第五非線(xiàn)性方程求根演示文稿

第五非線(xiàn)性方程求根演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)（優(yōu)選）第五非線(xiàn)性方程求根目前二頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)圖5.1.1衛(wèi)星定位示意圖

美國(guó)和前蘇聯(lián)的GPS都包括有24顆衛(wèi)星,它們不斷地向地球發(fā)射信號(hào)報(bào)告當(dāng)前位置和發(fā)出信號(hào)的時(shí)間,衛(wèi)星分布如圖所示。它的基本原理是:在地球的任何一個(gè)位置，至少同時(shí)收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào)。發(fā)射的信號(hào)，

設(shè)地球上一個(gè)點(diǎn)R，同時(shí)收到衛(wèi)星

目前三頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)假設(shè)接收的信息如表所示。請(qǐng)?jiān)O(shè)法確定R點(diǎn)的位置。圖5.1.2衛(wèi)星分布圖表GPS導(dǎo)航問(wèn)題可歸結(jié)為求解非線(xiàn)性代數(shù)數(shù)方程組,當(dāng)時(shí)就是單個(gè)方程.目前四頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn).其中可以是代數(shù)方程，也可以是超越方程。使成立的x值稱(chēng)為方程的根，或稱(chēng)為的零點(diǎn)?？茖W(xué)與工程計(jì)算中，如電路和電力系統(tǒng)計(jì)算、非線(xiàn)性力學(xué)、非線(xiàn)性微（積分）方程、非線(xiàn)性規(guī)劃（優(yōu)化）等眾多領(lǐng)域中，問(wèn)題的求解和模擬最終往往都要解決求根或優(yōu)化問(wèn)題。前一種情形要求出方程（組）的根；后一種情形則要求找出函數(shù)取最大或最小的點(diǎn)。即使是對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合或數(shù)值求解微分方程，也總是將問(wèn)題簡(jiǎn)化成上述兩類(lèi)問(wèn)題。上述除少數(shù)特殊方程外，大多數(shù)非線(xiàn)性代數(shù)方程（組）很難使用解析法求解精確解，一般需要通過(guò)一些數(shù)值方法逼近方程的解。這里主要介紹單個(gè)方程的數(shù)值解法，方程組也可以采用類(lèi)似的方法，將放在后面討論。目前五頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)1．根的存在性。方程有沒(méi)有根？如果有，有幾個(gè)根？2．根的搜索。這些根大致在哪里？如何把根隔離開(kāi)？3．根的精確化。

f(x)=0（）目前六頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)1.根的存在性定理1：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，如果f(a)

f(b)<0，

則方程f(x)=0在[a,b]內(nèi)至少有一實(shí)根x*。

定義：如果存在使得，則稱(chēng)為方程（）的根或函數(shù)的零點(diǎn)。若其中為正整數(shù)，則當(dāng)m=1時(shí)，稱(chēng)為方程（5.1.1）的單根或函數(shù)的單零點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為方程（5.1.1）的m重根或函數(shù)的m重零點(diǎn)。目前七頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)2.根的搜索(1)圖解法（利用作圖軟件如Matlab)(2)解析法(3)近似方程法(4)定步長(zhǎng)搜索法目前八頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)（1）畫(huà)出f(x)的略圖，從而看出曲線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的位置。（2）從左端點(diǎn)x=a出發(fā)，按某個(gè)預(yù)先選定的步長(zhǎng)h一步一步地向右跨，每跨一步都檢驗(yàn)每步起點(diǎn)x0和終點(diǎn)x0+h的函數(shù)值，若那么所求的根x*必在x0與x0+h之間，這里可取x0或作為根的初始近似。x*abf(x)目前九頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)

開(kāi)始讀入a,ha

x0f(x0)

y0x0+h

x0f(x0)

y0>0打印結(jié)束否是繼續(xù)掃描

例1：考察方程

x00.51.01.5f(x)的符號(hào)－－－＋目前十頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)ab或不能保證

x

的精度abx0x1x*§2二分法目前十一頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)

