第講分形幾何與分形插值

分形幾何與分形插值孫洪泉教授第一章緒論1.1分形的起源

人類在認識世界和改造世界的活動中離不開幾何學。在歷史上科學技術的發(fā)展與幾何學的進步始終是密切相關的。在經典幾何學中,我們可以用直線、圓錐、球等一類規(guī)則的形狀去描述諸如車輪、道路、建筑物等人造物體。因為這些物體本來就是根據(jù)歐氏幾何的規(guī)則圖形生成的。然而在自然界中,卻存在著許許多多極其復雜、極不規(guī)則的形狀。例如,海岸線、山川、河流、巖石、斷裂、森林、閃電等等。它們都是非規(guī)則形狀,用歐幾里德幾何是無能為力的。

下面我們給出歐氏空間中不能解釋的一些的“奇怪”現(xiàn)象。

koch雪花的面積有限，周長為無限。這是歐氏空間中的“奇怪”現(xiàn)象。為了說明這樣的事實，下面我們給出koch雪花的生成步驟（如圖1.1所示）。取周長為1的正三角形為初始元。第一步（k=1）：將邊長三等份，并以中間的一份為底邊構造正三角形，去掉該三角形的底邊，將兩腰與剩下的兩份相連，得到生成元（見圖1.1）。原三角形每條邊都用生成元替換，得到具有6個凸頂點的12邊形。第二步（k=2）：對第一步得到的圖形，同樣將其邊長三等份，并以中間的一份構造正三角形，去掉該三角形的底邊，將兩腰與兩邊的兩份相連，得到生成元替換，得到24個凸頂點的48邊形。如此方法，一直作下去，當k→∞時便得到Koch雪花。運用初等幾何和初等代數(shù)知識不難求得每一步圖形的周長（設k為步數(shù)；L圖形邊長）：由此可見，隨著n→∞時，Koch雪花的周長Ｌ→∞。初始元k=0:L=1生成元k=1:L=4/3=(1+1/3)1n→∞,L→∞k=2:L=16/9=(1+1/3)2……

k=n:L=16/9=(1+1/3)n圖1.1Koch雪花的生成然而，由Koch雪花的制作過程可知，每一步的圖形都包含在半徑為1的單位園中。因此Koch雪花的面積是有限的。這種面積有限、周長為無窮大的圖形在歐氏空間中也是一種不可思意的“奇怪”現(xiàn)象。

為什么會有這種“奇怪”的現(xiàn)象發(fā)生呢？從分形的概念引入之后，人們發(fā)現(xiàn)用上述方法作出的Koch雪花邊長是極其復雜，它的維數(shù)已不是歐氏空間中曲線的維數(shù)——1維了，它的維數(shù)是大于1維的。但這個邊長也不能填滿任何一個小的面積，所以它的維數(shù)是小于2維的。同樣，在測量英國海岸線時，人們發(fā)現(xiàn)海岸線的長度隨著測量時使用的碼尺的變小而增大。1967年法國數(shù)學家B.B.Mandelbrot提出了“英國的海岸線有多長？”的問題，這好像極其簡單，因為長度依賴于測量單位。以1km為單位測量海岸線，那些短于1km的迂回曲折都忽略掉了；若以1m為單位測量，那些大于1m的迂回曲折就能被測量出來，所以測出的長度將變大。

測量單位進一步變小，測得的長度將愈來愈大。如果這些愈來愈大的長度能趨近于一個確定值，這個極限值就是海岸線的長度。但Mandelbrot發(fā)現(xiàn)：當測量單位變小時，所得的長度是無限增大的。難道海岸線的長度是不確定的，或者說，海岸線是無限長的。為什么？后來人們發(fā)現(xiàn)，英國海岸線以及Koch雪花的周長都是極其復雜的幾何圖形，它們的維數(shù)是介于1～2之間的分數(shù)維。而我們使用的量測碼尺都是一維的。用小于圖形維數(shù)的碼尺去度量圖形，得到的結果只能是無窮大；反之，用大于圖形維數(shù)的碼尺去度量圖形，得到的結果只能是零。上述例子說明確實存在維數(shù)不是整數(shù)的圖形，分數(shù)維——分形幾何的思想便從這里萌芽。

“分形”一詞譯于英文Fractal，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁語Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有“破碎”、“不規(guī)則”等含義。1973年,法國數(shù)學家BenoitB.Mandelbrot在法蘭西學院講課時,首次提出了分維和分形幾何的設想。他創(chuàng)造了“分形(Fractal)”這個新術語。分形(Fractal)這個詞出自拉丁語fractus,其原意具有不規(guī)則、分裂、支離破碎等意思。引入到中國，F(xiàn)ractal這個詞起初被人們譯為“分形”、“分維”、“分數(shù)維”、“分維數(shù)”等?，F(xiàn)在已基本上統(tǒng)一稱為“分形”。

BenoitB.Mandelbrot創(chuàng)立的分形幾何，借助于自相似性原理，洞察于混亂現(xiàn)象中的精細結構，其研究對象為自然界和社會活動中廣泛存在的復

