線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述邱

1.1控制理論的發(fā)展歷史1945年開始形成的1765年俄國機(jī)械師波爾祖諾夫發(fā)明了蒸汽機(jī)鍋爐水位調(diào)節(jié)器1784年英國人瓦特(Watt)發(fā)明了蒸汽機(jī)離心式調(diào)速器1877年勞斯(Routh)和赫爾維茨(Hurwitz)提出判定系統(tǒng)穩(wěn)定的代數(shù)判據(jù)19世紀(jì)前半葉，生產(chǎn)中開始使用發(fā)電機(jī)和電動機(jī)

19世紀(jì)末到20世紀(jì)前半葉，內(nèi)燃機(jī)的使用二次世界大戰(zhàn)中，搭起了經(jīng)典控制理論的框架，戰(zhàn)后這些理論被公開，并應(yīng)用于一般的工業(yè)生產(chǎn)過程中1目前一頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)經(jīng)典控制理論（20世紀(jì)40—60年代）

1932年奈奎斯特(Nyquist)的《再生理論》一文，開辟了頻域法的新途徑；1945年伯德(Bode)的《網(wǎng)絡(luò)分析和反饋放大器設(shè)計(jì)》一文，奠定了經(jīng)典控制理論的理論基礎(chǔ)，在西方開始形成了自動控制學(xué)科；1947年美國出版了第一本自動控制教材《伺服機(jī)件原理》；1948年美國麻省理工學(xué)院出版了另一本《伺服機(jī)件原理》教材，建立了現(xiàn)在廣泛使用的頻域法；1948年維納(Wiener)在他的名著《控制論：或關(guān)于在動物和機(jī)器中控制和通信的科學(xué)》中基于信息的觀點(diǎn)給控制論(Cybernetics)下了一個廣義的定義。而在控制工程中又稱為控制理論(ControlTheory)。20世紀(jì)50年代是經(jīng)典控制理論發(fā)展和成熟的時期。2目前二頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)經(jīng)典控制理論的特點(diǎn)：1）把系統(tǒng)當(dāng)作“黑箱”，不反映黑箱內(nèi)系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量，只反映外部變量，即輸入輸出間的因果關(guān)系；2）傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)，研究系統(tǒng)外部特性，屬于外部描述，不完全描述；3）主要采用頻域法，建立在根軌跡和奈奎斯特判據(jù)等基礎(chǔ)之上的；4）局限性：局限于線性定常系統(tǒng)，不適合非線性和時變系統(tǒng)是分析方法而不是最佳的綜合方法，以試湊法為主，滿足性能指標(biāo)為目的，無法設(shè)計(jì)出最優(yōu)的系統(tǒng)，僅針對某個性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)方案多樣局限于單輸入單輸出系統(tǒng)（SISO系統(tǒng)）無法考慮系統(tǒng)的初始條件（傳遞函數(shù)的定義）只能研究確定性的系統(tǒng)，不適合隨機(jī)系統(tǒng)目前三頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)現(xiàn)代控制理論的產(chǎn)生和發(fā)展在二十世紀(jì)五十年代末開始，隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，推動了核能技術(shù)、空間技術(shù)的發(fā)展，從而出現(xiàn)了對多輸入多輸出系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)問題的解決需求。越來越復(fù)雜的系統(tǒng)，經(jīng)典控制理論已不能勝任，于50年代末60年代初出現(xiàn)了現(xiàn)代控制理論，是建立在古典控制理論基礎(chǔ)上的新一代的控制理論。目前四頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)現(xiàn)代控制理論（20世紀(jì)60年代中期成熟）20世紀(jì)50年代末60年代初，空間技術(shù)開始發(fā)展，前蘇聯(lián)和美國都競相進(jìn)行了大量研究。1960年在美國自動控制聯(lián)合會第一屆年會上首次提出“現(xiàn)代控制理論”這個名詞。在狀態(tài)空間法發(fā)展初期，具有重要意義的是龐特里亞金（Pontryagin）的極大值原理。貝爾曼（Bellman）的動態(tài)規(guī)劃理論和卡爾曼（Kalman）的最佳濾波理論，有人把它們作為現(xiàn)代控制理論的起點(diǎn)，主要研究系統(tǒng)辨識、最優(yōu)控制、最佳濾波及自適應(yīng)控制等內(nèi)容。5目前五頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)20世紀(jì)70年代后期，控制理論向廣度和深度發(fā)展的結(jié)果。大系統(tǒng)理論和智能控制理論大系統(tǒng)是指規(guī)模龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、變量眾多的信息與控制系統(tǒng)，它涉及生產(chǎn)過程、交通運(yùn)輸、計(jì)劃管理、環(huán)境保護(hù)、空間技術(shù)等多方面的控制和信息處理問題。智能控制則研究模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等某些具有仿生智能的工程控制與信息處理系統(tǒng)。20世紀(jì)80年代以后，又相繼提出了魯棒控制系統(tǒng)、容錯控制系統(tǒng)、復(fù)雜適應(yīng)系統(tǒng)等一些概念。6目前六頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)

