虛位移原理演示文稿

虛位移原理演示文稿目前一頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點（優(yōu)選）虛位移原理目前二頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點

§16–1約束及其分類

§16–2自由度廣義坐標

§16–3虛位移和虛功

§16–4理想約束

§16–5虛位移原理第十六章虛位移原理3目前三頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點

§16-1約束及其分類動力學

一、約束及約束方程

限制質(zhì)點或質(zhì)點系運動的各種條件稱為約束。將約束的限制條件以數(shù)學方程來表示，則稱為約束方程。

平面單擺例如：曲柄連桿機構4目前四頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學根據(jù)約束的形式和性質(zhì)，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：二、約束的分類1、幾何約束和運動約束限制質(zhì)點或質(zhì)點系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束。如前述的平面單擺和曲柄連桿機構例子中的限制條件都是幾何約束。當約束對質(zhì)點或質(zhì)點系的運動情況進行限制時，這種約束條件稱為運動約束。例如：車輪沿直線軌道作純滾動時。5目前五頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學幾何約束：運動約束：當約束條件與時間有關，并隨時間變化時稱為非定常約束。約束條件不隨時間改變的約束為定常約束。前面的例子中約束條件皆不隨時間變化，它們都是定常約束。2、定常約束和非定常約束例如：重物M由一條穿過固定圓環(huán)的細繩系住。初始時擺長

l0,勻速v拉動繩子。x2+y2=(l0-vt)2

約束方程中顯含時間

t6目前六頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學如果在約束方程中含有坐標對時間的導數(shù)（例如運動約束）而且方程中的這些導數(shù)不能經(jīng)過積分運算消除，即約束方程中含有的坐標導數(shù)項不是某一函數(shù)全微分，從而不能將約束方程積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束。一般地，非完整約束方程只能以微分形式表達。3、完整約束和非完整約束如果約束方程中不含有坐標對時間的導數(shù)，或者約束方程中雖有坐標對時間的導數(shù)，但這些導數(shù)可以經(jīng)過積分運算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束。7目前七頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點在兩個相對的方向上同時對質(zhì)點或質(zhì)點系進行運動限制的約束稱為雙面約束。只能限制質(zhì)點或質(zhì)點系單一方向運動的約束稱為單面約束。動力學例如：車輪沿直線軌道作純滾動，是微分方程，但經(jīng)過積分可得到（常數(shù)），該約束仍為完整約束。

4、單面約束和雙面約束幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。非完整約束一定是運動約束，但運動約束未必是非完整約束。剛桿x2+y2=l2繩x2+y2l28目前八頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學雙面約束的約束方程為等式，單面約束的約束方程為不等式。我們只討論質(zhì)點或質(zhì)點系受定常、雙面、完整約束的情況，其約束方程的一般形式為（s為質(zhì)點系所受的約束數(shù)目，n為質(zhì)點系的質(zhì)點個數(shù)）9目前九頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學

§16-2自由度廣義坐標一個自由質(zhì)點在空間的位置：（x,y,z)3個一個自由質(zhì)點系在空間的位置：(xi

,yi

,

zi)(i=1,2……n)3n個對一個非自由質(zhì)點系，受s個完整約束，（3n-s)個獨立坐標。其自由度為

k=3n-s。

確定一個受完整約束的質(zhì)點系的位置所需的獨立坐標的數(shù)目，稱為該質(zhì)點系的自由度的數(shù)目，簡稱為自由度。

例如,前述曲柄連桿機構例子中,確定曲柄連桿機構位置的四個坐標xA、yA、xB、yB須滿足三個約束方程,因此有一個自由度。10目前十頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學一般地，受到s個約束的、由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，其自由度為通常，n與s很大而k很小。為了確定質(zhì)點系的位置，用適當選擇的k個參數(shù)（相互獨立），要比用3n個直角坐標和s個約束方程方便得多。用來確定質(zhì)點系位置的獨立參數(shù)，稱為廣義坐標。廣義坐標的選擇不是唯一的。廣義坐標可以取線位移（x,y,z,s

等）也可以取角位移（如,,,等）。在完整約束情況下，廣義坐標的數(shù)目就等于自由度數(shù)目。11目前十一頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學例如：曲柄連桿機構中，可取曲柄OA的轉角為廣義坐標，則：廣義坐標選定后，質(zhì)點系中每一質(zhì)點的直角坐標都可表示為廣義坐標的函數(shù)。12目前十二頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學

例如：雙錘擺。設只在鉛直平面內(nèi)擺動。兩個自由度取廣義坐標，13目前十三頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學

一般地，設有由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，具有k個自由度，取q1、q2、……、qk為其廣義坐標，質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的坐標及矢徑可表為廣義坐標的函數(shù)。14目前十四頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學§16-3虛位移和虛功在質(zhì)點系運動過程的某瞬時，質(zhì)點系中的質(zhì)點發(fā)生的為約束允許的任意的無限小位移，稱為質(zhì)點系（在該瞬時）的虛位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號表示虛位移。M15目前十五頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學

