高考數(shù)學(xué)理真題分項(xiàng)解析：03導(dǎo)數(shù)

專題三導(dǎo)數(shù)

1.[2015高考福建，理10]若定義在R上的函數(shù)“X)滿足〃0)=-1,其導(dǎo)函數(shù)尸(x)滿足

/'(x)>A>l,則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是()

【答案】C

【解析】由已知條件，構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-履，則g'(x)=/'(x)-k〉0,故函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞

增，且」一>0,故g(—1-)>g(o),所以/(—1-)--->-1,/(一一)>」一，所以結(jié)論中一定

k-\k-\k-1k-\k-1k-\

錯(cuò)誤的是C,選項(xiàng)D無(wú)法判斷；構(gòu)造函數(shù)/i(x)=/(x)-x,貝Ij/(x)=/'(x)—1>0,所以函數(shù)〃(X)在R

上單調(diào)遞增，且,>0,所以力(()>//(()),即/(：)->>一1，選項(xiàng)A,B無(wú)法判斷，故

選C.

【考點(diǎn)定位】函數(shù)與導(dǎo)數(shù).

【名師點(diǎn)睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等

式、方程及最值之類問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值

等問(wèn)題，?？墒箚?wèn)題變得明了，屬于難題.

2.12015高考陜西，理12】對(duì)二次函數(shù)/(了)=取2+次+。(。為非零常數(shù))，四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論,

其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是()

A.-1是/(%)的零點(diǎn)B.1是f(x)的極值點(diǎn)

C.3是/*)的極值D.點(diǎn)(2,8)在曲線丫=/(犬)上

【答案】A

【解析】若選項(xiàng)A錯(cuò)誤時(shí)，選項(xiàng)B、C、D正確,f\x)=2ax+h,因?yàn)?是/(x)的極值點(diǎn)，3是/(x)的

r⑴=。\2a+b=0b=-2a

極值，所以<,即/解得:V因?yàn)辄c(diǎn)(2,8)在曲線0=/(用上,所以

41)=3〃+/7+c=3C=3+(7

4〃+2/?+c=8,即4Q+2X(-2Q)+Q+3=8,解得：。=5,所以b=-10,c=8,所以

/(X)=5X2-10X+8,因?yàn)?(—1)=5X(—I)?-10X(—1)+8=23H0,所以—1不是/(x)的零點(diǎn)，所以

選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B、C、D正確，故選A.

【考點(diǎn)定位】1、函數(shù)的零點(diǎn)；2,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是函數(shù)的零點(diǎn)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于難題.解題時(shí)?定要抓住重

要字眼“有且僅有一個(gè)”和“錯(cuò)誤”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.解推斷結(jié)論的試題時(shí)一定要萬(wàn)分小心，除了作

理論方面的推導(dǎo)論證外，利用特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，也可作必要的合情推理.

3.12015高考新課標(biāo)2,理12]設(shè)函數(shù)/(X)是奇函數(shù)/(x)(xwR)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí)，

xf,(x)-f(x)<0,則使得/(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(-a),-l)U(0,l)B.(-l,0)U(l,+s)

C.(-oo,-l)U(-l,0)D.(0,l)U(l,+8)

【答案】A

【解析】記函數(shù)g(x)=妝，則g(x)=切(x)：/(x),因?yàn)楫?dāng)x>o時(shí)，<0,故當(dāng)x>0

XX

時(shí)，g(x)<0,所以g(x)在(0,+x)單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)：&)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù):,

所以g(x)在(一20)單調(diào)述遍，且g(—l)=g(l)=0.當(dāng)0<x<l時(shí)，g(x)>0,則當(dāng)x<T時(shí),

g(x)<0,貝綜上所述，使得了(x)>0成立的x的取值范圍是(7c「l)U(01)，故選A.

【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等

式、方程及最值之類問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值

等問(wèn)題，?？墒箚?wèn)題變得明了，屬于難題.

4.【2015高考新課標(biāo)1,理12]設(shè)函數(shù)/(%)=6*(2%-1)-3+。，其中“<：1,若存在唯一的整數(shù)使得

/(x0)<0,則。的取值范圍是()

333333

(A)[--,1)(B),-)(C)[—,-)(D)[—,1)

2<?2<?42e42e

【答案】D

【解析】設(shè)g(x)="(2x—1),y=ax-a,由題知存在唯一的整數(shù)%,使得g(x())在直線y=辦一。的下

方.因?yàn)間'(x)=e'(2x+l),所以當(dāng)x<-g時(shí)，g'(x)V0,當(dāng)x>—；時(shí)，g'(x)>0,所以當(dāng)x=時(shí)，

[g(x)]max=-2e-5,當(dāng)x=0時(shí)，g(0)=T,g⑴=3e>0，直線y=ax—a恒過(guò)(1,0)斜率且a，故

3

-?>g(O)=-l,且g(—1)=—3eT2—a—a,解得一<“<1,故選D.