雜無序，而又具有某種規(guī)律的系統(tǒng)，它為人們從局部認識整體、從有限認識無限提供了新的方法，為研究自然界中的不規(guī)則現(xiàn)象提供了一種定量描述手段。因此,近年來分形幾何不論在理論上,還是在應用上都得到了迅速的發(fā)展。1.2什么是分形我們人類生活的世界是一個極其復雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測的股市變化、復雜的生命現(xiàn)象、蜿蜒曲折的海岸線、坑坑洼洼的地面等等，都表現(xiàn)了客觀世界特別豐富的現(xiàn)象。在傳統(tǒng)歐氏幾何學里，人們總是把研究對象想象成一個個規(guī)則的形體：直線、圓形、方形、曲面、立方體等，而我們生活的現(xiàn)實世界中存在的物體，竟有如此多的不規(guī)則和支離破碎。與歐幾里得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的復雜性。分形幾何則提供了一種描述和研究這種不規(guī)則復雜現(xiàn)象的新方法。什么是分形幾何？通俗一點說就是研究無限復雜但具有一定意義下的自相似圖形和結構的幾何學。什么是自相似呢？我們日常生活中的菜花就是一個具有統(tǒng)計自相似性的分形幾何體的很好的例子(圖1.2)。從一棵菜花上掰下一枝，放大后它與整體是相似的，再從這枝上掰下更小的一枝，再進行放大，它也與這棵菜花的整體也是相似的。又如，河流水系(圖1.3)，一個大的河流、水系與它的支流、更小的一枝，再進行放大，它也與這棵菜花的整體也是相似的。又如，河流水系(圖1.3)，一個大的河流、水系與它的支流、更小的水系就具有統(tǒng)計意義上的自相似性。圖1.3顯示了亞馬遜河水系的自相似特征,經測量計算得其分形維數(shù)為1.85。圖1.2菜花的自相似性征1/2inch1/2inch1/2inch圖1.3河流水系的分形特征N♂500km

其實，自相似的例子在我們的身邊到處可見。例如一棵大樹與它自身上的樹枝及樹枝上的枝杈，在形狀上沒什么大的區(qū)別，所以我們說，大樹與樹枝這種關系在幾何形狀上稱之為自相似關系；我們再拿來一片樹葉，仔細觀察一下葉脈，它們也具備這種性質。動物也不例外，一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長信息；還有高山的表面，您無論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。分形幾何的創(chuàng)始人BenoitB.Mandelbrot說過:“云團不是球體,山峰不是錐形,海岸線不是圓弧,樹皮也并不光滑,閃電也不是直線傳播[2]?！边@就說明了在自然界中大量的物體都不能用傳統(tǒng)的幾何形態(tài)來精確地進行描述。而在這些“不規(guī)則”的形體中,大量的具有分形的特征。

分形是適合于描述大自然的幾何。研究表明星云的分布、海岸線的形狀、山形的起伏、地震、河網水系、材料組織生長、湍流、酶和蛋白質的結構、人體血管系統(tǒng)、肺膜結構、腦電圖、城市噪音、股市的漲落等等，大至宇宙星云分布，小到準晶態(tài)的的晶體結構，從地學、生物學、物理學、化學以至社會科學都普遍存在分形現(xiàn)象。分形幾何揭示了世界的本，分形幾何是真正描述大自然的幾何學。區(qū)別于經典幾何，分形幾何有兩個基本特征，即自相似性與分形維數(shù)。自相似性就是說物體的任何細小部分與整體相似，例如上述Koch雪花的周長。這種相似性稱為嚴格自相似性。然而,自然界中常見的自相似是統(tǒng)計自相似，即統(tǒng)計意義上的自相似性。我們對上述分形的描述加以引伸，可以得到下列分形的含義：

1、分形既可以是幾何圖形，也可以是由“功能”或“信息”架起的數(shù)理模型；

2、分形可以同時具有形態(tài)、功能和信息三方面的自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性；3、自相似性可以是嚴格的，也可以是統(tǒng)計意義上的，自然界的大多數(shù)分形都是統(tǒng)計自相似的；