虛位移與真正運動時發(fā)生的實位移不同。實位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運動而實際發(fā)生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發(fā)生的。實位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。實位移是在一定的時間內(nèi)發(fā)生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時間無關。在定常約束下，微小的實位移必然是虛位移之一。而在非定常約束下，微小實位移不再是虛位移之一。16目前十六頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學質(zhì)點系中各質(zhì)點的虛位移之間存在著一定的關系,確定這些關系通常有兩種方法：(一)幾何法。由運動學知，質(zhì)點的位移與速度成正比，即因此可以用分析速度的方法分析各點虛位移之間的關系。17目前十七頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學

(二)解析法。質(zhì)點系中各質(zhì)點的坐標可表示為廣義坐標的函數(shù)（q1,q2,……,qk），廣義坐標分別有變分，各質(zhì)點的虛位移在直角坐標上的投影可以表示為18目前十八頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學[例1]

分析圖示機構在圖示位置時，點C、A與B的虛位移。

(已知OC=BC=a，OA=l)解：此為一個自由度系統(tǒng)，取OA桿與x軸夾角為廣義坐標。1、幾何法19目前十九頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學將C、A、B點的坐標表示成廣義坐標的函數(shù)，得2、解析法對廣義坐標求變分，得各點虛位移在相應坐標軸上的投影：20目前二十頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學力在質(zhì)點發(fā)生的虛位移上所作的功稱為虛功，記為。21目前二十一頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學§16-4理想約束如果在質(zhì)點系的任何虛位移上，質(zhì)點系的所有約束反力的虛功之和等于零，則稱這種約束為理想約束。質(zhì)點系受有理想約束的條件：22目前二十二頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學理想約束的典型例子如下：1、光滑支承面2、光滑鉸鏈3、無重剛桿4、不可伸長的柔索5、剛體在粗糙面上的純滾動23目前二十三頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學§16-5虛位移原理

一、虛位移原理

具有定常、理想約束的質(zhì)點系，平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點系的所有主動力在任何虛位移上所作的虛功之和等于零。即解析式：24目前二十四頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學證明：(1)必要性：即質(zhì)點系處于平衡時，必有∵質(zhì)點系處于平衡∴選取任一質(zhì)點Mi也平衡。對質(zhì)點Mi的任一虛位移，有由于是理想約束所以對整個質(zhì)點系：25目前二十五頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學

(2)充分性：即當質(zhì)點系滿足，質(zhì)點系一定平衡。若，而質(zhì)點系不平衡，則至少有第i個質(zhì)點不平衡。在方向上產(chǎn)生實位移，取，則對質(zhì)點系：(理想約束下，)與前題條件矛盾故時質(zhì)點系必處于平衡。26目前二十六頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學

二、虛位移原理的應用1、系統(tǒng)在給定位置平衡時，求主動力之間的關系；2、求系統(tǒng)在已知主動力作用下的平衡位置；3、求系統(tǒng)在已知主動力作用下平衡時的約束反力；4、求平衡構架內(nèi)二力桿的內(nèi)力。27目前二十七頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學例1

圖示橢圓規(guī)機構，連桿AB長l，桿重和滑道摩擦不計，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時，主動力大小P和Q之間的關系。解：研究整個機構。系統(tǒng)的所有約束都是完整、定常、理想的。28目前二十八頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學1、幾何法：使A發(fā)生虛位移，B的虛位移，則由虛位移原理，得虛功方程：由的任意性，得29目前二十九頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學

2、解析法由于系統(tǒng)為單自由度，可取為廣義坐標。由于任意，故30目前三十頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學解：這是一個具有兩個自由度的系統(tǒng)，取角及為廣義坐標，現(xiàn)用兩種方法求解。

例2

均質(zhì)桿OA及AB在A點用鉸連接，并在O點用鉸支承，如圖所示。兩桿各長2a和2b，各重P1及P2，設在B點加水平力F以維持平衡，求兩桿與鉛直線所成的角及。y31目前三十一頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學應用虛位移原理，代入(a)式，得：解法一：32目前三十二頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學由于是彼此獨立的，所以：由此解得：33目前三十三頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學而代入上式，得解法二：先使保持不變，而使獲得變分，得到系統(tǒng)的一組虛位移，如圖所示。34目前三十四頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學再使保持不變，而使獲得變分，得到系統(tǒng)的另一組虛位移，如圖所示。而代入上式后，得：圖示中：35目前三十五頁\總數(shù)三十八頁\編于十二點動力學例3

多跨靜定梁，求支座B處反力。解：將支座B除去，代入相應的約束反力。36目前三十六頁\