數(shù)列專 求和方法

數(shù)列專題四）數(shù)列求和方法一直求法或式）掌握一些常見的數(shù)列的前n項：

1…+n=

nn2

，1+3+5+…

2…2=

nn1)(2n6

，

…+n3=

n2

等.例1求

2222

．解：原式

2)22)2)992

．由等差數(shù)列求和公式，得原式

2

．變練：已知

3

2

，求

x

的前和.1解1

2

二倒相法此方法源于等差數(shù)列前n項和公式的推導，目在于利用與首末兩項等距離的兩項相加有公因式可提取，以便化簡后求例2求

2222232

的和．解：設

12

12221022222則

2221222

．兩式相加，得

S

1

222n222n三裂相法常見的拆項公式有：

11()n()knn

，

(nn)

，111()(21)(2n2n2n

，等例3已

12

1(n6

，求

312

7212

2

2

(

的和．解：n

12

2

2

16

2nn

6nn

，11121ln.

?。汗麛?shù)列

{}n

的通項公式很容易表示成另一個數(shù){}n

的相鄰兩項的差即

n

n

，則有

n

1

這種方法就稱為裂項相消和.變練：數(shù)列

111，，，，，…的前項S.1n(n解∵

1=((2

）=

12

11)))=2

112nn=

34n2

34n234n34n+13nn+1an2234n234n34n+13nn+1an22四錯相法源于等比數(shù)列前項公式的推導，對于形如{a}n

的數(shù)列，其中

{}n

為等差數(shù)列，

{}n

為等比數(shù)列，均可用此.例4求

xx2xnx

n

的和．解：當時Sn

2n1

)n1

n

；當

x

時，

n

2

．小結：錯位相減法的步驟是：①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列③利用等比數(shù)列的前項和公式求和.

{}n

的公比；②將兩個等式相減；變練：數(shù)列a,2a

2

,3a,4a,…,…(a為數(shù)的前n項。解）則Sn（2若則S=1+2+3+…n（3若a且≠1

(n則Sn

++

，∴an

2

+2aa

+…+na∴(1-a)=a+n

2

+

+

-naan=naann(∴=)2當時此也成立?！?n五分求法

((aann()2若數(shù)列的通項是若干項的代數(shù)和，可將其分成幾部分來例5求列

11124816

，

的前

項和

S

n

．S(2n

11n234

12n

11(2

．3

ｎ**ｎ**1變練：數(shù)列,239

11,4的前n項和27解：

n

2

2基本練習1.等數(shù){}前項S＝－，ｎ

21

22

23

a

2n

＝2.設n，S＝_______________________.n

14(3n114(3)

數(shù)列1,(12),(12,(12n的通公a

，n項和

135,,,,2222

,

的n項為提高練習．數(shù)列{}足＝1，且對任意的m∈N都：＝＋＋mn則n1mn

()A

40162009

B

20082009

C．

20071004

D．

20072008．數(shù)列{a}{}是公差為1的差列，若其首項滿足a＋b＝5，＞，a，b∈nn11N，則數(shù)列{

}項的和等于

()AB．85．70D55．設m=1×2+2×3+3×4+…+(-1)·，則等

()

n(

23

11(nC.n+5)22

n(n+7)4

n-122n-12222．若…·n則+S＋等nA.1B.-1C.0

()．設{}等數(shù),{}等數(shù)列，且bca,若數(shù)列{c}1,1,2,…,則{c}前10n1nnn項和為B.557C.467．100+的是B.5050C.10100．一個有項且各項非零的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為

()()．若1+2++(n-1)anbncn，則=b=,=.．已知等差數(shù)列{}首a＝1公差＞0且其第二項、第五項、第十四項分別等比n數(shù)列{}第、三、四項．n(1)求數(shù)列{}{}通公式；n(2)設數(shù)列{}任意自然數(shù)n均有n

cc12nbb123n

n

成立．求c＋＋c的．1220035

nnnnnn10已知數(shù){}前n項滿足:=2ann≥1.nn(1)求證數(shù)列{a+(-1)

}等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{}通項公式；n(3)證明：對任意的整數(shù)m有

7.a8456

22n-1n-1222n-1n-12基練答n、2、

(

n11、4、n

、

S

nn

。提練答．解：∵＝＋＋mn∴a＝＋＋＝＋1＋，mnnn11n∴利用疊加法得到：

a

nn12，∴2()2(nnn

，∴

1111))aaaa23200820092009123

40162009

．答案：．解：∵＝＋－1，＝＋nnn1∴

＝a＋b－＝＋b＋―1)―1111＝a＋＋n－25＋n＝n＋311則數(shù)列{a}是等差數(shù)列，并且前項和等于：答案：．解：因為=.則依據(jù)分組集合即n答案

42

85．解：對前項和要分奇偶分別解決，即：n答案：A

(n為奇)2n(n為偶)．解由題意可得設公比為,差為,1

22d∴qq=0,∵q≠∴q=2,∴a=2=(n∴+1-n,∴nnn答案：A．解：并項求和，每兩項合并，原…答案：．解設數(shù)列{},其中間項為n1001則=+a+a++=1001S++a+…=10003520011001262000答案．解：原式=

(n2nn67

2nn1220022003nn-1n-1nnn-11nnnnnn-1nn-2n-2n33())2nn1220022003nn-1n-1nnn-11nnnnnn-1nn-2n-2n33())11答案：;2．解：(1)題意得(a＋)(＋13d＝(a＋)11解得＝2，∴a＝－1可得b＝nn(2)當＝1時c＝31

(d當≥2時由

nnn

，得c＝2·3，n故

nc2n2).故c＋＋＋…c＝3＋2×＋2＋…＋×＝3．1210(1)證明由知得=S=2a-(-1)(n2),nnnn-1化簡得a+2(-1)(≥2),nn-1上式可化為+n

21(-1)a+］n∵=1,33故數(shù)列{(-1)}以為首項，公比為2的比數(shù)列2(2)解由1可知a.3∴a=n

222×2-(-1)［-(-1)］故列{}通項公式為［-(-1)］.nn1(3)證由知得