4、相似性有層次結構上的差異，數(shù)學中的分形，具有無限嵌套的層次結構，而自然界中的分形只有有限層次的嵌套，且要進入到一定的層次結構以后才有分形的規(guī)律；5、相似性有級別（即使用生成元的次數(shù)或放大倍數(shù)）上的差異。級別最高的是整體，最低的稱為0級生成元。級別愈接近，則愈相似。級別相差愈大，相似性愈差。可用無標度區(qū)間或標度不變性表示。1.丙3維數(shù)緩與分讓形維繼數(shù)在歐城氏空肉間中國，人憲們習蒙慣把椅空間掠看成渡三維誦的，歡平面免或球卵面看繭成二峰維，創(chuàng)而把雕直線串或曲顧線看落成一芬維。聽也可掙以稍繡加推膛廣，爐認為鴿點是喬零維提的。招還可夠以引肚入高劍維空怎間，透但通作常人肥們習扛慣于渠整數(shù)窄的維挽數(shù)。分形徹的另聚一個豬特征錢是分類數(shù)維趟數(shù)，串即維隆數(shù)可驢以是側分數(shù)知的。顆這類潛維數(shù)賀是在貓研究這自然當界中沈復雜轉現(xiàn)象逢時需蘆要引捧入的市一個嬌重要挎概念赤。為了哥弄清春楚分熱形維牲數(shù)的姻計算竭方法宣，我昨們首想回顧剛在歐郵氏空錫間中仙，度集量不川同維繡數(shù)的閃單位生形體請時，近尺碼理與度夸量次視的關最系(見圖1.毯4)。取單事位長酬的線芹段(1維形令體)，以驗長為機的宴碼尺逢去度攻量它朋，度省量的茂次數(shù)宋為N(r)=粱2，它腐是碼秒尺的1次冪嘆分之巷一；聽若以徑長為添的跟碼尺園去度廳量它介，則資度量指的次啦數(shù)為N(r)=抗3，它梨仍然講是碼開尺的1次冪鵝分之門一；……；當煮以長庫為納的碼搜尺去促度量寒它，掌則度滅量的和次數(shù)嫂為N(r)=n，它胸仍然勝是碼洪尺的1次冪姑分之僻一，社見圖1.牌4（a）。再取悉單位捉正方字形(2維形跟體)，以賀邊長庫為(碼尺)的小巷正方賓形去娘度量餓它，駛度量宿的次勿數(shù)為N(r)=攀4，它溜是碼賞尺的2次冪冒分之偶一；卵若以未邊長寸為(碼尺)的小罩正方憐形去店度量帥它，親則度斜量的耽次數(shù)鼻為N(r)=覽9，它院仍然微是碼想尺的2次冪勞分之趁一；……；當怪以邊京長為顛的愈小正恰方形咽去度晃量它亭，則已度量目的次臨數(shù)為N(r)=n2，它帥仍然末是碼壇尺的1次冪溪分之添一，荷見圖1.遼4（b）同理貼，對塵于單貫位立低方體(3維形討體)，用爛不同眼的碼猜尺去疤度量仗它時群，其挖度量撲次數(shù)女是碼礎尺3次冪輪分之艷一,見圖1.選4(c)?！辍瓪w……俯……(a掘)……寫……只……噴…………(b泊)……澆……御……紅…………圖1.訴4歐氏井空間黃中單想位形妄體碼艇尺與憐度量桑次數(shù)燃之間冠關系r：碼嗓尺，N(r)：度話量次尖數(shù)，l(r)：單樓位形億體體箱積(a)一維輸形體乒；(b)二維晶形體愉；(c)三維噸形體所以蠶，我間們可井以得掩到，子對于d維歐奮氏空水間中大的形爹體，唯碼尺赤長度r與度桑量次譯數(shù)N(r)之間嶄關系鄉(xiāng)豐為公式(1賽.4旨.1埋)是歐皆氏空糧間中脆維數(shù)胞定義斧的數(shù)汽學表罵達式話，它溪是維疾數(shù)本校質的銹數(shù)學摧特征害。對寬于分董形空苗間中緊的分考形體漂，如白果它噸是嚴把格自刃相似冶的，區(qū)則它需的相雷似維很數(shù)也好可以葛通過詢公式(1鉆.4炭.1僑)來求乖得。錦由于合分形江幾何濱具有睡特殊負的復同雜性凝，對頃于一所般的掀分形夠集的驕維數(shù)勻的計陜算，朽根據(jù)晉不同測的情講況可奏以用栗極限趣的形用式定濕義不裳同的護分形覺維數(shù)羨計算程公式但，以窩后的增章節(jié)縱將有藏詳細咱介紹指。(1具.4躲.1跪)對于晝分形生，目倆前還閥沒有曬一個慣確切言的定道義，冶正如廊生物形學中拔對“常生命姥”也婆沒有稼嚴格況明確技的定警義一體樣，破人們物通常扎是列特出生扎命體僻的一扶系列溫特性問來加捆以說冠明。莊對分額形的鳳定義說也可遇作同塘樣的垂處理庫。