2e

【考點(diǎn)定位】本題主要通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問(wèn)題

【名師點(diǎn)睛】對(duì)存在性問(wèn)題有三種思路，思路1：參變分離，轉(zhuǎn)化為參數(shù)小于某個(gè)函數(shù)（或參數(shù)大于某個(gè)函

數(shù)），則參數(shù)該于該函數(shù)的最大值（大于該函數(shù)的最小值）；思路2：數(shù)形結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的圖像

與性質(zhì)，再畫(huà)出該函數(shù)的草圖，結(jié)合圖像確定參數(shù)范圍，若原函數(shù)圖像不易做，?；癁橐粋€(gè)函數(shù)存在一點(diǎn)

在另一個(gè)函數(shù)上方，用圖像解；思路3：分類討論，本題用的就是思路2.

5.12015高考陜西，理16】如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線

型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為.

【答案】1.2

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

y

原始的最大流量是gx（10+10-2x2）x2=16,設(shè)拋物線的方程為-=2py（p>0）,因?yàn)樵搾佄锞€過(guò)

點(diǎn)（5,2）,所以2Px2=52,解得p=亍，所以/二三y，即>=點(diǎn)》2,所以當(dāng)前最大流量是

工（2—看2卜=,—弄）：5=（2x5—得x5']—2x（—5）—.x（—5丫=三，故原始的最大流

量與當(dāng)前最大流量的比值是券=1.2,所以答案應(yīng)填：1.2.

40

T

【考點(diǎn)定位】1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義.

【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是定積分、拋物線的方程和定積分的幾何意義，屬于難題.解題時(shí)一定要抓

住重要字眼“原始”和“當(dāng)前”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是定積分的幾何意義，即

由直線x=a,x=b,》=0和曲線)；=/(工)所圍成的曲邊梯形的面積是，/^)公.

6.12015高考天津，理11】曲線y=/與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為.

【答案】-

6

【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，解議程組=x得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(OP)<L1),由

y=x

圖可知峽谷曲線所圍成的封閉圖形的面積

【考點(diǎn)定位】定積分幾何意義與定積分運(yùn)算.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查定積分幾何意義與運(yùn)算能力.定積分的幾何意義體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的典型示范，既考

查微積分的基本思想又考查了學(xué)生的作圖、識(shí)圖能力以及運(yùn)算能力.

【2015高考湖南，理11】「(x-l)dx=.

【答案】0.

【解析】

試題分析：f(x-l)dx=(1x2—x)：=0.

【考點(diǎn)定位】定積分的計(jì)算.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于容易題，定積分的計(jì)算通

常有兩類基本方法：一是利用牛頓-萊布尼茨定理；二是利用定積分的幾何意義求解.

7.12015高考新課標(biāo)2,理21](本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(x)=e'n'+x2-機(jī)x.

(I)證明：/(x)在(-oo,0)單調(diào)遞減，在(0,+。。)單調(diào)遞增；

(II)若對(duì)于任意須用直―1J，都有|/a)-/(X2)|〈e—1,求加的取值范圍.

【答案】(I)詳見(jiàn)解析；(II)[-1,1].

【解析】(I)/(x)=〃2(e'"*—l)+2x.

若mNO,則當(dāng)xe(—8,0)忖，epu-l<0,/,(x)<0；當(dāng)xe(0,+oo)忖，emx-l>0,f'(x)>0.

若垃<0,則當(dāng)xe(—8,0)時(shí)，e",x-l>0,/,(x)<0；當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，e,,,x-l<0,f(x)>0.

所以，/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增.