執(zhí)行步驟1．計(jì)算f(x)在有解區(qū)間[a,b]端點(diǎn)處的值，f(a)，f(b)。2．計(jì)算f(x)在區(qū)間中點(diǎn)處的值f(x0)。3．判斷若f(x0)=0，則x0即是根，否則檢驗(yàn)：（1）若f(x1)與f(a)異號(hào)，則知解位于區(qū)間[a,x0]，

b1=x0,a1=a;（2）若f(x0)與f(a)同號(hào)，則知解位于區(qū)間[x0,b]，

a1=x0,b1=b。反復(fù)執(zhí)行步驟2、3，便可得到一系列有根區(qū)間：

目前十二頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)4、當(dāng)時(shí)，停止；即為根的近似。當(dāng)時(shí)，，即這些區(qū)間必將收縮于一點(diǎn)，也就是方程的根。在實(shí)際計(jì)算中，只要的區(qū)間長(zhǎng)度小于預(yù)定容許誤差就可以停止搜索，即然后取其中點(diǎn)作為方程的一個(gè)根的近似值。注：

目前十三頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)例1證明方程存在唯一的實(shí)根用二分法求出此根，要求誤差不超過(guò)。解：記，則對(duì)任意

，因而，是嚴(yán)格單調(diào)的，最多有一個(gè)根，所以，有唯一實(shí)根又因?yàn)?/p>

目前十四頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)用二分法求解，要使，只要解得，取。所以只要二等分7次，即可求得滿(mǎn)足精度要求的根。計(jì)算過(guò)程如表所示k

f(ak)及符號(hào)f(xk)及符號(hào)f(bk)及符號(hào)012345670(－)0(－)0(－)0(－)0.0625(－)0.0625(－)0.078125(－)0.0859375(－)0.5(+)0.25(+)0.125(+)0.0625(－)0.09375(+)0.078125(－)0.0859375(－)1(+)0.5(+)0.25(+)0.125(+)0.125(+)0.09375(+)0.09375(+)0.09375(+)表所以，目前十五頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)①簡(jiǎn)單;②對(duì)f(x)

要求不高(只要連續(xù)即可).①無(wú)法求復(fù)根及偶重根②收斂慢

二分法的優(yōu)缺點(diǎn)目前十六頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)

問(wèn)題雖然二分法計(jì)算簡(jiǎn)單，能夠保證收斂，但是它對(duì)于方程單根存在區(qū)域信息要求太高，一般情況下很難實(shí)現(xiàn)，并且不能求重根、復(fù)根和虛根。在實(shí)際應(yīng)用中，用來(lái)求解方程根的主要方法是迭代法。使用迭代法求解非線(xiàn)性代數(shù)方程的步驟為：(1)迭代格式的構(gòu)造；(2)迭代格式的收斂性分析；(3)迭代格式的收斂速度與誤差分析。§3

迭代法目前十七頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)1．簡(jiǎn)單迭代法f(x)=0x=

(x)等價(jià)變換其中

(x)是連續(xù)函數(shù)。方程（）稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)方程，滿(mǎn)足（）式的點(diǎn)稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)，這樣就將求（）的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。稱(chēng)這種迭代格式為不動(dòng)點(diǎn)迭代。以不動(dòng)點(diǎn)方程為原型構(gòu)造迭代格式目前十八頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)例3：求方程的一個(gè)根.構(gòu)造迭代格式x1=0.4771x2=0.3939 …x6=0.3758x7=0.3758解：給定初始點(diǎn)目前十九頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1目前二十頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)定理2如果

(x)滿(mǎn)足下列條件 （1）當(dāng)x[a,b]時(shí)，(x)[a,b]