對于自某一襯集合A，如厘果具期有下宰面的炊性質鹿，可餅稱為復分形惕集：(1僅)曼德驢布羅釘特曾肥把滿濤足下壘式條刪件安的集框合A，稱腸為分菠形集芽。其室中，Di堂m(A)為集倆合A的分袍形維富數(shù)，di擦m(晴A)為其喬拓撲考維數(shù)筋。一徹般來譽說，Di糊m(A)不是討整數(shù)壩，而定是分哄數(shù)；(2格)集合A具有授近似闖的、挨或統(tǒng)蓬計的問自相商似性仿，亦肅即滿攀足標債度不規(guī)變性揀；(3食)集合A具有浙不規(guī)優(yōu)則性哪，從話整體恭到局久部均害難以長用傳而統(tǒng)的陡幾何丹學進肢行描挺述；(4變)集合A具有折精細推結構如，也雜就是叫說，險它具諷有任倚意小謎的比炮例的服細節(jié)跳；(5看)在許工多情變況下床，集拖合A可以盡用非認常簡閘單的羨方法田定義跡，它君具有截遞歸尚性，槽可在云計算雪機上零以遞瀉歸的憶方式埋生成平?？傊?，分齡形幾庸何與腰傳統(tǒng)侍的幾桑何完匯全不牛同，煮傳統(tǒng)咳的歐雅幾里風德幾啟何的談對象蹦具有混一定敞的特家征長嫩度和杜標度幣，其疏所描喝述的取是人滾類生哀產的雹工業(yè)鉛產品呆的規(guī)坊則形古狀，禾分形濫幾何靜則是感無特貫征長終度與課標度酸的，炊它擅牧長描雄述自確然界提普遍茶存在執(zhí)的景飛物，們分形匹幾何脈的圖沿形具裕有自恐相似燒性和渡遞歸頁性，本它比淚較適辮于用鼓計算銷機迭重代生敞成。1.榆4插值鴉與分鑰形插漲值給定香一組澆測量鋪數(shù)據(jù)疤（信運息點功）{(xi,Fi);xi-餐1＜xi,i=近1,惑2交,剃…,N}欲構諒造一粥個函總數(shù)f(x)，使優(yōu)它的瓜幾何速圖形善連續(xù)斤地穿努過每噸個點廊，即Fi=f(xi),i=0診,寫1,突…品,N。函置數(shù)f(x)就稱盛為插濫值函益數(shù)。對插首值函輕數(shù)的拘要求瞇不同查，又豪可得搖到不悠同的寺性質博的插蘇值函蝕數(shù)。1.線性屢插值線性刮插值橡是假沫定相繭鄰兩速已知射數(shù)據(jù)月點之馬間的濤未知份信息鬼呈線催性變屆化規(guī)活律,即為蜻一次坊函數(shù)(直線緞或平看面）襯。半如手奏工繪暴制等盼值線鑄圖。2.距離嫩平方伴反比壓法已知農數(shù)據(jù)紙點對江未知園點的逃影響,是與心它到齡未知約點的袖距離有見關的搏。折距離鋤越遠,影響拍越小讓。傳疤統(tǒng)的湊曲面繼插值貌常采虹用這歷種方肆法。3.枝L殿ag循ra沈ng紹e插值La號gr帳an奶ge插值托是多牙項式犁插值,它是藥插值仁區(qū)域夢的整棵體函容數(shù),使得斯這個改函數(shù)掀在觀酷測點譜上的因函數(shù)期值與唉觀測扇值相北等。4.樣條挑函數(shù)樣條陷函數(shù)虧是分勇片函握數(shù),它不街僅要哲求函鄰數(shù)在自觀測陽點上館連續(xù),還要涉具有托一階逗或二趁階導冰數(shù)存底在。5.地質坦統(tǒng)計殘學法地質貝統(tǒng)計壟學插拳值假績定研黑究區(qū)牲域中討的數(shù)足據(jù),具有云統(tǒng)計努上的只二階鉛平穩(wěn)悉性。辣它是迫一種肝無偏納且估扣計方錘差最半小的精插值紅方法災。在計插值泥的過跌程中,既考挺慮到蘿已知歸信息儲點的課隨機叨性,又考庸慮到秋已知騰信息出點的藍空間侄相關脆性。6.分形險插值分形煌插值剃是根謎據(jù)分侵形幾豆何的簡自相巨似性狼的原近理和喪迭代腳函數(shù)末系的汪理論,將已推知數(shù)且據(jù)插旋值成慶具有賞自相些似結鐮構的鐘曲面腔。任杯何一熊個局級部都稀與整憲體自跌相似巧或統(tǒng)冬計自腸相似叔。(a狠)(b地)(c停)圖1.輸5不同煉性質桶的插宿值曲詠線(a)線性本；(b)光滑破曲線窗；(c)分形騾插值因此,從插繡值原押理上蔬看,傳統(tǒng)貪的插弄值方辭法(15),任意狹兩相身鄰插正值點患之間依的信捏息都嚷是用乎直線霉或光度滑曲半線連晃接(見圖1.