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文檔簡介

一、定積分的概念第二節(jié)定積分(一)二、定積分的性質(zhì)引例曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線兩直線所圍成,求其面積A

。矩形面積梯形面積解決步驟:1)

分割.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;2)

作積.在第i

個小曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)小曲邊梯形面積得3)求和.4)取極限.令則曲邊梯形面積一、定積分定義在[a,b]內(nèi)任一分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時稱

f(x)在[a,b]上可積。記作積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達式積分變量積分和注：定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即例1.利用定義計算定積分取解:將[0,1]n

等分,分點為定積分的充分條件:定理3.4定理3.5且只有有限個間斷點定理3.6并且為單調(diào)定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值各部分面積的代數(shù)和(3)一般f(x),

例2.利用定積分的幾何意義求定積分的值：

解：被積函數(shù)為由定積分的幾何意義知此定積分等于由曲線及x軸，x=-1,x=1所圍成的圖形面積。二、定積分的性質(zhì)證:=右端擴展:(k為常數(shù))abxyk注:

a,b,c

為任意實數(shù)。積分可加性當(dāng)a,b,c

的相對位置任意時,例如則有5.

若在[a,b]

上則證:則若在[a,b]

上則則類似的：推論1.

若在[a,b]上則例3.比較解:設(shè)則即推論2.證:即6.

設(shè)則例4.

估計積分解：是增函數(shù)，所以7.

定積分中值定理則至少存在一點使證:則由性質(zhì)6可得所以使因此定理成立.故說明:

幾何解釋：使得該矩形的面積等于曲邊梯形的面積.

積分中值定理對在[a,b]上，至少存在一點（補充）8.

偶倍奇零思考：證明略，從幾何意義入手理解定積分的定義特別注意與不定積分的區(qū)別3.定積分的性質(zhì)八條性質(zhì)在計算

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