(II)由(I)知，對(duì)任意的加，/(x)在單調(diào)遞減，在[0,1]單調(diào)遞增，故/(x)在x=0處取得最小

⑴一f(0)<e-1

值.所以對(duì)于任意4X2€[-1,1]，|/(3)一/(々)|人—1的充要條件是：f[f\即

—機(jī)We—1

<-'①，設(shè)函數(shù)g(f)=e'—f—e+1,則g'(f)=e'-L當(dāng)f<0時(shí)，g'(f)<0；當(dāng)f〉0時(shí)，

e~m

g'(0>0.故g。)在(—8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增.又g(l)=0,g(—l)=e-i+2—e<0,故當(dāng)

時(shí)，g(t)<0.當(dāng)me[-1,1]時(shí)，g("z)40,g(-m)<0,即①式成立.當(dāng)m>l時(shí)，由g(f)的

單調(diào)性，g(m)>0,BPe"'-m>e-\；當(dāng)〃z<-l時(shí)，g(-m)>0,即尸+->6-1.綜上,的取值

范圍是[-1,1].

【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【名師點(diǎn)睛】(I)先求導(dǎo)函數(shù)/'(x)=m(e'"x-l)+2x,根據(jù)加的范圍討論導(dǎo)函數(shù)在(—8,0)和(0,+oo)的符

號(hào)即可；(II)|/(而)一/(%2)區(qū)e—l恒成立，等價(jià)于〃&)—/32)舄以一1?由和起是兩個(gè)獨(dú)立的變

量，故可求研究“X)的值域，由(I)可得最小值為/(0)=1,最大值可能是/(-I)或/(I),故只需

/0)-/(0)<e-l,

r,從而得關(guān)于，〃的不等式，因不易解出，故利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和符號(hào)，從而得

/-1)-/0)<e-l,

解.

8.12015高考江蘇，19](本小題滿分16分)

已知函數(shù)/(x)=/+ax?+6(。/eR).

(1)試討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若匕=，一。(實(shí)數(shù)c是。與無(wú)關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)/")有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a

的取值范圍恰好是(-00,-3)U(1,31)U(3j,+oo),求c的值.

【答案】(D當(dāng)。=0時(shí)，/(x)在(T?,+8)上單調(diào)遞增：

當(dāng)。>0時(shí)，/")在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(一年上單調(diào)遞減：

當(dāng)a<0時(shí)，“X)在(一8,0),(—彳?,+"上單調(diào)遞增，在(0,—g)上單調(diào)遞減.

⑵c=l.

【解析】⑴/'(x)=3x，+2今，令/'(xJ=0,解得演=0,工一一§,

當(dāng)a=0時(shí)，因?yàn)?f(x)=3/>0(XHO),所以函數(shù)〃x)在(re尸叼上單調(diào)遞噌;

當(dāng)a>0時(shí)，xe；|U(Qg)時(shí)，/(x)>0,xc；一旦0；時(shí)，/f(x)<0,

V*JIJ

所以函數(shù)f(x)在；7C「當(dāng)"(0,田)上單調(diào)遞噌，在；一等,0；上單調(diào)遞減;

當(dāng)a<0時(shí),xe(-oo,0)ul一"j',+8j時(shí),f'(x)>0,xe[o,--相J時(shí),/'(x)<0,

所以函數(shù)“X)在(—8,0),(-等,+8)上單調(diào)遞增，在(0,-等)上單調(diào)遞減.

(2)由⑴知，函數(shù)/(x)的兩個(gè)極值為/(0)=力，/(一事)=/"+》，則函數(shù)/(x)有三個(gè)

a>0a<0

零點(diǎn)等價(jià)于/(0)-/(一與］=匕((/+匕)<0,

從而<4成《4彳.

—a3<b<00<b<----a

I2727

44

又匕=c—a,所以當(dāng)?！?時(shí)，—-a+c>0或當(dāng)a<0時(shí):——a+c<0.

2727

設(shè)g(“)=\a3—a+c,因?yàn)楹瘮?shù)〃x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，。的取值范圍恰好是

(-8,-3)1)(1制11(3，+8),則在(-<?,-3)上8(4)<0,且在上g(a)>0均恒成立,

從而g(-3)=c-lW0,且g(1J=c-lNO,因此c=l.

止匕時(shí)，/(x)=x'+ax?+1—a=(x+l)+(a—l)x+l—aJ,

因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則/+(a-1)x+1-a=0有兩個(gè)異于-1的不等實(shí)根,

所以△=(a-l)2-4(l—a)="+2a-3>0,月.(-if一(〃-1)+1—aw0,

解得ae(-oo，-3)uf1,—juf—,+°0

綜上c=1.

【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點(diǎn)

【名師點(diǎn)晴】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：①確定函數(shù)y=f(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)y'=f'(x),令『(x)

=0,解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；③把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)(即f(x)的無(wú)定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和

上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；④

確定f'(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性……

已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題處理方法為：利用函數(shù)的單調(diào)性、極值畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合求解.