（2）當(dāng)任意x[a,b]，存在0<L<1，使 則方程x=

(x)在[a,b]上有唯一的根x*,且對(duì)任意初值

x0[a,b]時(shí)，迭代序列xk+1=

(xk)

(k=0,1,…)收斂于

x*，且有如下誤差估計(jì)式：(5.3.2)2．迭代過(guò)程的收斂性與誤差估計(jì)停機(jī)準(zhǔn)則。（）目前二十一頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)求方程在內(nèi)的根例：。解：原方程可以等價(jià)變形為下列三個(gè)迭代格式目前二十二頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)由迭代格式（1）

取初值得

結(jié)果是發(fā)散的？！目前二十三頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)由迭代格式（2）

取初值得

結(jié)果精確到四位有效數(shù)字，迭代到得到收斂結(jié)果。

十步才能得到收斂的結(jié)果！目前二十四頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)

由迭代格式（3）

取初值得

結(jié)果精確到四位有效數(shù)字，迭代到得到收斂結(jié)果。四步就能得到收斂的結(jié)果了！目前二十五頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)迭代格式（1）的迭代函數(shù)為

求導(dǎo)得

當(dāng)時(shí)故迭代格式（1）是發(fā)散的。分析:目前二十六頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)當(dāng)時(shí)，

迭代格式（2）的迭代函數(shù)為

由知當(dāng)時(shí)，

所以迭代格式（2）是收斂的。目前二十七頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)迭代格式（3）的迭代函數(shù)為當(dāng)時(shí)，由時(shí)，

知當(dāng)所以迭代格式（3）也是收斂的。目前二十八頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)結(jié)論:

通過(guò)以上算例可以看出對(duì)迭代函數(shù)所得到的若小于1，則收斂；且上界越小收斂速度越快。求導(dǎo)，的上界若是大于1，則迭代格式發(fā)散；目前二十九頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)

3.加速收斂技術(shù)

L越小迭代法的收斂速度越快，因此，可以從尋找較小的L來(lái)改進(jìn)迭代格式以加快收斂速度。思路(1)松弛法引入待定參數(shù)，將

作等價(jià)變形為（）將方程右端記為，則得到新的迭代格式目前三十頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)由定理2知為了使新的迭代格式比原來(lái)迭代格式收斂得更快，只要滿(mǎn)足且越小，所獲取的L就越小，迭代法收斂的就越快，因此我們希望。目前三十一頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)可取

，若記則（）式可改寫(xiě)為稱(chēng)為松弛因子，這種方法稱(chēng)為松弛法。為使迭代速度加快，需要邊計(jì)算邊調(diào)整松弛因子。由于計(jì)算松弛因子需要用到微商，在實(shí)際應(yīng)用中不便使用，具有一定局限性。若迭代法是線(xiàn)性收斂的，當(dāng)計(jì)算不方便時(shí)，可以采用埃特金加速公式。目前三十二頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)(2)埃特金加速公式設(shè)迭代法是線(xiàn)性收斂，由定義知成立，故當(dāng)時(shí)有由此可得的近似值（）目前三十三頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)由此獲得比和更好的近似值，利用（）序列的方法稱(chēng)為(3)Steffensen加速法

將Aitken加速公式與不動(dòng)點(diǎn)迭代相結(jié)合，可得（）式構(gòu)造埃特金（Aitken）加速方法。利用（）式構(gòu)造序列的方法稱(chēng)為Steffensen加速方法。即每進(jìn)行兩次不動(dòng)點(diǎn)迭代，就執(zhí)行一次Aitken加速。目前三十四頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)例2試用簡(jiǎn)單迭代法和Steffensen加速法求方程在附近的根，精確至四位有效數(shù)。解：記，簡(jiǎn)單迭代法公式為：計(jì)算得kxkkxkkxk00.570.55844140.5671210.6065380.56641150.5671620.5452490.56756160.5671430.57970100.5669140.56006110.5672850.57117120.5670760.56486130.56719目前三十五頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)Aitken加速公式計(jì)算得所以,。目前三十六頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)4．迭代過(guò)程的局部收斂定義1：