叮5(a)，(b)),從而鑄掩蓋噸了相趟鄰兩查插值聯(lián)點之酬間局價部變周化特它征,因此圣具有揪一定伍程度爪的光賭滑作躬用；膽而分憂形插鑼值,根據(jù)販整體扮與局委部相叢似的蓬原理,將插疲值數(shù)毅據(jù)點河的變產化特藥征映趴射到歷了相撈鄰點斗之間乘的局鋪部區(qū)養(yǎng)域，企在相梅鄰的賺兩個扇信息扣點之僵間也遠能得塑到局終部波開狀起燒伏的禮形狀乒，可藍以得岔到兩匠信息緒點之仙間的跨局部春變化赤特征(見圖1.匙5(c))。然遭而，仆對大酷量實應際情化況，擠在相返鄰兩壺信息采點之揪間并棗不是勾線性跨變化抵的或唉是光樂滑過熄渡的待，而麻是存行在局采部變艷化的潔特征伸。因柄此,對于顫具有嗽分形筐特征閃的形芝體，菊兩信劫息點巷之間噸有更鞋多更四精細繞一級割的波叉狀起雁伏，欣用分欺形插磚值其眉結果片更加啟符合夢實際春。第三遲章分形暴集的閣構造這一翁章我列們著葬重討嶼論經熔典分嚇形集樂的概堅念和煮構造答方法詳。這德些構厲造方隱法使棍我們送能夠巴產生狂和分蹈類廣肉泛的困分形憲類，核包括亞康托(C披an磚to生r)集、討科赫(K東oc告h)曲線私、謝伍爾賓賞斯基(Si羨er飽pi披ns哲ki)地毯驢和皮儉亞諾(Pe簽an社o)曲線晶。分醫(yī)形被春看成平是由浴逐次列微小夾加細塊的無例限遞船歸或械歸納達過程宇而得吸到的粗一種候對象通。本赴章僅叼給這商些集雀合的破生成敞方法墓及其趕圖形餡，下看一章脈將給擾出它撞們的粒相似卵維數(shù)牌。3.長1調Ca黨nt脊or集3.俗1.批1蜓Ca侄nt果or集的熔構造經典法的Ca肥nt爺or集提讓供了束一個充最簡倚單的遍分形館集的安例子改。它乎的構泉造反云映了搖分形羊集構暗成的月一般武原理否：它涂是由唇無限珠個許社多小踢片組錄成，尸每一洞個小好片又牧與整柳體集半相似扛。更精刑確地口說，偶令E0:＝[0魂,智1]，E1:＝[0很,汗1/邁3]∪[2票/3某,誘1]，…，并圈且令Ek+1是從恒去掉Ek每一以個小難區(qū)間寒中間母的三灣分之蛾一而市得到奸。很瓜清楚Ek是由2k個小捕區(qū)間鳴組成仰，且峽每個載小區(qū)舞間的備長度納為(1類/3像)k。注齒意，Ek可以虹通過舌連續(xù)確地使僅用函削數(shù)fi:肢[0癢,社1]→[0孩,柱1],i＝1,就2而得守到。單對于柔前一助步Ek-1集的色每一游個小古區(qū)間姐，fi由下費式給良定：和（3.摧1.轉1）（3.字1.抱2）那么Ca包nt異or集就拐定義塊成。眾所狂周知岸，E是一渠個完疊備集拔。也歌就是鼻說它淘是閉拋的并里且自紅身是漫稠密最的。Ca棵nt增or集F并不求包含援任何彩區(qū)間損，它拔的一猛維勒島貝格錄測度級等于麥零。拿但是炕，E是不習可數(shù)鍛的，巴它的貨零維扒勒貝晶格測眨度是禍無窮尊大。思這種清相當發(fā)簡單驕的研宏究給示了我懇們一癢個啟述示：鹽對于朽精確航地度驢量E的“躬體積野”，央勒貝侵格測供度是段太粗忌糙了(事實再上這墾是分肢形集晝的一辮般特縱征)。然山而，攀豪斯玩道夫爺引進蠅了一僑種測欄度，裁這種勸測度袖將一峽個有萄限的例非零番數(shù)與司集C聯(lián)系勢在一禽起。現(xiàn)在管我們論給出Ca西nt符or集的耗具體剃作法混（見說圖3.閥1）。圓設E0表示金線段[0，1]上所陸有實鞏數(shù)的城集合祝，把驢線段[0，1]分成串三等虜份，盡把中元央的腿三分他之一添部分[1扮/3，2/久3]去掉愉，用E1表示叼這?？谙聝闪€線煤段[0，1/獎3]，[2脂/3，1]。接駛著，水把剩么余的供線段[0，1/舅3]，[2儲/3，1]再分蒜別分更成三終等份懶，去速掉各揚自中攻央的坡三分設之一瞇部分[1晝/9，2/吃9]，[7謠/9，8/六9]，用E2表示津剩下污四個墾線段[0，1/攪9]，[2吉/9，1/啦3]，[2該/3，7/咐9]，[8固/9，1]。這舟種作堅法不女斷重摸復下凍去，叮得到Ca滅nt艦or集F。三幫分Ca仁nt咽or集F是由于屬于蓋所有Ek當k趨于惜無窮亡時的訊極限不，是格一個五不可深數(shù)的本無窮嫂集。主圖3.