現(xiàn)代控制理論與經(jīng)典控制理論的差異經(jīng)典控制理論現(xiàn)代控制理論

研究對象單輸入單輸出系統(tǒng)(SISO):高階微分方程

多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO):一階微分方程

研究方法傳遞函數(shù)法(外部描述)

狀態(tài)空間法(內(nèi)部描述)

研究工具拉普拉斯變換

線性代數(shù)，矩陣?yán)碚摲治龇椒l域(復(fù)域),頻率響應(yīng)和根軌跡法

復(fù)域、實(shí)域，可控和可觀測

設(shè)計(jì)方法PID控制和校正網(wǎng)絡(luò)

狀態(tài)反饋和輸出反饋

其他

頻率法的物理意義直觀、實(shí)用，難于實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制

易于實(shí)現(xiàn)實(shí)時控制和最優(yōu)控制目前七頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)1.2控制理論的性質(zhì)控制理論有兩個目標(biāo)：了解基本控制原理；以數(shù)學(xué)表達(dá)它們，使它們最終能用以計(jì)算進(jìn)人系統(tǒng)的控制輸入，或用以設(shè)計(jì)自動控制系統(tǒng)。自動控制領(lǐng)域中有兩個不同的但又相互聯(lián)系的主題。第一個主題是反饋的概念。第二個主題是最優(yōu)控制的概念。反饋概括了很廣泛的概念，包括當(dāng)前系統(tǒng)中的多回路、非線性和自適直反饋，以及將來的智能反饋。目前八頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)1.3控制理論的應(yīng)用控制系統(tǒng)之所以能得到如此普遍的應(yīng)用，1、現(xiàn)代儀表化(完備的傳感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu))與便宜的電子硬件，2、控制理論有處理其模型和輸出信號所具有的不確定性動態(tài)系統(tǒng)的能力。在控制理論中已完善的各種方法愈來愈得到普遍應(yīng)用的同時，先進(jìn)的理論概念的應(yīng)用卻仍集中在像空間工程那樣的高技術(shù)方面。當(dāng)然，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和世界性的激烈的工業(yè)競爭，這種情況將會改變。鋼鐵行業(yè)中熱軋廠是最早成功地采用計(jì)算機(jī)控制的工廠?？刂聘拍畹玫街饕獞?yīng)用的一個領(lǐng)域是石油化工生產(chǎn)過程。目前九頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)1.4控制一個動態(tài)系統(tǒng)的幾個基本步驟簡單地說，控制一個動態(tài)系統(tǒng)有下列四個基本步驟：建?；谖锢硪?guī)律建立數(shù)學(xué)模型；系統(tǒng)辨識基于輸入輸出實(shí)測數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型；信號處理用濾波、預(yù)報(bào)、狀態(tài)估計(jì)等方法處理輸出；綜合控制輸入用各種控制規(guī)律綜合輸入。1．建模為一個系統(tǒng)選擇一個數(shù)學(xué)模型是控制工程中最重要的工作。2．系統(tǒng)辨識系統(tǒng)辨識可以定義為用在一個動態(tài)系統(tǒng)上觀察到的輸入與輸出數(shù)據(jù)來確定它的模型的過程。目前十頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)當(dāng)前系統(tǒng)辨識方面的研究集中在下列諸基本問題上：辨識問題的可解性和問題提出的恰當(dāng)性、對各類模型的參數(shù)估計(jì)方法。信號處理是控制理論外面的獨(dú)立的一門學(xué)科，但這兩學(xué)科之問有許多重疊之處，而控制界曾對信號處理作出了重要貢獻(xiàn)，特別是在濾波和平滑的領(lǐng)域。3．信號處理4．控制的綜合這些過程的復(fù)雜性導(dǎo)致了各種控制研究課題，主要有：魯棒控制理論適應(yīng)控制一多變量控制非線性控制理論分布參數(shù)控制其它控制目前十一頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)第二章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述12目前十二頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)本章主要內(nèi)容2.1狀態(tài)空間分析法2.2狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.3狀態(tài)空間描述的建立2.4化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述及其幾種標(biāo)準(zhǔn)形式2.5由狀態(tài)空間求傳遞函數(shù)2.6離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.7狀態(tài)矢量的線性變換13目前十三頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)系統(tǒng)描述中常用的基本概念

