6.探索圖形的奧秘

2014年州市小學數(shù)學小課題評比

南縣小

探索圖形的秘一、問的提出數(shù)學學習時經(jīng)常會碰到極具挑戰(zhàn)的題目一次我就碰到了一道關于正方體涂色的難題我苦思冥想依舊束手無策這道題讓我們留下了深刻的印象。我們的腦海里就突然冒出一些想法:這樣的題目能不能很快就做對呢？如果讓別的同學來做這道題又會出現(xiàn)什么情況呢？心血來潮，我對本校六年級的同學進行了調(diào)查。我們發(fā)下的題目是36個小正方體拼成一個長方體，表面涂色，把它們拆開。三面涂色最多有（）個，最少有（）個。我們共發(fā)下了318張題目單，回收張，回收率。不看不知道一調(diào)查還真嚇一跳有錯誤的是314張而正確的居然僅僅只有4張，錯誤率達到正確率只有1.26%如圖，這兩組數(shù)據(jù)是多么鮮明的對比??！另外，兩個填空中，只有一個空格對的共有個，第一個空格對的有16個第二個填空對的有10個第一個空格填8的有151個占六年級總?cè)藬?shù)的47.48%，近占一半。第二個空格填的填的也較多，有47個。圖1調(diào)查結(jié)果為什么同學們喜歡填8呢？我們這樣的正方體涂色有沒有什么規(guī)律？為了不要再掉進數(shù)學的“陷阱”。于是，我們小組開始了探究之旅。二、研過程（一）方體的涂色題和規(guī)1從簡單入手探索棱是2、34各種涂小正方的個數(shù)用棱長1cm的小正方體拼大正方體后把它們的表面分別涂上顏色三面、1

兩面、一面以及沒有涂色的小正方體各有多少塊？我們?nèi)四脕硪浊懈畹牟牧希珩R鈴薯、蘿卜等做成小正方體，再拼成各種大正方體，并把整個正方體涂上自己喜歡的顏色。棱長是2厘米的是顯而易見的，8個面都是三面涂色的。棱長是3厘米的，如下圖2。三面涂色的小正方體，在原正方體的頂點處一共有個。兩面涂色的小正方體在原正方體的每條棱的中間位置處12個。一面涂色的小正方體在原正方體的每個面的中間位置處一共有6個。沒有涂色的小正方體在原正方體的中心位置處，一共有1個。圖2由此，我們就聯(lián)想到棱長是厘米的正方體，如下圖4。三面涂色的有8個。兩面涂色的2×12=24個。一面涂色的4×6=24個。沒有涂色的有8個。圖3我們的發(fā)現(xiàn)在研究2、3、4各種涂色小正方體的個數(shù)與位置有關系，三面涂色的一定在正方體的三面交界處也就是頂點處都是8個兩面涂色的小正方體一定在大正方體的兩面交界處面涂色的小正方體只能在每個面的中間而不能靠邊；沒有涂色的就是在中間處，像是把大正方體“剝?nèi)ヒ粚油馄ぁ焙蟮玫降恼襟w。2探索棱長是6、78??n所得小正體表面的涂情況，出規(guī)律。在涂涂數(shù)數(shù)后我們利用前面的各種涂色小正方體的個數(shù)與位置有關系的發(fā)現(xiàn)，很快得到棱長分別是5、6的情況。2

表1棱長

總?cè)嫱可珨?shù)

兩面涂色數(shù)

一面涂色數(shù)

沒有涂色數(shù)數(shù)22×233×344×455×566×6

82764125216

88888

012243648

06245496

0182764??這好像有規(guī)律！我們就火眼金睛開始找隱藏的規(guī)律。發(fā)現(xiàn)了這么幾點：（1）三面涂色數(shù)都是8；（2）兩面涂色數(shù)都是12倍數(shù)，可以以看作12×0，12×，12×2，12×3，12×4；（3）一面涂色的都6的倍數(shù)，可以看6×06×126×226326×42；（4）沒有涂色數(shù)都是立方數(shù)，03，13，23，3，43。發(fā)現(xiàn)了這么多們很興奮們突然冒出了一個想法能找到通式呢？是那這里計算的數(shù)據(jù)和原正方體的棱長有什么關系呢？當棱長是n涂色情況是怎樣的呢？三面涂色的都在頂點處，每個頂點處1個，個頂點就一共有8，所以三面涂色的是8個，每條棱上就有（）個小正方體涂色，共有12條棱就有12（n-2個面涂色的小正方體每個面上2共有6個面共有（n-2）2，各面都沒涂色的小正方體有（n-2）3個。3延伸思考如圖5，若干個大小相同的正方體按一定規(guī)律在地面上擺成一個大正方體，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），則棱長a，三面涂色的小正方體有多少個？二面涂色的小正方體有多少個？一面涂色的小正方體有多少個？各面都沒有涂色的小正方體有多少個？3

圖4我們小組通過剛才的類似的方法繼續(xù)來研究分析。因為底面不涂色，所3面涂色的小正方體的個數(shù)只剩下4個兩面涂色的小正方體的個數(shù)為每條棱上的（a-2）個共8條，加上底面上4個頂點共有（a-2）+4=8a-12。一面涂色的小正方體是每個面上有(a-2)2個，5個面，有2個，再加上底面上四條棱上的（a-2共有5(a-2)（a-2個各面沒有涂色的小正方（）3個加上底面上有(a-2)2個，共有（a-2）3+(a-2)個。整理得到表2如下:表2棱長

