【積分的計(jì)算方法研究綜述3000字】

積分的計(jì)算方法研究綜述目錄TOC\o"1-2"\h\u26744關(guān)于積分的計(jì)算方法研究 115574摘要 122762引言 1222341.直接積分法 2198272.分步積分法計(jì)算不定積分 29117例2求xsinxdx 245283.換元積分法計(jì)算不定積分 5231553.1第一換元法計(jì)算不定積分 5228213.2第二換元法計(jì)算不定積分 6236254.有理化法計(jì)算不定積分 630369例6求dxx3+1 66145即 73998令 7摘要定積分的計(jì)算中，不定積分的計(jì)算是重要步驟之一，計(jì)算不定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，且這種解題思路被廣泛地應(yīng)用于解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題之中，本文首先介紹原函數(shù)，不定積分等相關(guān)概念；在此基礎(chǔ)上再介紹不定積分的幾種計(jì)算方法，如：直接積分法、分步積分法、換元積分法、有理化法等，最后通過研究相關(guān)實(shí)際問題，闡述不定積分在計(jì)算內(nèi)積函數(shù)的原函數(shù)時(shí)所需要注意的問題以及在實(shí)際問題當(dāng)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：積分；不定積分；計(jì)算引言微積分作為人類從初等數(shù)學(xué)跨越到高等數(shù)學(xué)的標(biāo)志，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起到了很大的作用。到了現(xiàn)代微積分學(xué)中，研究者為了計(jì)算定積分的精確值又研究出了不定積分計(jì)算方法。作為定積分問題研究的基礎(chǔ)，不定積分的計(jì)算起到了關(guān)鍵作用。如果沒有不定積分的計(jì)算方法，那么定積分精確值的計(jì)算就難以實(shí)現(xiàn)。解決不定積分的計(jì)算問題的關(guān)鍵在于計(jì)算出原函數(shù)，雖然微分和積分互為逆運(yùn)算，但是不定積分的計(jì)算方法不像微分計(jì)算那樣有跡可循，有一定的計(jì)算法則和規(guī)律。對(duì)于不定積分的計(jì)算則需要根據(jù)不同的題型選用不同的方法，其技巧性更強(qiáng)，也需要大量的做題經(jīng)驗(yàn)。1.直接積分法直接積分法是一種較為簡(jiǎn)單的方法，通過觀察可以直接利用積分公式和積分的運(yùn)算法則快速計(jì)算出原函數(shù)。例1求

(5x==52.分步積分法計(jì)算不定積分利用分步積分法計(jì)算不定積分，通常情況下，要將合適的被積函數(shù)令其為u，其原則是：反三角函數(shù)優(yōu)先于對(duì)數(shù)函數(shù)，其次是冪函數(shù)，然后是三角函數(shù)，最后考慮指數(shù)函數(shù)。根據(jù)優(yōu)先選擇u的原則，一些看似復(fù)雜的被積函數(shù)，在計(jì)算過程中也迎刃而解。類似被積函數(shù)為lnx，把其不定積分可以看成1·lnxdx，優(yōu)先選擇u=lnln例2求

xsinx分析:根據(jù)選u函數(shù)的原則選取u=sinxx解:令

u=x,dv=sinxdx

因?yàn)?/p>

udv=uv?v將

u=x,dv=sinxdx,du=cos對(duì)分部積分公式還有一類題目，這類題目是不能直接得出原函數(shù)，而是要用到一定解方程的思想，將原函數(shù)的一部分與被積函數(shù)建立起聯(lián)系。例3求

eαx被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)乘積的形式,依舊可以使用分步積分法，首先根據(jù)選u函數(shù)的原則，令u=cosβx,dv=eαxdxe解:令

u=cosβx,dv=eI=eαx根據(jù)分部積分公式:udvI=根據(jù)積分運(yùn)算法則:I“+”后面的式子也是一個(gè)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)乘積的形式,為了得出最后的結(jié)果還得再運(yùn)用一次分部積分公式，為了區(qū)別于前面，我們用其他大寫字母表示.令

J=u=sinβx,dv=根據(jù)分部積分公式可得:將其代入上式I中得I移項(xiàng)化簡(jiǎn)得:I=3.換元積分法計(jì)算不定積分3.1第一換元法計(jì)算不定積分在計(jì)算此類不定積分時(shí)，要靈活應(yīng)用三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，把復(fù)雜的不定積分換為簡(jiǎn)單的不定積分，再運(yùn)用第一換元法求出其原函數(shù)。例4求

解：方法①:因?yàn)閠an所以csc方法②:csc==ln同法還可得：sec3.2第二換元法計(jì)算不定積分當(dāng)被積函數(shù)中出現(xiàn)了根式的情況如a2±x例5[NOTEREF_Ref22978\h2]

a2?x解：設(shè)

x=a根據(jù)定理3，得a=4.有理化法計(jì)算不定積分在運(yùn)用有理化法計(jì)算原函數(shù)時(shí)，將分式分解為部分分式之和是利用有理化法的關(guān)鍵，但是也不局限于死板硬套。與其他求法一樣，還是要更具體題型選擇合適的分解方法。成功分解后解題過程中也會(huì)出現(xiàn)和其他方法交叉使用的情況。例6求

dxx3解：設(shè)：1有 1≡得方程組：A+B=0解得：A=即dx