系統(tǒng)的外部描述傳遞函數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)部描述狀態(tài)空間描述由外部描述求其內(nèi)部描述

系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)14目前十四頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)1、外部描述

經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)一般可用常微分方程在時域內(nèi)描述，對復(fù)雜系統(tǒng)要求解高階微分方程，這是相當(dāng)困難的。經(jīng)典控制理論中采用拉氏變換法在復(fù)頻域內(nèi)描述系統(tǒng)，得到聯(lián)系輸入-輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)，基于傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)SISO系統(tǒng)極為有效，可從傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布得出系統(tǒng)定性特性，并已建立起一整套圖解分析設(shè)計(jì)法，至今仍得到廣泛成功地應(yīng)用。但傳遞函數(shù)對系統(tǒng)是一種外部描述，它不能描述處于系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動變量；且忽略了初始條件。因此傳遞函數(shù)不能包含系統(tǒng)的所有信息。15目前十五頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)2、內(nèi)部描述

由于六十年代以來，控制工程向復(fù)雜化、高性能方向發(fā)展，所需利用的信息不局限于輸入量、輸出量、誤差等，還需要利用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變化規(guī)律，加之利用數(shù)字計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)及實(shí)時控制，因而可能處理復(fù)雜的時變、非線性、MIMO系統(tǒng)的問題，但傳遞函數(shù)法在這新領(lǐng)域的應(yīng)用受到很大限制。于是需要用新的對系統(tǒng)內(nèi)部進(jìn)行描述的新方法：狀態(tài)空間分析法。16目前十六頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)為什么采用狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）？觀察：在經(jīng)典控制理論中，對一個不穩(wěn)定系統(tǒng)（在S右半平面有一個極點(diǎn)）為使系統(tǒng)穩(wěn)定，加一個補(bǔ)償環(huán)節(jié)總傳遞函數(shù)為：結(jié)果穩(wěn)定嗎？17目前十七頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)∫∫uy建立模擬計(jì)算機(jī)仿真圖寫出狀態(tài)空間表達(dá)式求解狀態(tài)方程：18目前十八頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)從內(nèi)部看：由于包含了不穩(wěn)定從外部看：總傳遞函數(shù)為：穩(wěn)定

差異的原因？若初始條件為零：則：傳遞函數(shù)的定義：在零初始條件下，輸出的拉氏變化與輸入的拉氏變化之比能否始終保持零初始條件事實(shí)上：精確依賴零極點(diǎn)對消元件性能的差異初始條件不為零導(dǎo)致不穩(wěn)定19目前十九頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)2.1狀態(tài)空間分析法狀態(tài)空間分析法例子狀態(tài)變量和狀態(tài)矢量狀態(tài)空間和狀態(tài)空間描述20目前二十頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)一、狀態(tài)空間分析法例子1、R-L-C電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)解：以作為中間變量，列寫該回路的微分方程

選21目前二十一頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)

為系統(tǒng)兩狀態(tài)變量，則原方程可化成寫成矩陣方程：

22目前二十二頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)一、狀態(tài)空間分析法例子2、機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述外力

位移根據(jù)牛頓力學(xué)原理令---彈性系數(shù)阻尼系數(shù)23目前二十三頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)動態(tài)方程如下24目前二十四頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)狀態(tài)空間描述為：