若存在的某一鄰域，迭代過(guò)程對(duì)任意初值均收斂，則稱(chēng)迭代過(guò)程在根鄰近具有局部收斂性。定理3設(shè)為方程的根，在的鄰近連續(xù)，且，則迭代過(guò)程在的鄰近具有局部收斂性。目前三十七頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)5．迭代過(guò)程的收斂速度

設(shè)由某方法確定的序列{xk}收斂于方程的根x*，如果存在正實(shí)數(shù)p，使得

（C為非零常數(shù)）定義2則稱(chēng)序列{xk}收斂于x*的收斂速度是p階的，或稱(chēng)該方法具有p階收斂速度。當(dāng)p=1時(shí)，稱(chēng)該方法為線(xiàn)性（一次）收斂；當(dāng)p=2時(shí)，稱(chēng)方法為平方（二次）收斂；當(dāng)1<p<2或C=0,p=1時(shí)，稱(chēng)方法為超線(xiàn)性收斂。

目前三十八頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)定理4

如果在附近的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有()階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且則迭代格式在

附近是階局部收斂的，且有目前三十九頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)§3牛頓法一、牛頓法的迭代公式考慮非線(xiàn)性方程原理：將非線(xiàn)性方程線(xiàn)性化—Taylor展開(kāi)取x0

x*，將f(x)在x0

做一階Taylor展開(kāi):，在x0

和x

之間。目前四十頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)將(x*

x0)2

看成高階小量，則有：只要f

C1，且每步迭代都有，而且則

x*就是f(x)的根。公式（）稱(chēng)為牛頓迭代公式。(9.4.1)構(gòu)造迭代公式目前四十一頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)x*x0x1x2xyf(x)二、牛頓法的幾何意義目前四十二頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)三、牛頓法的收斂性定理4：

設(shè)f(x)在[a,b]上存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿(mǎn)足下列條件： （1）f(a)

f(b)<0； （2）f’(x)0； （3）f(x)在區(qū)間[a,b]上不變號(hào)； （4）取x0[a,b]，使得f(x)f(x0)>0則由（）確定的牛頓迭代序列{xk}二階收斂于f(x)在[a,b]上的唯一單根x*。目前四十三頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)目前四十四頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)注：Newton法的收斂性依賴(lài)于x0

的選取。x*x0x0x0目前四十五頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)四.牛頓迭代法的局部收斂性與收斂速度

，,且設(shè)在包含的一個(gè)區(qū)間二階連續(xù)可導(dǎo)，則Newton迭代法至少二階收斂，即值得注意的是，當(dāng)充分光滑且是的重根時(shí)，牛頓法在的附近是線(xiàn)性收斂的。且Newton迭代法在上的收斂性依賴(lài)于初值的選取。即初值的選取充分靠近時(shí)，一般可保證Newton迭代法收斂。目前四十六頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)并得出了是該方程的一個(gè)根，無(wú)人知道他用什么方法得出的，在當(dāng)時(shí)這是一個(gè)非常有名的結(jié)果，試用牛頓法求出此結(jié)果。解：記則當(dāng)時(shí)，，又所以有唯一實(shí)根，并改寫(xiě)例3Leonardo于1225年研究了方程目前四十七頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)用牛頓迭代格式所以，。目前四十八頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)五、求m重根的牛頓法1、迭代格式(9.4.2)2、重?cái)?shù)m的確定3、迭代格式（9.4.2)的收斂階（至少2階收斂）目前四十九頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)由于Newton迭代法的收斂性依賴(lài)于初值的選取，如果離方程的根較遠(yuǎn)，則Newton迭代法可能發(fā)散。為了防止迭代發(fā)散，可以將Newton迭代法與下山法結(jié)合起來(lái)使用，放寬初值的選取范圍，即將（）式修改為：其中，稱(chēng)為下山因子，選擇下山因子時(shí)，希望滿(mǎn)足下山法具有的單調(diào)性，即這種算法稱(chēng)為Newton下山法。在實(shí)際應(yīng)用中，可選擇。六、牛頓法的變形1、牛頓下山法目前五十頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)牛頓下山法的計(jì)算步驟：（1）選取初始近似值x0；（2）取下山因子