己知不等式解集求參數(shù)方法：利用不等式解集與對(duì)應(yīng)方程根的關(guān)系找等量關(guān)系或不等關(guān)系.

9.12015高考福建，理20】已知函數(shù)f(x)=ln(l+x),g(x)=kx,(k9),

(I)證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<x；

(H)證明:當(dāng)『<1時(shí),存在x0>0,使得對(duì)任意行(0,/),恒有f(x)>g(x)；

(HI)確定k的所以可能取值，使得存在f>0,對(duì)任意的xi(0,t),恒有|f(x)-g(x)|<x2.

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(II)詳見(jiàn)解析；(III)k=l.

1Y

【解析】解法一：⑴令F(x)=Rx)-x=ln(l+x)-無(wú),x?(0,)，則有尸般)=——1=——

1+x1+x

當(dāng)x?(0,),尸依)〈0,所以尸(x)在(0,+)上單調(diào)遞減；

故當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)</(0)=0,即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<x.

(2)令G(x)=f(x)-g(x)=ln(l+x)-kx,x?(0,)，則有G［x)=」--k=」+“_獨(dú)

1+xl+x

當(dāng)女￡0Gf(x)>0,所以G(x)在［0,+)上單調(diào)遞增，G(x)>G(0)=0

故時(shí)任意正實(shí)數(shù)天均滿足題意.

1

當(dāng)0〈左<1時(shí)，令G'(X)=0：得x=——=--1>0.

kk

取毛=白-1,對(duì)任意xw(0：通):恒有G>(x)>0：所以G(x)在［0：xC)上單調(diào)遞曾G(x)>G(0)=0:即

k

f(力>g(x).

綜上，當(dāng)左<1時(shí)，總存在々>0：使得對(duì)任意的xe(0,與)：恒有f(x)>g(x).

(3)當(dāng)k>l時(shí)，由(1)知,對(duì)于“x違(0,+),g(x)>x>f(x),故g(x)>f(x),

|f(x)-g(%)|=g(x)-/(x)=kx-ln(l+x),

令M(x)=kx-ln(l+x)?祖o,+),貝ij有M〈x)=k--—?2x=.也1,

1+x1+x

故當(dāng)Xi(o/-2+J(k-2)2+8-))時(shí),MQ0,M(x)在［。卜2+爪正+8(k-D)上單調(diào)遞增,

44

故M(x)>M(0)=0,即|Ox)-g(x)|>x2，所以滿足題意的t不存在.

當(dāng)上<1時(shí)，由(2)知存在％>0,使得對(duì)任意的任意的xi(0,%),恒有人x)>g(x).

此時(shí)Mx)-g(x)|=f(x)-g(x)=ln(l+x)-kx,

令N(x)=ln(l+x)-kx-x\x用0,+),則有N‘(x)=-k-2尸2%(k；)x

故當(dāng)(o,32)+"(k+2)2+8(l嗎時(shí),必)>。.(幻在［?！赋?2)+&+2)2+8(1-%上單調(diào)

44

遞增，故N(x)>N(0)=0,即f(x)-g(x)>x?,記/與('+2)+"k+2)-+80中較小的為二,

則當(dāng)入？(0,西)時(shí).，恒有|心)g(x)|>x2,故滿足題意的t不存在.

當(dāng)％=1,由(1)知，當(dāng)尤違(0,+),|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(l+x),

ior2-x

令H(x)=x-ln(l+x)-祖o,+),則有H")=l--------2x=-----------,

1+尤1+x

當(dāng)x>O0寸，H口)<0,所以H(x)在［0,+￥)上單調(diào)遞減，故H(x)<〃(0)=0,

故當(dāng)x>0時(shí)，恒有|f(x)-g(x)|<x2,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.

綜上，k=l.

解法二：(1)(2)同解法一.

(3)當(dāng)3>1時(shí),由(1)知，對(duì)于“x違(0,+),g(x)>x>f(x),,

故g(x)|=g(x)-/(x)=kx-ln(l+x)>kx-x=(k-l)x,

令(k-l)x>Y,解得i,

從而得到當(dāng)上>1時(shí)，對(duì)于x?(0,k1)恒有|f(x)?g(x)|>/,所以滿足題意的t不存在.

k+1

當(dāng)攵<1時(shí)，取女［=---，從而左V%V1

2

由(2)知存在%>0,使得任意xi(0,x0),MWf(x)>k［x>kx=g(x).

