2023學(xué)年完整公開課版數(shù)學(xué)歸納法

2、數(shù)學(xué)歸納法：

我們知道，有一些命題是和正整數(shù)有關(guān)的，如果這個(gè)命題的情況有無(wú)限種，那么我們不可能用完全歸納法逐一進(jìn)行證明，而不完全歸納法又不可靠，怎么辦？----用數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)命題的步驟是：（1）證明當(dāng)取第一個(gè)值（如或2等）時(shí)結(jié)論正確；

（2）假設(shè)時(shí)結(jié)論正確，證明時(shí)結(jié)論也正確.(歸納假設(shè)必須用到).歸納奠基歸納遞推(3)下結(jié)論：命題A對(duì)于所有的都成立。例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2（n∈N*）.

證明：

②假設(shè)n=k(k∈N,k≥1)時(shí)等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2，

當(dāng)n=k+1時(shí)：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2

所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。

由①和②可知，對(duì)n∈，原等式都成立。①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立。1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，重點(diǎn)：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。1、三個(gè)步驟缺一不可:第一步是是奠基步驟，是命題論證的基礎(chǔ)，稱之為歸納基礎(chǔ)；第二步是歸納步驟，是推理的依據(jù)，是判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般,它反映了無(wú)限遞推關(guān)系,其中“假設(shè)n=k時(shí)成立”稱為歸納假設(shè)(注意是“假設(shè)”，而不是確認(rèn)命題成立)。如果沒有第一步，第二步就沒有了意義；如果沒有第二步，就成了不完全歸納，結(jié)論就沒有可靠性；第三步是總體結(jié)論，也不可少。2、在第二步的證明中必須用到前面的歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法了。3、數(shù)學(xué)歸納法只適用于和正整數(shù)有關(guān)的命題。由以上可知，用數(shù)學(xué)歸納法需注意：

例2.求證：當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)n=2時(shí)顯然成立②假設(shè)當(dāng)n=k（）時(shí)不等式成立

即

當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

=>=>即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式亦成立。

我們用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)n＝1時(shí)，c1＝0<2，不等式成立；那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，