=1；（3）計(jì)算（4）計(jì)算f(xk+1)，并比較與的大小，分以下二種情況 1）若，則當(dāng)時(shí)，取x*

xk+1，計(jì)算過(guò)程結(jié)束；當(dāng)時(shí)，則把xk+1作為新的近似值，并返回到（3）。

2）若，則當(dāng)≤且|f(xk+1)|<，取x*

xk，計(jì)算過(guò)程結(jié)束；否則若≤，而時(shí)，則把xk+1加上一個(gè)適當(dāng)選定的小正數(shù)，即取xk+1+作為新的xk值，并轉(zhuǎn)向（3）重復(fù)計(jì)算；當(dāng)＞；且時(shí)，則將下山因子縮小一半，取/2代入，并轉(zhuǎn)向（3）重復(fù)計(jì)算。目前五十一頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)例5：求方程f(x)=x3

–

x

–1=0的根。kxk010.611/251.14063211.36681311.32628411.32472牛頓下山法的計(jì)算結(jié)果：目前五十二頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)牛頓迭代法每迭代一次都需計(jì)算函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值計(jì)算量比較大；且迭代過(guò)程中計(jì)算時(shí)，僅利用了點(diǎn)的信息，而沒(méi)有充分利用已經(jīng)求出的；在導(dǎo)數(shù)計(jì)算比較麻煩或難以求出時(shí)，

迭代格式構(gòu)造

(2)構(gòu)造方法：將Newton迭代格式中的導(dǎo)數(shù)用差商代替。2、割線(xiàn)法：(1)構(gòu)造思想：用割線(xiàn)的斜率代替牛頓迭代法中切線(xiàn)的斜率；設(shè)法避開(kāi)導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算，因此可以采用離散牛頓法（割線(xiàn)法）。

一個(gè)自然的想法就是在充分利用“舊信息”的同時(shí)，目前五十三頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)割線(xiàn)法的幾何意義x0x1切線(xiàn)

割線(xiàn)

切線(xiàn)斜率

割線(xiàn)斜率x2割線(xiàn)法迭代格式：目前五十四頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)割線(xiàn)法的局部收斂性與收斂速度

設(shè)，在,且的某一鄰域內(nèi)二階連續(xù)可微，當(dāng)時(shí)，由割線(xiàn)法產(chǎn)生的序列收斂于，且收斂階至少為1.618。目前五十五頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)3、雙點(diǎn)弦截法：切線(xiàn)斜率

割線(xiàn)斜率初值x0

和x1。x0x1x2目前五十六頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)§4非線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法(1)構(gòu)造思想：用線(xiàn)性方程組近似非線(xiàn)性方程組，由線(xiàn)性方程組解得的向量序列，逐步逼近非線(xiàn)性方程組的解向量。

(2)構(gòu)造方法：若記一、

非線(xiàn)性方程組的牛頓迭代法則非線(xiàn)性方程組目前五十七頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)其中

，且中至少有一個(gè)是的非線(xiàn)性函數(shù)。類(lèi)似于的情況，可將單變量方程求根的方法推廣到非線(xiàn)性方程組。若已給出方程組的一個(gè)近似根。將函數(shù)的分量在用多元函數(shù)泰勒展開(kāi)，并取其線(xiàn)性部分可表示為（）令上式右端為零，得到線(xiàn)性方程組（）其中目前五十八頁(yè)\總數(shù)六十四頁(yè)\編于七點(diǎn)稱(chēng)為

的J