此時(shí)|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)>(k}-k)x=^-Y~x,

令—x>X2,解得0<x<一,此時(shí)f(x).g(x)>x2,

1k

記X。與工-中較小的為西，則當(dāng)x?(0,司)時(shí),恒有|f(x)g(x)|>t,

故滿足題意的t不存在.

當(dāng)K1,由⑴知，=ixe(0sloo),|f(x)-g(x)|=g(x)-/(x)=x-ln(l+x)?

令M(x)=xTn(l+x)-Mxe［O,+x),則有M'⑸=1--^--2x=~~

1+x1+x

當(dāng)x>0時(shí)，M'(x)vO:所以M(x)在［0,田)上單調(diào)遞激，故M(x)vM(0)=0,

故當(dāng)x>0時(shí)，恒有|￡1(工)-2(工)|〈/；此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.

綜上，k=l

【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【名師點(diǎn)睛】在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，我們常常借助導(dǎo)數(shù)，將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，探究這

類問(wèn)題的根本，從本質(zhì)入手，進(jìn)而求解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)

數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單

調(diào)性或最值，從而證得不等式，注意/(x)>g(x)與〃X)min>g(X)max不等價(jià)，/COmin>gWmax只是

/(X)>g(X)的特例，但是也可以利用它來(lái)證明，在2014年全國(guó)I卷理科高考21題中，就是使用該種方法

證明不等式；導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過(guò)研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來(lái)判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研

究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù).

10.【2015江蘇高考，17](本小題滿分14分)

某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建

-條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為乙，4,山區(qū)邊

界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為/,如圖所示，M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到/1,4

的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到小4的距離分別為20千米和2.5千米，以1/

所在的直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)》=二一

x2+b

(其中a,b為常數(shù))模型.)

(1)求a,b的值；,

(2)設(shè)公路/與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為

①請(qǐng)寫出公路/長(zhǎng)度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域;

②當(dāng)，為何值時(shí)，公路/的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度.

。12

【答案】(1)。7。。。，/^(^。，①/⑴=/生產(chǎn)+:已定義域?yàn)榭?？。],②f=10上,“。面?=15百千米

【解析】

(1)由題意知，點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5).

-^—=40

將其分別代入y=得,25+b

a=25

〔400+8-

4=1000

解得《

b=0

（2）①由（1）知，>=岑。（5<x<20）,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，岑9],

設(shè)在點(diǎn)P處的切線/交X,y軸分別于A,B點(diǎn)，y'=-3等，

X

則/的方程為y—*=-竿（XT）,由此得A（*。），B（。,等）

②設(shè)g(f)=/+W=則g'(/)=2"蛆券.令g'(f)=0,解得"log.

當(dāng)fe(5,10&)時(shí)，g'(f)<0,g(/)是減函數(shù)；

當(dāng)fw(10j5,20)時(shí)，g'(f)>0,g(f)是增函數(shù).

從而，當(dāng).=100時(shí)，函數(shù)g（。有極小值，也是最小值，所以g（f）min=300,

此時(shí)S=i56

答:當(dāng)/=10啦時(shí)，公路/的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為156千米.

【考點(diǎn)定位】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，導(dǎo)數(shù)幾何意義

【名師點(diǎn)晴】解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型，

然后將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；本

題已直接給出模型，只需確定其待定參數(shù)即可.求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，這一步驟在應(yīng)用題中要求不

高，難度中等偏下，本題是一個(gè)簡(jiǎn)單的利用導(dǎo)數(shù)求最值的問(wèn)題.首先利用導(dǎo)數(shù)的兒何意義是切點(diǎn)處切線的斜

率，然后再利用導(dǎo)數(shù)求極值與最值.

11.【2015高考山東，理21】設(shè)函數(shù)/（%）=理（1+1）+〃（％2一X）,其中QER.

(I)討論函數(shù)/(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

(II)若Vx>OJ(x)?O成立，求a的取值范圍.

【答案】(I)：當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)在(一1,+8)上有唯一極值點(diǎn)；

Q

當(dāng)04a時(shí)，函數(shù)”X)在(—1,+8)上無(wú)極值點(diǎn)；

Q

當(dāng)a>—時(shí)，函數(shù)/(x)在(—1,+8)上有兩個(gè)極值點(diǎn)；

9

(IDa的取值范圍是[0,1].