僑1給出隨了第5級的糖情況作。在割下一門章，伸我們離將給描出Ca獻nt靈or集的喉自相嬌似維倉數(shù)。下面劃列出歡三分Ca徐nt畢or集F的一識些性歉質：(1謊)F是自潮相似歐的。蠶很明霸顯，惑在區(qū)埋間[0，1/昏3]和[2字/3，l]內的F的部斤分與F是幾洲何相章似的畝，相填似比聰為1/欺3。F在E2的四駛個區(qū)踏間內返的部沉分也呀與F相似遵，相齒似比戚為1/頌9。以油此類罰推，喪這個涉集包泛含許混多不暴同比誤例的結與自灰身相觸似的澡子集擺。(2婚)F具有歪“精兔細結到構”嘉。它駐包含屯有任片意小零比例答的細襖節(jié)，凳即在斜任意夫小的得尺度房誠內都軌包含喘整體腦特征糟。越狐放大三蝴分Ca嘉nt原or集的汁圖，枯間隙鼓就越價清楚含地呈且現(xiàn)出踩來。(3膀)盡管F有錯杯綜復養(yǎng)雜的墊細節(jié)線結構復，但E的實特際定宣義卻濱非常額簡單學明了演。(4證)F是由激一個龜?shù)ㄟ^程倍產生星的，己它的姻結構硬是由序重復警去掉朝區(qū)間消中間益的1/平3得到巖。持怒續(xù)的錫步驟患得到驅的Ek是E的越茂來越賄好的品逼近達。(5貼)F的幾傅何性耍質難怖以用原傳統(tǒng)喘的幾輕何術企語來崖描述炕，它端的點捐的軌鋒跡既貨不滿穴足某蒙些簡效單的壓幾何像條件線，也欣不是礎某個師簡單外方程殼的解信集。(6趟)F的局雹部幾按何性誦質也緣瑞是很噸難描冷述的服，在布它的墾每個辟點附繩近都巡壽有大留量被素各種豪不同燥間隔闖分開筐的其嚷它點澇。(7摩)雖然F在某雜種意窗義上顏是相率當大嗓的集(它是爛無限闊不可故數(shù)的)，然掙而它筍是不生能用灣通常細的測鐮度和悅長度考來度咸量，削用任蘭何合裳理的盟長度陵意義樹下，F(xiàn)的長肌度總莖為零凍。圖3.1Cantor集18/97/92/31/32/91/90E0E1E2E3E4E53.抄1.役2尸Ca同nt攀or塵的那構造一個背平面她中的Ca套nt凍or集，鉛稱為壺“Ca善nt暑or塵”[1健9]，如艙圖3.腹2所示法。構覆造“Ca蠅nt揮or塵”閃的步觀驟與馳三分Ca紅nt茄or集的覆類似各，它垃的每俊一步醬驟是捧把正撐方形蜘等分避成16個小柜正方敬形，皂保留浴其中贈四個蕩而把令其余僚的去路掉。虛當然罰，保蹄留不矩同次艘序或河個數(shù)至不同尼的小梨正方巨形，攔可以嗚構造孟出不籌同的講集。爹顯然鍛“Ca平nt犬or塵”簽具有俱與在貨三分Ca烘nt烘or集中汪指出街的那反些性球質相紛似的殊性質礎。圖3.2Cantor塵Ca趁nt排or集的炮構造磨還可艙以有正隨機撿的類梅似形腥式。遣以三源分Ca妙nt躺or集為尚例，出它的籃構造變可以山用幾波種不癥同的雀方法挎隨機杠化。衰每次摟把線矩段分拐成三陜部分黎，但潮不是瀉總去蹄掉中北間的混一段英，可窗以用粱擲骰匆子來拍決定閃去掉尾哪部戚分。猴另外患，也左可以鴉在每最步的州構造杏中隨淹機地錘選擇個區(qū)間欣的長助度，能可以惜在第k步，弱得到2k個不駁同長妄度的肆區(qū)間像，最事終得鑼到一振個看頃起不首規(guī)則疏的圖薪形。一般盤地說巾，在狹構造言隨機塵的Ca刪nt勝or集時掃，有最兩個謹條件處是可便以改價變的膨：其朋一是晃對初置始長串度L0進行榴多少游等分令或不耐等分萍；其陶二是飾留下宏哪些麥部分醫(yī)，去忘掉哪轉些部寶分。及在Ca寸nt耀or三分休集中松，可饅以隨黎機地傅保留翼其中正的兩賺部分誘，每艷部分寨的長容度也稅可以羊是隨境機變吃化的掌。得恰到的卡圖形耀將是揪更加莖錯綜少復雜遠的。3.船2級Ko泄ch曲線3.廟2.北1善Ko護ch曲線汪的構宏造現(xiàn)在蹈我們集介紹Ko烘ch曲線息的構價造(圖3.漆3)。開始才，設琴單位呼長度固的線撕段為E0；第一縮慧步，稻將E0分成饞三等挑份，間去掉敬中間響的一燈段，督并以汁兩條罵長為1/參3的折亞線來箭替代震，得暢到E1；第二睡步，壺將E1中的踢每條能線段雄三等猾份，響去掉售中間銳的一萄段，科用長(l逮/3鏈)2的兩驚條折搖線替呆代，授得到E2；不斷繡重復場這樣外的迭搶代作野法，云無數(shù)緒次迭議代后蟲就生辜成了轎具有蜓無窮證多彎動曲、腸處處碧連續(xù)鉗、處腿處不訂可微邊商的Ko慈ch曲線F。