用樣本估計(jì)總體知識(shí)講解

1/8.用樣本估計(jì)總體1.在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中,學(xué)會(huì)列頻率分布表,畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖.2.通過(guò)實(shí)例體會(huì)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征,從而恰當(dāng)?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布,準(zhǔn)確地做出總體估計(jì).3.正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.4.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征<如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差>,并做出合理的解釋.5.會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征.要點(diǎn)一、頻率分布的概念頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小.一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分1.計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差,即求極差2.決定組距與組數(shù)3.將數(shù)據(jù)分組4.列頻率分布表5.畫(huà)頻率分布直方圖1.從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì).2.從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)表示成直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.要點(diǎn)二、頻率分布折線圖、總體密度曲線連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn),就得到頻率分布折線圖.在樣本頻率分布直方圖中,樣本容量越大,所分組數(shù)越多,相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.總體密度曲線能夠精確地反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比,它能給我們提供更加精細(xì)的信息,能夠精確的反映一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律.要點(diǎn)三、莖葉圖當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí),用中間的數(shù)字表示十位數(shù),即第一個(gè)有效數(shù)字,兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù),即第二個(gè)有效數(shù)字,它的中間部分像植物的莖,兩邊部分像植物莖上長(zhǎng)出來(lái)的葉子,因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖.<1>用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是在統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有原始數(shù)據(jù)信息的損失,所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄,隨時(shí)添加,方便記錄與表示.<2>莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù),而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù),兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄,但是沒(méi)有表示兩個(gè)記錄那么直觀,清晰.要點(diǎn)四、眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).如果變量是分類的,用眾數(shù)是很有必要的.例如班委會(huì)要作出2/8.一項(xiàng)決定,考察全班同學(xué)對(duì)它贊成與否就可以用眾數(shù).2.中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列,把中間數(shù)據(jù)<或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)>叫做中位數(shù).中位數(shù)把樣本數(shù)據(jù)分成了相同數(shù)目的兩部分.3.平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即x=(x+x++x).12n由于眾數(shù)僅能刻畫(huà)某一數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)較多,中位數(shù)對(duì)極端值不敏感,而平均數(shù)又受極端值左右,因此這些因素制約了僅依賴這些數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體數(shù)字特征的準(zhǔn)確性.要點(diǎn)五、標(biāo)準(zhǔn)差與方差n樣本數(shù)據(jù)n2,<1>算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x.ii<4>算出<3>中n個(gè)平方數(shù)的平均數(shù),即為樣本方差.<5>算出<4>中平均數(shù)的算術(shù)平方根,,即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.2.方差從數(shù)學(xué)的角度考慮,人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2<即方差>來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)差,作為測(cè)量樣本數(shù)據(jù)分散程度的在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的分散程度上,方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的,但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.數(shù)據(jù)的離散值程度可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度；樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大??；樣本方差的算術(shù)根表示樣本的標(biāo)準(zhǔn)差,它也描述了數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的離散程度.類型一：頻率分布表、頻率分布直方圖同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖〔如下圖所示．已知從左到右各長(zhǎng)方形41[解析]〔1依題意知第三組的頻率為=．3/8.∴本次活動(dòng)的參評(píng)作品數(shù)為=60件．5105〔3第四組的獲獎(jiǎng)率是=189,269顯然第六組的獲獎(jiǎng)率較高．