【解析】

函數(shù)/(x)=ln(x+l)+a(V-X)的定義域?yàn)?T+x)

、、1、2ax^^ax+l-a

f("=--+2ax-a=---------

x+1x+1

令g(x)=2tof+ar+l—a,x&(—L+oc)

(1)當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=l>0,f(x)>0在(-L+cc)上恒成立

所以，函數(shù)/(x)在(-Lzc)上單調(diào)通噌無(wú)極值；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，△=/-8〃(1一〃)=〃(9〃-8)

Q

①當(dāng)0<“4—時(shí)，A<0,g(x)20

所以，/z(x)>0,函數(shù)/(x)在(—1,+8)上單調(diào)遞增無(wú)極值；

Q

②當(dāng)。>一時(shí)，A>0

9

設(shè)方程2a/+。1+1一。=0的兩根為玉，馬(斗<X2)，

因?yàn)閄]+工2=—5

所以，&<---,>—

14~4

由g(—l)=l>0可得：_1<凡<_；,

所以，當(dāng)時(shí)，g(x)〉0,r(x)〉0，函數(shù)”X)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(玉,々)時(shí)，g(x)<0,r(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減：

當(dāng)xe(4，+8)時(shí)，g(x)〉O，r(x)〉O,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增;

因此函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).

(3)當(dāng)。<0時(shí)，A>0

由g(—l)=l>0可得：玉<一1,

當(dāng)X€(T，W)時(shí),g(x)>0J'(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)X€(兀2，+°°)時(shí),g(x)<0,/'(X)<0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減;

因此函數(shù)/(X)有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上：

當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)/(X)在(一1,+0。)上有唯一極值點(diǎn)；

O

當(dāng)—時(shí)，函數(shù)/(x)在(-1,+8)上無(wú)極值點(diǎn)；,…

Q

當(dāng)a>§時(shí)，函數(shù)/(x)在(T,+8)上有兩個(gè)極值點(diǎn)；

(II)由(I)知，

Q

(1)當(dāng)OKaw］時(shí)，函數(shù)/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?(0)=0

所以，xe(0,+oo)時(shí),/(X)>0,符合題意；

Q

(2)當(dāng)一<aWl時(shí)，由g(O)NO,得

所以，函數(shù)“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又/(0)=0,所以，xe(0,+oo)時(shí)，/(x)>0,符合題意；

(3)當(dāng)。>1時(shí)、由g(0)<0,可得》2>0

所以》6(0,々)時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；

又/⑼=0

所以，當(dāng)xe(O,X2)時(shí)，/(%)<0不符合題意；

(4)當(dāng)a<0時(shí)，設(shè)/z(x)=x-ln(x+l)

1v-

因?yàn)閤e(0,+oo)時(shí)，〃(x)=l-----=——>0

v'x+\x+1

所以〃(x)在Qyc)上單調(diào)遞嚼

因此當(dāng)xe(O：+oc)時(shí)，ZJ(X)>ZzfO)=0

IP：ln(x+l)<x

可得：f(x)<x+a(x1—x}=ax2+(1—ajx

當(dāng)x>l時(shí)，ax2+(l-a)x<0

此時(shí)，/(x)<0,不合題意.

綜上所述，。的取值范圍是［0』

【考點(diǎn)定位】1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、分類討論的思想.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，著重考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想方

法，意在考查學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，其中最后一間所構(gòu)造的函數(shù)體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)不

同函數(shù)增長(zhǎng)模型的深刻理解.

12.【2015高考安徽，理21］設(shè)函數(shù)/(x)=x2—ax+b.

7TJI

(1)討論函數(shù)/(sinx)在(-1,1)內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值；

(II)記/0(幻=一一4》+%,求函數(shù)|/(sinx)二分(sinx)|在［一1,自上的最大值D；

(III)在(H)中，取為=%=0,求［=匕一日滿足D41時(shí)的最大值.

2

【答案】(I)極小值為6—(；(IDD=\a-a0\+\b-b0\；(III)1.

【解析】

(I)/(sinx)=sin2x-asinx+b=sinx(sinx-a)+b,-^<x<y.

..7171

［/(sinx)］'=(2sinx-a)cosx,<x<—.

71jl.

因?yàn)?--<X<—,所以cosx>0,-2<2sinx<2.

22

①當(dāng)。(一2/wR時(shí)，函數(shù)/(sinx)單調(diào)遞增，無(wú)極值.

②當(dāng)a22,Z?eR時(shí)，函數(shù)/(sinx)單調(diào)遞減，無(wú)極值.

TTTT

③當(dāng)一2<。<2,在(―5,萬(wàn))內(nèi)存在唯一的X。，使得2sinx°=a.

