第18講 二倍角的正弦、余弦、正切（教師版）

第18講二倍角的正弦、余弦、正切A一．核心知識核心一：二倍角公式公式：；；．公式推導：（1）在公式中，令，則有．（2）在公式中，令，則有．（3）在公式中，令，則．注意：（1）對于“二倍角”要從廣義上理解，如是的二倍角；是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等．（2）一般情況下，，例如：，但是當時，成立，同樣在一般情況下也不成立．（3）當時，的值不存在，這時的值可利用誘導公式求解，即．核心二：萬能公式二．重難點題型題型一：二倍角公式的正用【例1】已知，，求的值?！窘馕觥恳驗?，所以所以，【變式】已知求的值．【解析】由得．又因為．于是；．【例2】已知，那么的值是（） A．

B．

C．

D．【解析】因為，所以，選B．【變式】已知，則的值為________．【解析】原式=【拓展】已知，且，求，，的值．【解析】由，得，即，∴由，得，∴．即．整理得．解得或（舍去）．∴．∴．題型二：二倍角公式的逆用逆用公式：；；；．通過逆用二倍角公式可實現(xiàn)三角函數(shù)的降冪轉化，同時完成角的轉化．【例3】化簡下列各式：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）．（2）．（3）．【變式】求值：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=．【例4】已知，則()A．B．C．D．[來源:學#科#網(wǎng)【解析】，故選C．【變式】已知，求的值．【解析】，由此得解得或．[來源:學#科【拓展】求值：．【解析】原式．題型三：二倍角公式的變形升冪公式：；．降冪公式：；．說明：，常用來為開方作準備，而為降冪提供方便，以上變形可作為公式應用，三角函數(shù)的化簡、求值、證明均離不開這些公式．【例5】等于（）．A．B．C．D．【解析】C【解析】原式原式【變式】化簡：【解析】原式題型四：綜合應用【例6】求的值域．【解析】令，則，由，所以，所以的值域為注意：．【變式】求函數(shù)的值域．【解析】設，則且當時，，當時，【例7】設函數(shù)（其中），且的圖像在軸右側的第一個最高點的橫坐標為．（1）求的值；（2）如果在區(qū)間上的最小值為，求的值．【解析】（1）依題意得，解之得（2）由（1）知，，又當時，，故從而在上的最小值為因此，由題意知，故【變式】設函數(shù)，且圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為．（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．【解析】（1）因為圖像的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，又所以，因此（2）由（1）知當時，所以，因此故在區(qū)間上的最大值和最小值分別為．課后作業(yè)一．基礎過關1．已知，則的值為_______________．【解析】由已知，得，解得，則2．若，則．【解析】–3．已知，化簡：．【解析】原式=，．原式=4．求值：．【解析】原式5．求函數(shù)的最小正周期和最小值，并寫出該函數(shù)在上的單調的增區(qū)間．【解析】故函數(shù)的最小正周期為；當且僅當，即，函數(shù)有最小值為；函數(shù)在上的單調增區(qū)間為和．二．延伸拓展6．已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，求的值。【解析】（