25目前二十五頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)二、狀態(tài)變量和狀態(tài)矢量狀態(tài)：指系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)（可以是物理的或非物理的）。狀態(tài)可以理解為系統(tǒng)記憶，t=t0時刻的初始狀態(tài)能記憶系統(tǒng)在t<t0時的全部輸入信息。狀態(tài)變量：指足以完全描述系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量。完全描述：如果給定了t=t0時刻這組變量值，和t>=t0時輸入的時間函數(shù)，那么，系統(tǒng)在t>=t0的任何瞬間的行為就完全確定了。最小個數(shù)：意味著這組變量是互相獨(dú)立的。一個用n階微分方程描述的含有n個獨(dú)立變量的系統(tǒng)，當(dāng)求得n個獨(dú)立變量隨時間變化的規(guī)律時，系統(tǒng)狀態(tài)可完全確定。若變量數(shù)目多于n，必有變量不獨(dú)立；若少于n，又不足以描述系統(tǒng)狀態(tài)。26目前二十六頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)

狀態(tài)變量的選取具有非唯一性，即可用某一組、也可用另一組數(shù)目最少的變量。狀態(tài)變量不一定要象系統(tǒng)輸出量那樣，在物理上是可測量或可觀察的量，但在實(shí)用上畢竟還是選擇容易測量的一些量，以便滿足實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋、改善系統(tǒng)性能的需要。27目前二十七頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)狀態(tài)矢量：把這幾個狀態(tài)變量看成是矢量的分量，則稱為狀態(tài)矢量。記作：或：28目前二十八頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維空間。在某一特定時刻t，狀態(tài)向量是狀態(tài)空間的一個點(diǎn)。狀態(tài)軌跡：以為起點(diǎn)，隨著時間的推移，在狀態(tài)空間繪出的一條軌跡。三、狀態(tài)空間和狀態(tài)空間描述29目前二十九頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)狀態(tài)空間描述

用狀態(tài)變量構(gòu)成輸入、輸出與狀態(tài)之間的關(guān)系方程組即為狀態(tài)空間描述。狀態(tài)空間描述是狀態(tài)方程、輸出方程的組合：（1）狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為狀態(tài)方程。（2）在指定輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量和輸入之間的函數(shù)關(guān)系稱為輸出方程。反映系統(tǒng)中輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量的因果關(guān)系。由于n階系統(tǒng)有n個獨(dú)立狀態(tài)變量，于是狀態(tài)方程是n個的一階微分方程或差分方程。由于狀態(tài)變量的選取具有非唯一性，所選取的狀態(tài)變量不同，狀態(tài)空間描述也不同，故系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也具有非唯一性。

30目前三十頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)

在討論狀態(tài)方程時，為簡單起見，先假設(shè)系統(tǒng)的輸入變量為階躍函數(shù)，即u的導(dǎo)數(shù)為零。SISO線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為，則一般形式的狀態(tài)空間描述寫作：(1-8)

(1-9)式中常系數(shù)；與系統(tǒng)特性有關(guān)。

SISO線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：31目前三十一頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)方程（1-8）、（1-9）可寫成矩陣形式：