TTTT

一5<%?/時(shí)，函數(shù)/(sinx)單調(diào)遞減；為〈Jee,時(shí)，函數(shù)/(sinx)單調(diào)遞增.

2

因此，一2<a<2,OeR忖，函數(shù)/(sinx)在七處有極小值/(sin/)=/('!)=/?-?.

TT7T

(II)(彳時(shí)，|/(sinx)—AGinx)|=|(旬-Q)sinx+0_%國(guó)Q―%|+G—%|,

當(dāng)(4―。)(瓦一6)20時(shí)，取x=］JT，等號(hào)成立，

TT

當(dāng)(旬-〃)(％-。)<0時(shí)，取1=-5,等號(hào)成立，

由此可知，函數(shù)|/(sinx)一人(sinx)|在上的最大值為D=\a-an\+\b-b0\.

,a2

(III)D<1,即|a|+|。區(qū)1,ittH'J-0<a2<1,-1<Z?<1,)^z=b--<\.

4

取°=0,。=1,貝+區(qū)1,并且z=8—幺=1.

4

由此可知，z=8-,滿足條件DK1的最大值為1.

4

【考點(diǎn)定位】1.函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；2.絕對(duì)值不等式的應(yīng)用.

【名師點(diǎn)睛】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)解答題中貫穿始終的是數(shù)學(xué)思想方法，在含有參數(shù)的試題中，分類與整合思想是

必要的，由于是函數(shù)問(wèn)題，所以函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想也是必要的，把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值

問(wèn)題、把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題等，轉(zhuǎn)化與化歸思想也起著同樣的作用，解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的解

答題要充分注意數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.

13.【2015高考天津，理20(本小題滿分14分)已知函數(shù)/(x)=nx—x",xeR,其中neN*,n22.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(II)設(shè)曲線y=/(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g(x),求證：對(duì)于任意的正實(shí)

數(shù)X，都有f(x)<g(x);

(Ill)若關(guān)于x的方程/(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)根如x2,求證：|X2-X"<JL+2

1-n

【答案】⑴當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，/(x)在(-8,-1),(1,+oo)上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

/(x)在(-00,-1)上單調(diào)遞增，/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減.(H)見(jiàn)解析；(HI)見(jiàn)解析.

【解析】⑴由/(工)=見(jiàn)一必，可得，其中且〃之2,

下面分兩種情況討論：

(1)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)：

令/''(x)=0,解得x=l或x=-l,

當(dāng)x變化時(shí)，/'(x),f(x)的變化情況■如下表；

X(-X-1)(-111)

f\x)—+—

/(x)/

所以，/(x)在(一應(yīng)一1),往田)上單調(diào)遞減，在(一L1)內(nèi)單調(diào)遞噌.

(2)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)/'(x)〉0,即x<l時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)/'(x)<0,即x〉l時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.

所以，/(X)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，/(X)在(L+O0)上單調(diào)遞減.

1

2

(II)證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,0),則/=〃再，f'(x0)^n-n,曲線y=/(x)在點(diǎn)P處的切線方程為

y=/'(xo)(x—%),即g(x)=/'(xo)(x—xo),令尸(x)=/(x)-g(x),即

F(x)=/(x)—/(x0)(x—/)，則F'(x)=7'(x)-r(Xo)

由于r(x)=-〃x"T+〃在(0,+8)上單調(diào)遞減，故尸(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，又因?yàn)槭?x0)=0,所以

當(dāng)xe(O,xo)時(shí)，F(xiàn)'(x0)〉0,當(dāng)xe(x0,+oo)時(shí)，F(xiàn)'(x0)<0,所以尸(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x°,+8)

內(nèi)單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x都有尸(x)4/(x0)=0,即對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,都有/(x)4g(x).

(Ill)證明：不妨設(shè)西<12，由(11)知8(冗)=(〃-〃2)(工一工0),設(shè)方程g(x)=。的根為"，可得

"=~~2~^X0-,當(dāng)〃22時(shí)，g(x)在(一8,+00)上單調(diào)遞減，又由(II)知g(12)2/(12)=Q=且(12')，可

n-n

得/?X；.

類似的，設(shè)曲線y=/(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y=〃(x),可得〃(x)二公:，當(dāng)x￡(0,+oo),

f(x)-h(x)=-xn<0,即對(duì)任意xe(0,+oo),f(x)<h(x).

設(shè)方程〃(x)=a的根為x；,可得x；=人,因?yàn)榱?刈=心在(—00,+8)上單調(diào)遞增，且

n

/z(x/)=a=/(Xj)</i(X]),因此無(wú);<不.