E0E1E2E3F……圖3.3Koch曲線3.焦2.語2哨Ko宰ch曲線蘋的自源相似附性Ko勸ch曲線F是分圖形的豪，因盟為它兔是自以相似謠的。雄自相嘗似性桃就是愧跨尺白度的翼對稱扎性。虛它意古味著母遞歸尊，在郵一個鼠圖形巴內部暴還有垂圖形翻。自舉相似填性指辨的是慣把要減考慮山的圖施形一評部分算放大臟，其春形狀致與整疑體相剛同。捐設想虧把圖3.靠3中Ko艘ch曲線F在區(qū)段間[0，l/本3]中的爐圖形賊放大3倍，千放大枕后的扛圖形均與原腫來的鳥曲線稈形狀租完全叔相同魄。把慰區(qū)間[2貍/3，1]放大3倍，堂也會浪得到梨同樣口結果術。雖爽然區(qū)封間[1胸/3，l/雀2]，[1湖/2，2/英3]的圖付形是吼傾斜饞的，廟但是廈把它偏放大歡，也證會得俗到同蜓樣的倦結果憶。若幻玉把區(qū)懂間[0，1/獅9]的圖殼形放要大9倍，料同樣值也可掘以求挖得與導原來湖相同禿的圖羅形。肚對更豬小的看部分羨進行械放大臘也是鐮如此兇。不崗論多爭小的多部分祝，若秋把它夢放大涉到適申當大預小，鐵應該領能得宰出與纏原來脈相同吼的圖濱形,見圖3.撈4。圖3.4Koch曲線的自相似性放大3倍注意荒到，油在第n步迭涌代時揮，每豪個線垃段的戲長度繭為(1遵/3恭)n，一傷共有4n個這只樣的井線段師。因倘此，Ko額ch曲線錢的長株度在豆第n步時梳為Ln=(聚4/饒3)n（3.選2.阻1）顯然播，當求時n→∞，Ln→∞。這功正是正由于明這條死曲線端是分領形曲責線，摧它的紫維數(shù)芹大于歸一維撕，用殺歐氏勿空間座一維古的尺昆碼去安度量百所得勢到的快結果蹄。下精一章續(xù)我們誼將給米出Ko轎ch曲線猛的分踐形維判數(shù)。3.日2.傲3聰Ko食ch雪花燥的構昌造緒論匯中所剩講的Ko辣ch雪花迷的構網造過早程與Ko野ch曲線無的構雄造過鉗程類止似。鄭實際均上，Ko臺ch雪花懷是由克三條控三次Ko喪ch曲線齒組成妖（見透圖3.費5）。洪它是廳一條周連續(xù)鑄的回貝線，茶永遠謹不會位自我碼相交忘。因燦為每茅邊上購新加牽的三如角形柴部足謝夠小落，以刮致彼患此碰浮不上氏。每嗓一次船變換煤在曲槽線內阿部增券加一豬點面菜積，皺但總檔面積情仍是莫有限店的。偽事實宋上比扁初始腸的三血角形屑大不驢了多訴少。賭如果熱畫一姿個外節(jié)接圓繞把初虎始的偉三角懶形包蜘起來秀，Ko術ch雪花慢的周滴長曲憑線永雷遠不停會超延出這習個圓堵之外容。然而趟，曲議線本記身卻鞠是無犧限之鏟長，舒同任睜何伸折向無鬼邊無扒際的絞宇宙茂深處診的歐眾幾里鄉(xiāng)豐德直們線一蒸樣長亞。就犧像第息一次豈變換足把長1m的每獻邊換天成4個各殃長l/畏3m的線撓段一排樣，壘每一險次變詢換使飯總長患度乘濁上4/胡3，使紋得在稅有限楊空間唱里的榜無限鋸長度壓的曲售線產典生了次。從遮而出蕉現(xiàn)了籌面積遮有限賞，周血長為鏈無限偏長的氧矛盾紐奉的結記果。別這也役說明流了Ko長ch雪花庭的周嚇長曲創(chuàng)線是屆一個水分形肆曲線區(qū)，它絕的維鏟數(shù)是燭大于1的。圖3.5Koch雪花3.棵2.束4隨機Ko曾ch曲線Ko蕩ch曲線概也可揀以“醬隨機漲生成伯”，胞圖3.勉6表示蜻一個獵隨機Ko指ch曲線辮。在沃構造際的每榆一步志，每絨次去億掉區(qū)坊間中治間三處分之斥一的憲部分撐，而哈用與朽去掉差部分呢構成沖等邊毫三角炮形的茅另兩遣條邊炒來代鋒替，道再用屆擲硬停幣的亡方法盈來決宣定新收的部餡分位字于被識去掉半的部患分的長“上瓜邊”倆或“購下邊?！?。醉經過榆幾步獵以后非，得篩到一往個看散起來揀相當佳不規(guī)畢則的亭隨機Ko況ch曲線改，它蝦仍然省保留坊了Ko史ch曲線誘的某賞些特尾征，潔如具窗有精凍細的定結構巖，但Ko久ch曲線宇具有滅的嚴佳格自耕相似咸性已封被它妻所具盆有的劉“統(tǒng)滴計自征相似返性”恰所取澇代。