<x,y2>,在g中有<y1,z1>和<y2,z2>。因為f為函數，故y1=y2。于是g中有<y,z1>和<y,z2>,但g為函數，故z1=z2。即每個x只能對應一個唯一的z，滿足<x,z>gf。由a).和b).知gf是一個函數。定理證畢。定義4-2.2補充

設函數f:X→Y,g:Y→Z,則gf={<x,z>|xX∧zZ∧(y)(yY∧y=f(x)∧z=g(y))},稱為復合函數，或稱gf為g對f的左復合。此定義中假定ranf

domg如果不滿足這個條件，則定義gf為空。根據復合函數的定義，顯然有gf(x)=g(f(x))。解gf={<1,b>,<2,b>,<3,b>}例題1設X={1,2,3}，Y={p,q},Z={a,b},f={<1,p>,<2,p>,<3,q>},g={<p,b>,<q,b>}求gf。定理4-2.3設f:X→Y，g:Y→Z，gf是一個復合函數，則（1）如果f和g是滿射的，則gf也是滿射的。（2）如果f和g是單射的，則gf也是單射。（3）如果f和g是雙射的，則gf也是雙射的。證明：a).設f:X→Y,g:W→Z為,令z為Z的任意一個元素，因g是滿設，故必有某個元素yY使得g(y)=z，又因為f是滿設，故必有某個元素xX使得f(x)=y，故

gf(x)=g(f(x))=g(y)=z因此，Rgf

=Z，gf是滿設的。b).設令x1、x2為X的元素，假定x1≠x2，因為f是入射的,故f(x1)≠f(x2)。又因為g是入射的,故g(f(x1))≠g(f(x2)),于是x1≠x2gf(x1)≠gf(x2)，因此，gf是入射的。c).因為g和f是雙射，故根據a).和b).，gf為滿滿射和入射的，即gf是雙射的。定理證畢。定義說4-脊2.晌3函數f:縮慧X→Y叫做浪常函夾數,如碰果存泳在某舒?zhèn)€y0Y,對于耕每個xX都有f(趣x)涂=y0,即f(糧X)睡={y0}。定義恒4-杜2.質4，如無果Ix={底<悔x,概x>爐|烘xX}則稱油函數Ix:X→Y為恒騙等函伏數。定理板4-漫2.懂4設f：X→Y，則f=趕fIx=Iyf這個晶定理住的證粗明可離以由階定義判直接李得到蚊。證明醉：a)管.f-1f與Ix的定較義域妖都是X。b)值.因為f是一饑一對滴應的揮函數欄，故f-1也是野一一倉對應貸的函作數。若f:拉x→f(粗x)則f-1(f銜(x系))逆=慣x,由a)礙.和b)單.得f-1f=Ix。故xX(f-1f)癥(x申)=f-1(f粘(x賽))掉=奴x。定理陵證畢奮。例題課3見P-壺15校5頁定理4-燦2.政5如果謹函數f:X→Y，有逆侵函數f-1:Y→X,則f-1f吊=Ix且ff-1=Iy證明伯：a)故.因f:X冰→Y是一脈一對圾應的秧函數顛，故f-1:X主→Y也是溪一一億對應燭的函賄數。越因此(f-1)-1:X捐→Y又是谷一一合對應杰的函堂數。依顯然do魄mf=do須m(f-1)-1=Xb)微.設xXf:朱x→f(康x)f-1:f(右x)→x(f-1)-1:頁x→f(馳x)。由a)雁.和b)井.得(f-1)-1=威f。定理左證畢翁。定理4-渣2.目6若f:鞭X→伯Y是可咸逆的掀，則(f-1)-1=索f。定理4-母2.素7設f:X→Y,g:Y→Z都是圾可逆只的,例那么gf也是可逆印的，嶄且(gf)–1=f-1g–1。證明熄：a)攻.因f:X→Y,g:Y→Z都是一一卡對應故的函脖數,沾故f-1和g-1均存拖在，婆且f-1:Y→X，g-1:Z→Y，所以f-1g–1:Z→X。根據駝定理4-見2.趁3，gf:X騎→Z是雙父射的宇，故(gf)–1存在既且(gf)–1:Z→X。do說m(f-1g–1)=do做m(gf)–1=Zb)殘.對任怠意zZ存在策唯一yY,使得g(中y)辮=z存在咸唯一xX,使得f(恭x)齡=y,故(f-