總?cè)嫱可珨?shù)

兩面涂色數(shù)

一面涂色數(shù)

沒有涂色數(shù)數(shù)22×233×344×4??a

82764??a3

444??4

41220??8a-12

0928??5(a-2)2+4

0212??（a-2）3（a-2）

+(a-2)2（二）長方體涂色規(guī)律正方體的規(guī)律知道了那我們在來看看長方體的吧先來看個長方體具體例子吧將棱長是1厘米的小正方體按一定規(guī)律在地面上擺成一個長方體長寬、高分別是米、5米、4米的長方體，三面涂色的小正方體有多少個？二面涂色的小正方體有多少個？一面涂色的小正方體有多少個？各面都沒有涂色的小正方體有多少個？根據(jù)一個長方體的特征，8個頂點，4條長，4條寬，條高，有6個面，相對的兩面都完全相同我們得出因為只有頂點是涂三面的那么涂三個面的個數(shù)就是8個。涂兩面的是在每條棱上的，除了頂點上的個以外的小正方體，4

那么，涂兩面的就是4×7-2+4×（）+4×4-2）=40個，涂一面的就是[（7-2）×（+）×（4-2（5-2）×（）]×2=62個，沒涂色的就是長方體的中心，也就是（7-2）×（5-2（4-2）=30個。1、一般長方體通過研究計算我們發(fā)現(xiàn)了長方體涂色的規(guī)律三面涂色的就是8個兩面涂色的等于長、寬、高分別減去2，再分別4積加起來。一面涂色的就等于長寬高-2在分別相乘之后再乘2全部的減去其他的就是沒涂色的如果用字母a、b、c分別表示長方體的長、寬、高。三面涂色的個數(shù)=8兩面涂色的個數(shù)=4×（a-2）+4×（b-2）+4（c-2）一面涂色的個數(shù)=[（a-2）×b-2+（a-2）×c-2）（b-2）×（c-2）]×沒有涂色的個數(shù)=（a-2）×（b-2）×（c-2圖5但（如上圖6）長、寬、高中如果有一個或兩1呢？那就大不相同了。看來這里要想成立，應該給a、b、c加個條件：＞2、b＞2、c＞2。當長、寬、高其中有一個或兩個1厘米，我們就要比較特殊，應該另當別論。2、特殊長方體像圖6第1個的長方體的這樣的涂色頭尾兩個就是5個面涂色剩下的都是4面涂色的，小正方形的總個數(shù)-2。像圖6第2個的長方體的這樣的涂色，4面涂色的有4個，在頭尾各2個，共4個4面涂色的，其余都是三面涂色的。像圖6第3個的長方體的這樣的涂色4面涂色的有4個，三面涂色的有不是1的兩個數(shù)分別減2的差乘2再相加的和面涂色的是把不是的兩個數(shù)分別減2再相乘。5

（三）何圖形的規(guī)接著讓我們找一找不規(guī)則圖形的規(guī)律吧。用棱長1cm的小正方體拼成如下幾何體后，把它們的表面分別涂上顏色。圖6第1個圖形，五面涂色的3個，三面涂色的1個。第2個圖形，五面涂色3個，四面涂色的3個，三面涂色1個，兩面涂色的3個。第3個圖形，五面涂色3個，四面涂色的6個，三面涂色2個，兩面涂色的6個，一面涂色的3個。我們可以發(fā)現(xiàn)像這樣的規(guī)律搭成的幾何體表面涂色，面涂色的都是3個，四面涂色的是（層-2）×3，三面涂色的就是方塊總（一面涂色+兩面涂色+四面涂色+五面涂色）,兩面涂色的就是（層-2）×3，一面涂色的就是（層數(shù)-3）×3。三、問解決發(fā)現(xiàn)了以上的這些規(guī)律后，有些難題是不是能迎刃而解呢？再次看開始讓我們大跌眼鏡的題目36個小正方體拼成一個長方體，表面涂色，把它們拆開。三面涂色最多有（）個，最少有（）個。同學們看到題目中提到“拼成長方體”，腦子里第一感覺就會出現(xiàn)如圖，常規(guī)類型的。三面涂色的就在頂點處，8個頂點，就得三面涂色的是8個。這就是同學們?yōu)槭裁聪矚g填8的原因。圖7

常規(guī)型6

此時，是否還會想到圖8這樣的類型呢？三面涂色的個數(shù)=（6-2）×4=16（個）三面涂色的個數(shù)=（9-2）×2+（4-2）×2=18（個）三面涂色的個數(shù)=（12-2）×2+（3-2）×（個）三面涂色的個數(shù)=36-4=32（個最多的。圖8我們把36個小正方體拼成一個×2×18的長方體讓我們來數(shù)一數(shù)除了長方體的兩條寬上的四個小正方體是涂4個面的，其他都是涂三個面的。圖9三面涂色的個數(shù)=0（個）另外，如圖9，我們把個正方體拼成一個1×1×36的長方體，這樣會出現(xiàn)什么情況呢？頭尾是兩個5面的小正方體間都是4個面的小正方體。這樣不就是0個了嗎？三面涂色的個數(shù)=0（個），這是三面涂色最少的一種。所以，36個小正方體拼成一個長方體，表面涂色，把它們拆開。三面涂色最多有（32）個，最少有（0）個。四、研感想經(jīng)過了這段時間的調(diào)查、探索研究，我們學到了很多，正方形、長方形的涂色規(guī)律，我