[總結(jié)升華]弄清所求問(wèn)題是什么,并正確地運(yùn)算是做對(duì)題的關(guān)鍵．本題主要考查同學(xué)們對(duì)頻率分布直方圖的理解,只有熟悉它的特征,才能清楚數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì),根據(jù)直方圖反映的信息正確解題．的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī),得到了樣本的頻率分布直方圖〔如下圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖推測(cè),這3000名學(xué)例2．閱高考試卷有一個(gè)環(huán)節(jié)叫"試批"．某省為了了解和掌握考生的實(shí)際答卷情況,隨機(jī)地抽取了100名考生的數(shù)學(xué)成績(jī),數(shù)據(jù)如下〔單位：分：〔5根據(jù)折線圖估計(jì)該省考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谀囊粋€(gè)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)將會(huì)最多．[思路點(diǎn)撥]理解頻率分布直方圖的具體含義.極差55組數(shù)11把100個(gè)數(shù)據(jù)分成11組,這時(shí)組距===5組數(shù)11數(shù)1率頻率組距4/8.24962計(jì)1〔2根據(jù)頻率分布表中的有關(guān)信息畫(huà)出頻率分布直方圖及折線圖,見(jiàn)下圖．〔2根據(jù)頻率分布表中的有關(guān)信息畫(huà)出頻率分布直方圖及折線圖,見(jiàn)下圖．〔5折線圖的最高點(diǎn)位于100~105之間,據(jù)此估計(jì)該省考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?00~105分這個(gè)分?jǐn)?shù)段的人教條化．本例是把5分看成一個(gè)分?jǐn)?shù)段,統(tǒng)計(jì)各段的情況．1174210[答案]D頻率===．4400~500200~300500~600300~400100~200個(gè)數(shù)〔3估計(jì)該電子元件壽命在100~400h以內(nèi)的占總體的比例；[解析].100~200200~300300~400400~500500~600計(jì)數(shù)率1類型二：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)務(wù)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)事總經(jīng)理理管理員員數(shù)112153工資〔元平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？〔精確到元〔3你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司人員的工資水平？結(jié)合此問(wèn)題談一談你的看法．[思路點(diǎn)撥]理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的概念．〔3在這個(gè)問(wèn)題中,中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司人員的工資水平．因?yàn)楣局猩贁?shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大,這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大,所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司人員的工資水平．反映樣本數(shù)據(jù)上的特點(diǎn),結(jié)合實(shí)際情況,靈活運(yùn)用．〔2眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)三者比較,平均數(shù)更能體現(xiàn)每個(gè)數(shù)據(jù)的特征,它是各數(shù)據(jù)的重心．[變式1]為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫(huà)出頻率分布直方圖<如圖>,圖中從左到右各小組在這次測(cè)試中,學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個(gè)小組內(nèi)？請(qǐng)說(shuō)明理由.5頻率/組距6/8.在頻率分布直方圖中,各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率,小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比,各組頻數(shù)之和等于樣本容量,頻率之和等于1.<1>由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小,又因?yàn)轭l率=第二小組頻數(shù)所以樣本容量=第二小組頻數(shù)<2>由圖可估計(jì)該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為<3>由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6,12,51,45,27,9,所以前三組的頻數(shù)之和為69,前四組的頻數(shù)之和為114,所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi).類型三：方差、標(biāo)準(zhǔn)差：人數(shù)甲組624542180>2+6<100－80>2]=<2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400>=172,1s2=<4×900+4×400+16－100+2×0+12×100+12×400>=256．乙50甲乙,績(jī)好些．0好[總結(jié)升華]要正確解答這道題,首先要抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵詞語(yǔ)．全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算,而不能習(xí)慣地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績(jī)好,像這樣的實(shí)際問(wèn)題還得從實(shí)際的角度去分析,如本例的"滿分人數(shù)"；其次要在恰當(dāng)?shù)卦u(píng)估后,組織好正確的語(yǔ)言作出結(jié)論．10.210.110.09.89.97/8.10.39.710.09.910.110.310.49.69.910.110.98.99.710.210.0分別計(jì)算上面兩個(gè)樣本的平均數(shù)和方差.如圖紙規(guī)定零件的尺寸為10mm,從計(jì)算的結(jié)果來(lái)看哪臺(tái)機(jī)床加工111甲10乙10s22∴用甲機(jī)床比乙機(jī)床穩(wěn)定,即用甲機(jī)床加工較合適.類型四：莖葉圖某中學(xué)高二〔2班甲、乙兩名學(xué)生自進(jìn)入高中以來(lái),每次數(shù)學(xué)考試成績(jī)情況如下：畫(huà)出兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖,并根據(jù)莖葉圖對(duì)兩人的成績(jī)進(jìn)行比較．[思路點(diǎn)撥]莖葉圖便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù),而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)