高中數(shù)學二學案：1.2.3 第5課時　線面垂直的綜合應(yīng)用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第5課時線面垂直的綜合應(yīng)用學習目標1。理解斜線在平面內(nèi)的射影及與平面所成角的概念，會求簡單的線面角。2.理解點到平面的距離的概念，會求簡單的點面距離.3。線面平行與垂直的有關(guān)定理的綜合運用.知識點一直線與平面所成的角思考直線與平面所成的角是如何定義的?取值范圍是什么?梳理有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線與一個平面______，但不和這個平面____,圖中______斜足斜線與平面的____，圖中______射影過平面外一點P向平面α引斜線和垂線,那么過____和______的直線就是斜線在平面內(nèi)的正投影(簡稱射影)，線段______就是斜線段PA在平面α內(nèi)的射影直線與平面所成的角定義:平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角,圖中為______，規(guī)定：一條直線垂直于平面,它們所成的角是____；一條直線與平面平行或在平面內(nèi),它們所成的角是______的角取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，則____________知識點二兩種距離1.點到平面的距離從平面外一點引平面的垂線，這個點和________間的距離,叫做這個點到這個平面的距離.2.直線和平面的距離一條直線和一個平面平行，這條直線上____________到這個平面的距離，叫做這條直線和這個平面的距離.類型一與線面角有關(guān)的問題例1已知∠BAC在平面α內(nèi)，P?α，∠PAB＝∠PAC。求證:點P在平面α內(nèi)的射影在∠BAC的平分線上.反思與感悟(1)求直線和平面所成角的步驟①尋找過斜線上一點與平面垂直的直線；②連結(jié)垂足和斜足得到斜線在平面上的射影,斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角.（2)在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵,幾何圖形的特征是找射影的依據(jù),圖形中的特殊點是突破口。跟蹤訓練1如圖所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC,C1H⊥AB,證明：點H是C1在平面ABC內(nèi)的射影。類型二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例2如圖,在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC，E是PC的中點。求證:(1)CD⊥AE；（2)PD⊥平面ABE.反思與感悟證明線面垂直的核心是證明線線垂直，而證明線線垂直又可借助于線面垂直的性質(zhì)。因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.跟蹤訓練2如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中,∠BAC＝90°,AB＝AC＝a,AA1＝2a，D為棱B1B的中點。（1）證明：A1C1∥平面ACD；（2）求異面直線AC與A1D所成角的大??；（3）證明:直線A1D⊥平面ADC。1.下列說法：①平面的斜線與平面所成的角的取值范圍是0°<θ<90°;②直線與平面所成的角的取值范圍是0°<θ≤90°;③若兩條直線與一個平面所成的角相等,則這兩條直線互相平行;④若兩條直線互相平行，則這兩條直線與一個平面所成的角相等。其中正確的是________.（填序號)2。AB是平面α的斜線段，其長為a,它在平面α內(nèi)的射影A′B的長為b，則垂線A′A的長為________。3。在長方體ABCD—A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1內(nèi)，MN⊥BC于M，則MN與AB的位置關(guān)系為______。4。若長方體ABCD—A1B1C1D1的底面邊長為1，AB1與底面ABCD成60°角，則A1C1到底面ABCD的距離為____________。5。如圖所示，平面ABB1A1為圓柱OO1的軸截面，點C為底面圓周上異于A，B的任意一點。(1）求證：BC⊥平面A1AC；(2)若D為AC的中點，求證：A1D∥平面O1BC.立體幾何中經(jīng)常遇到由一個點向一個平面引垂線的問題，垂線的位置是由這個點在平面內(nèi)的射影來確定的，因此這個點的射影就是一個關(guān)鍵量，一般來說,可以直接由這個點作平面的垂線，然后通過證明或計算說明垂足的位置，也可以借助一些常見結(jié)論進行確定，如：(1)如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上。（2）經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線與這個角的兩邊的夾角相等，那么斜線在平面內(nèi)的射影是這個角的平分線所在的直線.

答案精析問題導學知識點一思考平面的一條斜線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線與這個平面所成的角．規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線與平面平行或在平面內(nèi),我們說它們所成的角是0°的角．直線與平面所成的角θ的取值范圍是［0°，90°］．梳理相交垂直直線PA交點點A斜足A垂足OOA∠PAO直角0°0°≤θ≤90°知識點二1．垂足2。任意一點題型探究例1證明如圖所示，作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為O，E,F，連結(jié)OE，OF,OA。eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(PE⊥AB,PF⊥AC,∠PAE＝∠PAF,PA＝PA))?Rt△PAE≌Rt△PAF?AE＝AF。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PO⊥α，AB?α))?\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（AB⊥PO，AB⊥PE，PO∩PE＝P)））)?AB⊥平面PEO?AB⊥OE。同理，AC⊥OF.在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE＝AF，OA＝OA，所以Rt△AOE≌Rt△AOF.于是∠EAO＝∠FAO，因此，點P在α內(nèi)的射影O在∠BAC的平分線上．跟蹤訓練1證明連結(jié)AC1?！摺螧AC＝90°,∴AB⊥AC，又AC⊥BC1,BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1。又∵C1H?平面ABC1，∴AC⊥C1H.又AB⊥C1H,AB∩AC＝A,∴C1H⊥平面ABC，∴點H是C1在平面ABC上的射影．例2證明（1)在四棱錐P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD?！逜C⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點,∴AE⊥PC.由(1）知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD。而PD?平面PCD，∴AE⊥PD。∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD,又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD。又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.跟蹤訓練2（1）證明在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1。又A1C1?平面ACD,AC?平面ACD,∴A1C1∥平面ACD。（2)解在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又∠BAC＝90°，∴AC⊥AB.∵AA1∩AB＝A，∴AC⊥平面A1ABB1，又A1D?平面A1ABB1，∴AC⊥A1D?！喈惷嬷本€AC與A1D所成的角為90°。(3）證明∵△A1B1D和△ABD都為等腰直角三角形，∴∠A1DB1＝∠ADB＝45°，∴∠A1DA＝90°，即A1D⊥AD。由(2)知，A1D⊥AC，且AD∩AC＝A,∴A1D⊥平面ADC.當堂訓練1．①④2。eq\r(a2－b2)3。垂直4。eq\r（3）解析依題可知∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，∴A1A即為A1C1到底面ABCD的距離．由題意得A1A＝B1B＝eq\r（3）。5．證明(1)∵AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上的任意一點，∴BC⊥AC.又在圓柱OO1中，AA1⊥底面⊙O,∴AA1⊥BC，又AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面A1AC。(2)取BC的中點E，連結(jié)DE，O1E,∵D為AC的中點,∴在△ABC中，DE∥AB，且DE＝eq\f(1,2)AB，又在圓柱OO1中,A1O1∥AB,且A1O1＝eq