輸入矩陣，n×1列矩陣。式中：

n維狀態(tài)矢量系統(tǒng)矩陣，n×n矩陣。

：輸出矩陣，1×n行矩陣），d為直接聯(lián)系輸入量、輸出量的前向傳遞（前饋）系數(shù)，又稱前饋系數(shù)。

32目前三十二頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)MIMO線性定常系統(tǒng)（r個輸入，m個輸出）的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述為：33目前三十三頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)寫成矩陣形式有：其中：34目前三十四頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)35目前三十五頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)常用符號：[系統(tǒng)框圖]：系統(tǒng)框圖：注:負(fù)反饋時為－注：有幾個狀態(tài)變量，就建幾個積分器積分器比例器加法器36目前三十六頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)線性時變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述：其中：37目前三十七頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)38目前三十八頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)1.2狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)圖繪制步驟：⑴畫出所有積分器；積分器的個數(shù)等于狀態(tài)變量數(shù)，每個積分器的輸出表示相應(yīng)的某個狀態(tài)變量。⑵根據(jù)狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器和比例器；⑶用箭頭將這些元件連接起來。39目前三十九頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)例1-1畫出一階微分方程的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖。狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖微分方程：40目前四十頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)系統(tǒng)系統(tǒng)41目前四十一頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)1.3狀態(tài)空間描述的建立建立狀態(tài)空間描述的三個途徑：1、由系統(tǒng)框圖建立2、由系統(tǒng)物理或化學(xué)機(jī)理進(jìn)行推導(dǎo)3、由微分方程或傳遞函數(shù)演化而得42目前四十二頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)一、由系統(tǒng)框圖建立狀態(tài)空間描述［例1-4］：系統(tǒng)框圖如下：［關(guān)鍵］：將積分部分單獨(dú)表述出來，對結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行等效變換等效變換如下：43目前四十三頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)圖中有三個積分環(huán)節(jié)，三階系統(tǒng)，取三個狀態(tài)變量如上圖（選擇積分環(huán)節(jié)后的變量為狀態(tài)變量）：則有：寫成矩陣形式：44目前四十四頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)系統(tǒng)45目前四十五頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)二、由系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間描述步驟：1)根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微分方程或差分方程；2)選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)變量；3)導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式。46目前四十六頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)狀態(tài)變量的選取原則系統(tǒng)儲能元件的輸出系統(tǒng)輸出及其各階導(dǎo)數(shù)使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量（對角線標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）47目前四十七頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)電路如圖所示。建立該電路以電壓u1,u2為輸入量，uA為輸出量的狀態(tài)空間表達(dá)式。[例1-6]圖L2uAu1u2+_+_i1i2R2R1L1[解]：1)選擇狀態(tài)變量兩個儲能元件L1和L2，可以選擇i1和i2為狀態(tài)變量，且兩者是獨(dú)立的。48目前四十八頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)2）根據(jù)克希荷夫電壓定律，列寫2個回路的微分方程：整理得：49目前四十九頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)3）狀態(tài)空間表達(dá)式為：50目前五十頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)[例1-7]試列出在外力f作用下，以質(zhì)量的位移為輸出的狀態(tài)空間描述。[解]：該系統(tǒng)有四個獨(dú)立的儲能元件。取狀態(tài)變量如下：質(zhì)量塊受力圖如下：51目前五十一頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)則有：及：將所選的狀態(tài)變量代入上式并整理出狀態(tài)方程得：輸出方程：狀態(tài)方程：52目前五十二頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)寫成矩陣形式：53目前五十三頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)1.4化輸入-輸出描述為狀態(tài)空間描述及其幾種標(biāo)準(zhǔn)形式

對于給定的系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)，尋求對應(yīng)的狀態(tài)空間描述而不改變系統(tǒng)的輸入-輸出特性，稱此狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。由于所選狀態(tài)變量不同，其狀態(tài)空間描述也不同，故其實(shí)現(xiàn)方法有多種。為便于揭示系統(tǒng)內(nèi)部的重要結(jié)構(gòu)特性，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)最有意義，從傳遞函數(shù)組成上可分存在與不存在零、極點(diǎn)對消兩種情況，這里只研究不存在零、極點(diǎn)對消的情況，所求得的狀態(tài)空間描述中，狀態(tài)變量數(shù)量最少，各矩陣的維數(shù)最小，構(gòu)造硬件系統(tǒng)時所需的積分器個數(shù)最少，稱為最小實(shí)現(xiàn)。本節(jié)先研究SISO系統(tǒng)。54目前五十四頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為n階SISO控制系統(tǒng)的時域模型為：可實(shí)現(xiàn)的條件：m≤n系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：55目前五十五頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)中m=n時，即應(yīng)用長除法有56目前五十六頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)式中是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)，是嚴(yán)格有理真分式，其系數(shù)用綜合除法得其狀態(tài)空間描述為(1-44)(1-45)式中A、b、c由實(shí)現(xiàn)方式確定，其形式不變，唯輸出方程中需增加一項(xiàng)57目前五十七頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)微分方程形式（微分方程中不包含輸入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）：一、傳遞函數(shù)中沒有零點(diǎn)時的實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：58目前五十八頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)1.）選擇狀態(tài)變量若給定初始條件則系統(tǒng)行為被完全確定，依此選擇一組狀態(tài)變量。即：

令:1、標(biāo)準(zhǔn)I型59目前五十九頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)2.）化為向量矩陣形式：狀態(tài)方程為:

輸出方程為:60目前六十頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)注：狀態(tài)變量是輸出y及y的各階導(dǎo)數(shù)系統(tǒng)矩陣A特點(diǎn)：主對角線上方的元素為1，最后一行為微分方程系數(shù)的負(fù)值，其它元素全為0，稱為友矩陣或相伴矩陣。3.）畫系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：