圖3.6隨機Koch曲線E2E3F……E0E13.撐2.格5四次Ko泉ch曲線另外云，還思可以課將Ko工ch曲線制的構沖造方申法加條以推身廣。男改變讓等分油數(shù)目朵。例冤如，雖將一廉條歐銳氏長獨度為L0的直霧線段撓進行謙四等渣分，沫保留任兩端齒的兩臣個小鎮(zhèn)段，會而中退間的晴兩段擋改成溜一個劍向上揭，另壤一個校向下劈燕的小距段，曾使得彼和原掘來的天兩小牌段構幅成兩頌個小置正方陣形，乖如圖3.逝7所示取。將瓣上述呼操作息重復氏下去擊，得桶到一倍條具恢有相攏似結握構的折折線帆，常較稱之押為四鴨次Ko鞋ch曲線夢。這第樣，拾四等尖分之私后，k＝1時，E1的長濕度為8個L0/4的小綠線段繳的長告度。退同樣世用下備一章槍所講江的內總容，置可以脫求出庭其自炮相似軍維數(shù)態(tài)。E0E1圖3.7四次Koch曲線3.顧3Si越er曉pi諒ns望ki墊片3.端3.朝1Si批er甚pi事ns似ki三角尸形波蘭銀數(shù)學難家Si往er物pi博ns搭ki于19梁16年提繭出了鹿一種腰分形憐生成切的方示法，福其圖撫形被脈稱為Si摧er史pi此ns未ki墊片或Si僑er靜pi嗽ns跳ki三角顫形。曾這種螞方法產提供囑了一學個由縣二維溝圖形蝦生成述分形恩集的爭例子跟。這禮個集賄合早紫在“奴分形?！边@譜個術摧語創(chuàng)出立之畢前的賊很長呀時間鹿就廣仁為人觸知了掛。這何個集田合原得來是陪在點撇集拓獅撲中斗提出尤的。唐它的雄構造優(yōu)過程野是：怠令△寨為具糧有頂捉點坐拖標(0慘,摧0)、(1配,租0)和(1塌/2欺,混1)的三較角形營。連捕接這蘿個三氣角形艘三條緞邊的蛙中心堂，將仿這個校三角鉛形分處為四歉個全士等的刮子三偏角形△1，…，△4。刪柿除中考心的受一個牛子三放角形△1，剩前下三項個小△2，△3，△4（令要△(1替)=△1）。將策上述葵方法晴應用闖到剩存下三線個子糠三角日形的塞每一造個上晝，產激生九建個小映三角第形△22,△23，△24，…，△42，△43，△44，以場及它套們被鍵刪除缸的中幫心的定并△(2蝴):＝△21∪△31∪△41(此處涌原文努有誤)。這娘種過尋程無靈限地振延續(xù)推下去稅產生夜一個灶序列{△(k)}，這寫里的△(k)表示樓第k步后3k-1個被筍刪除饅的中降心的膝并。Si城er陽pi盞ns呈ki三角邊形定謠義成(見圖3.蹤蝶8)。很清祝楚，S的一食維勒蛋貝格慕測度蛾是無拼限的發(fā)，它寄的兩經維勒粘貝格務測度穗等于膊零。謝集合S是R2的不羅包含現(xiàn)任何遇面積再的連浩通子盒集。S的構壤造序嗚列，霜任何批一個泛子部巾分都句與它史的整叔體圖予形相折似。竿另外治，S也可早以通政過連持續(xù)應屑用映潔射的約并而途得到編：fi：△?！骼C，i=1福,牲2,托3。（3.球3.宅1）（3.壯3.種2）（3.需3.綢3）每一諸個映膚射都白對應精各自班的圖出象。圖3.8Sierpinski三角形如果答三角硬形是唇一個斤等邊柏三角監(jiān)形，淚將這礦個等繁邊三期角形腦四等拾分，擦用上防述方荒法可爬以類臟似地替得到播四個搞小等配邊三掛角形賠，去鉤掉中榮間的怠一個壁，保垂留其包他三漢個。刺將剩旬下的計三個您小三惜角形擁再分毫別進現(xiàn)行四覺等分鍬，并隱去掉序中間睬的一梅個，煉保留將其他巴三個日。重烘復操鋼作，噴直至綁無窮徹，得次到由爹正三爬角形戴生成半的Si貿er朵pi帥ns輩ki三角剩形。有人磚稱這缸種Si亭er透pi息ns膽ki三角崗形為寒謝爾檢賓斯改基墊老片（Si歐er扔pi凝ns榆kiGa盛sk匠et）。奇圖3.嚴9給出斜了Si挑er兼pi歌ns篩ki墊片盤的生虛成過揀程。該集祖合的步面積烘是零鳴，而哥線的鼻歐氏源長度胸趨于頌無窮強大。圖3.9Sierpinski墊片的形成過程3.辛3.釘2Si救er睡pi釋ns布ki地毯類似合地，撥正方隊形9等分冰成9個小嘉正方挺形，張挖去墾中問聾的一棟個，瞇保留倆四條義邊，賣剩下8個小職正方等形。燈再把站剩下汁的8個小展正方耳形各9等分消，各男自挖引去