61目前六十一頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)2、標(biāo)準(zhǔn)II型1.）選擇狀態(tài)變量若給定初始條件則系統(tǒng)行為被完全確定，依此選擇一組狀態(tài)變量。即：

令:62目前六十二頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)2.）化為向量矩陣形式：狀態(tài)方程為:

輸出方程為:63目前六十三頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)注：標(biāo)準(zhǔn)I型的A、b陣和標(biāo)準(zhǔn)II型的A、c陣互為轉(zhuǎn)置的關(guān)系，即：64目前六十四頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)二、傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時的實(shí)現(xiàn)不失一般性，微分方程形式：狀態(tài)變量選擇原則：使導(dǎo)出的一階微分方程組右邊不出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。65目前六十五頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：應(yīng)用長除法有1、標(biāo)準(zhǔn)I型其中：66目前六十六頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)（1）能控I型引入中間變量z，以u作為輸入、z作為輸出的不含輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程，即(1-17)67目前六十七頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)定義如下一組狀態(tài)變量(1-18)可得狀態(tài)方程：68目前六十八頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)輸出方程為其向量-矩陣形式為式中69目前六十九頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)（2）能觀測I型1.）選擇狀態(tài)變量式中系數(shù)是待定系數(shù).整理(2)式得:由結(jié)構(gòu)圖可以看出:70目前七十頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)聯(lián)立(3)式和(4)式，即可求得狀態(tài)空間表達(dá)式為：輸出方程:狀態(tài)方程:從中可以看出，狀態(tài)空間表達(dá)式中不含有u的各階導(dǎo)數(shù)了2.）求思路:由式(2)可以看出，將y表示成u的各階導(dǎo)數(shù)和x的形式，并代入原始微分方程式(1)中，根據(jù)u及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則求解：A仍然是友矩陣71目前七十一頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)由式(2)可以得到下式：在結(jié)構(gòu)圖中增加一個中間變量：令由式(5)和式(6)可求得：(7)72目前七十二頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)將式(5)和式(7)代入原始微分方程式(1)中，根據(jù)左右等式中u及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相等的原則可得到：為便于記憶，將上式寫成：73目前七十三頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)2、標(biāo)準(zhǔn)II型與標(biāo)準(zhǔn)I型相同，標(biāo)準(zhǔn)II型也分為能控II型和能觀II型。能觀II型與能控I型互為對偶。能控II型與能觀I型互為對偶。74目前七十四頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)3、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型不失一般性，討論此系統(tǒng)：也有一個q重極點(diǎn)：分析：既有互異極點(diǎn)：實(shí)現(xiàn)方法：整理得75目前七十五頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)（1）對于互異極點(diǎn)部分：令拉氏反變換可得：系數(shù)為待定系數(shù)，其中，采用留數(shù)定理計(jì)算：76目前七十六頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)（2）對于重極點(diǎn)部分：令則：聯(lián)立上兩式得：拉氏反變換可得：聯(lián)立(1)、(2)、(4)可得：77目前七十七頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)由(3)、(6)、(7)可得狀態(tài)空間描述為：78目前七十八頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)xnxq+1x11x12x1qy(t)u(t)+++++∫-λ1∫-λq+1∫-λn∫-λ1∫-λ1

c11

c12c1qcq+1cn約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖…79目前七十九頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)1.5由狀態(tài)空間求傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)矩陣的引入：1）SISO系統(tǒng)，用傳遞函數(shù)G(s)描述，W(s)是一個元素；2）MIMO系統(tǒng)，多個輸入對多個輸出，故引入傳遞函數(shù)矩陣W(s)，W(s)是一個矩陣，可以表征多個輸入對系統(tǒng)輸出的影響；80目前八十頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)狀態(tài)空間描述：一、求傳遞函數(shù)矩陣根據(jù)傳遞函數(shù)定義，對上式進(jìn)行拉氏變換，并令，得式：整理上式得：81目前八十一頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)注意矩陣求逆定義傳遞函數(shù)矩陣：[說明]：1）dim(W(s))=m×r，其中dim(·)表示·的維數(shù)。m是輸出維數(shù)，r是輸入維數(shù)。2）W(s)的每個元素的含義：表示第i個輸出中，由第j個輸入變量所引起的輸出和第j個輸入變量間的傳遞關(guān)系。3）同一系統(tǒng)，不同的狀態(tài)空間表達(dá)式對應(yīng)的W(s)是相同的。注意矩陣求逆定義傳遞函數(shù)矩陣：82目前八十二頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)[例1]求由所表述系統(tǒng)的W(s)[解]：根據(jù)矩陣求逆公式：由傳遞函數(shù)矩陣公式得：83目前八十三頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)求得：求得傳遞函數(shù)陣為：84目前八十四頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)1.6離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

完全離散的系統(tǒng)，其輸入量、中間傳遞的信號、輸出量等都是離散信息；局部離散的系統(tǒng)，其輸入量、受控對象所傳送的信號、輸出量等都是連續(xù)信息。唯有系統(tǒng)中的計(jì)算機(jī)傳送處理離散信號，這時，連續(xù)部分在采樣點(diǎn)上的數(shù)據(jù)才是有用信息，故需將連續(xù)部分離散化；為研究方便，不論完全或局部的離散系統(tǒng)，均假定采樣是等間隔的；在采樣間隔內(nèi)，其變量均保持常值。85目前八十五頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)1、由差分方程或脈沖傳遞函數(shù)建立動態(tài)方程線性離散系統(tǒng)的動力學(xué)方程是用標(biāo)量差分方程或脈沖傳遞函數(shù)來描述的，這里先從單輸入-單輸出系統(tǒng)入手研究。SISO線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為：式中表示時刻，為采樣周期；為時刻的輸出量，

為時刻的輸入量；是與系統(tǒng)特性有關(guān)的常系數(shù)。(1)86目前八十六頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)對式(1)進(jìn)行變換，整理為

稱為脈沖傳遞函數(shù)。顯見式(2)與式(1-43)在形式上是相同的，故連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程的建立方法，對離散系統(tǒng)是同樣適用的。例如，引入中間變量，則有(2)(3)初始條件為零時，離散函數(shù)的變換關(guān)系為87目前八十七頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)定義如下一組狀態(tài)變量：于是(4)(5)(6)88目前八十八頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)利用反變換關(guān)系由式(4)～式(6)可得動態(tài)方程(8)(7)89目前八十九頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)其矢量-矩陣形式為90目前九十頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)簡記為

式中為友矩陣，，是可控標(biāo)準(zhǔn)形。由式(1-43)可見，離散系統(tǒng)狀態(tài)方程描述了時刻的狀態(tài)與時刻的狀態(tài)、輸入量之間的關(guān)系；離散系統(tǒng)輸出方程描述了時刻的輸出量與時刻的狀態(tài)、輸入量之間的關(guān)系。

(1-43)91目前九十一頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)線性定常離散系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)圖如圖1-26所示，圖中T為單位延遲器，其輸入為時刻的狀態(tài)，其輸出為延遲一個采樣周期的時刻的狀態(tài)。(9)與連續(xù)系統(tǒng)的情況相類似，單輸入-單輸出線性定常離散系統(tǒng)的動態(tài)方程的形式可推廣到多輸入-多輸出系統(tǒng)，有92目前九十二頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)例1-10離散系統(tǒng)的差分方程為試寫出該離散系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間描述。解由差分方程寫出相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)：于是直接寫出它的一個狀態(tài)空間描述（標(biāo)準(zhǔn)I型）為這里

，

，

，

，

93目前九十三頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)含義：如果P是一個非奇異陣，則將變換稱為線性非奇異變換。1.7狀態(tài)矢量的線性變換線性非奇異變換：特點(diǎn)：疊加原理齊次性條件用途：通過線性非奇異變換，可以將狀態(tài)方程變成對角線或約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。94目前九十四頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)一、系統(tǒng)狀態(tài)方程的非唯一性含義：同一系統(tǒng)的不同狀態(tài)變量可以通過線性變換互相得到。兩組狀態(tài)變量的關(guān)系：其中：P不同則得到不同的。95目前九十五頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)[例1-12]：關(guān)于非奇異變換陣和狀態(tài)方程的非唯一性考慮系統(tǒng)為：非奇異變換后1）若選擇非奇異變換陣P為：結(jié)論：不同的非奇異變換陣，對應(yīng)不同的狀態(tài)方程，非唯一性2）若選擇非奇異變換陣P為：對角線矩陣96目前九十六頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)對于系統(tǒng)矩陣A，若存在一非零向量，使得：二、系統(tǒng)特征值的不變性和特征矢量則：矩陣A的特征值（A特征方程的根）矩陣A的特征方程矩陣A的特征矩陣矩陣A對應(yīng)于特征值的特征矢量矩陣A的特征多項(xiàng)式使，則稱為A的對應(yīng)于的特征矢量.設(shè)為A的一個特征值，若存在某個n維非零向量，由定義可知：97目前九十七頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)1）一個n維系統(tǒng)的方陣A，有且僅有n個獨(dú)立的特征值。特征值及傳遞函數(shù)陣的性質(zhì)：3）對系統(tǒng)作線性非奇異變換，其特征值和傳遞函數(shù)陣不變。2）A為實(shí)數(shù)方陣，則其n個特征值或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)對。系統(tǒng)2:特征多項(xiàng)式，傳遞函數(shù)陣系統(tǒng)1:特征多項(xiàng)式，傳遞函數(shù)陣則：且其中：98目前九十八頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)5）若系統(tǒng)矩陣A具有形式：則其特征多項(xiàng)式為：特征方程為：4）設(shè)為系統(tǒng)矩陣A的特征值,是A屬于特征值的特征矢量。當(dāng)兩兩相異時，線性無關(guān)，因此由這些特征矢量組成的矩陣P必是非奇異的。99目前九十九頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)特征矢量的計(jì)算：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對于每個特征值，計(jì)算其特征矢量。注意：對于每個特征值，其獨(dú)立特征矢量的個數(shù)為100目前一百頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)

時特征矢量：

時特征矢量：[例1-13]：求下列矩陣A的特征矢量。[解]：1)計(jì)算特征值

A的特征方程為：A的特征值：,，2）計(jì)算特征矢量

時特征矢量：101目前一百零一頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)三、狀態(tài)空間描述變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型1、A陣為任意形式（1）特征值無重根時狀態(tài)方程化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型的步驟：1）先求出系統(tǒng)矩陣A的所有特征值。2）對于每個特征值，計(jì)算其特征矢量。并由此組成非奇異變換陣T。3）由變換矩陣P和矩陣A，B，C求出，其中對角陣可以由特征值直接寫出，只需求出即可。102目前一百零二頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)定理1：對于線性定常系統(tǒng)，如果A特征值互異，則必存在非奇異變換矩陣T，通過變換，將原狀態(tài)方程化為對角線規(guī)范形式。其中：證明：1）找非奇異變換陣由特征值性質(zhì)4)知，由A特征矢量構(gòu)成的矩陣是非奇異的，故可以選擇T為變換陣。103目前一百零三頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)2）求上式兩端左乘得：證畢！特征值定義104目前一百零四頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)[例]

線性定常系統(tǒng)，其中：將此狀態(tài)方程化為對角線標(biāo)準(zhǔn)型.當(dāng)時，2)確定非奇異矩陣P[解]:1)求其特征值:105目前一百零五頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)取:當(dāng)時，取:同理當(dāng)時，得:106目前一百零六頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)3）求對角線標(biāo)準(zhǔn)型為：107目前一百零七頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)（2）特征值有重根時1）、具有重特征根，但A獨(dú)立的特征矢量的個數(shù)仍然為n個：由線性代數(shù)矩陣的對角化可知，此時，仍能變換成對角線標(biāo)準(zhǔn)型。2）、具有重特征根，且A獨(dú)立的特征矢量的個數(shù)小于n個：這種情況下，不能變換成對角線標(biāo)準(zhǔn)型。故引入約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。要進(jìn)行線性變換，需增加廣義特征矢量，構(gòu)成P變換陣注意：對于每個特征值，其獨(dú)立特征矢量的個數(shù)為108目前一百零八頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)3）、約當(dāng)矩陣定義：約當(dāng)塊：約當(dāng)矩陣：由約當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對角線矩陣。其中：是約當(dāng)塊塊數(shù)，等于獨(dú)立特征矢量的個數(shù)。即每個約當(dāng)塊有且僅有一個線性獨(dú)立的特征矢量。說明：由此可以看出，對角陣是一種特殊形式的約當(dāng)矩陣。109目前一百零九頁\總數(shù)一百二十一頁\編于八點(diǎn)說明：對角線矩陣：各狀態(tài)變量間是完全解耦的。約當(dāng)型矩陣：各狀態(tài)變量間最簡單的耦