由此可得%-%i<乙'一x\=——+/?

l-n

i

因?yàn)椤?2,所以2"7=(1+1)〃721+。3=1+〃-1=〃，故22〃商=%,

—

所以|x2X]|<--------F2.

【考點(diǎn)定位】1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；2.導(dǎo)數(shù)的兒何意義；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系以及利用函數(shù)證明不等式.第(I)小題求導(dǎo)后分〃為

奇偶數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分類討論的重要思想；第(11)(111)中都利用了構(gòu)造函數(shù)證明不等式這

一重要思想方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法在解題中的重要作用，是撥高題.

?丫2-4-nxz

14.【2015高考重慶，理20】設(shè)函數(shù)〃x)=’e(aeR)

(1)若/(x)在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線)，=〃x)在點(diǎn)處的切線方程;

(2)若/(x)在[3,+0。)上為減函數(shù)，求a的取值范圍。

9

【答案】(1)a=0,切線方程為3x?沖=0；(2)[--,+oo).

xx:

【解析】⑴對(duì)，(x)求導(dǎo)得r(x)=^(—6x+a)'一e—L(3x—*+ax—]e=—3'x+(6'-a]x一+a

(/)/

因?yàn)閒(x)在x=0處取得極值，所以尸(0)=0,即4=0.

當(dāng)a=0時(shí)，0年/(?=士二^,故/(1)=2/(1)=2,從而“刈在點(diǎn)。，/⑴)處的切線方程

QeQe

33

為1y——=_(x-l)：化簡(jiǎn)得3x-ej=0

eQ

,/曰*、-3/+(6_q)x+a

⑵由⑴得，f\x)=-------—：

e

令gtx)=_3x，+(6-q)x+a

iz.八tzn/e6—a-Ja▲十366—。+Ja'+36

由g(力=0,解得毛=---------------SX.=---------------

66

當(dāng)時(shí)，g(x)v0,故/(x)為減函數(shù);

當(dāng)玉<x<x2^i,g(x)>0,故/(x)為增函數(shù)；

當(dāng)冗>%2時(shí)，g(x)<0,故/(%)為減函數(shù)；

由/(x)在［3,+8)上為減函數(shù)，知乙=6-"+'"+36W3,解得aN—2

62

9

故a的取值范圍為［-］,+8).

【考點(diǎn)定位】復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值，切線，單調(diào)性.考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題

的能力.

【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用通常圍繞四個(gè)點(diǎn)進(jìn)行命題.第一個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)的幾何意義展開(kāi)，設(shè)計(jì)求曲線

的切線方程，根據(jù)切線方程求參數(shù)值等問(wèn)題，這類試題在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的同時(shí)也考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、

函數(shù)等知識(shí)，試題的難度不大；第二個(gè)點(diǎn)是圍繞利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)展開(kāi)，設(shè)計(jì)求函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)或者參數(shù)范圍等問(wèn)題，在考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)

考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法；第三個(gè)點(diǎn)是圍繞導(dǎo)數(shù)研究不等式、方程展開(kāi)，涉

及不等式的證明、不等式的恒成立、討論方程根等問(wèn)題，主要考查通過(guò)轉(zhuǎn)化使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并把函

數(shù)性質(zhì)用來(lái)分析不等式和方程等問(wèn)題的能力，該點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)一般是解答題中的兩個(gè)設(shè)問(wèn)，考查的核心是

導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；第四個(gè)點(diǎn)是圍數(shù)性質(zhì)并把函數(shù)性質(zhì)用來(lái)分析不等式和方程等

問(wèn)題的能力，該點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)一般是解答題中的兩個(gè)設(shè)問(wèn)，考查的核心是導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法和函數(shù)

性質(zhì)的應(yīng)用；本題涉及第一個(gè)點(diǎn)和第二個(gè)點(diǎn)，主要注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為二次函

數(shù)的性質(zhì).

15.【2015高考四川，理21】已知函數(shù)/(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2q2+a,其中a〉0.

(1)設(shè)g(x)是。(x)的導(dǎo)函數(shù),評(píng)論g(x)的單調(diào)性；

(2)證明：存在ae(0,l),使得/(x)20在區(qū)間(1,+oo)內(nèi)恒成立，且/(x)=0在(1,+8)內(nèi)有唯一解.

1J4ai+Ji_4a

【答案】(1)當(dāng)0<a<W時(shí)，g(x)在區(qū)間(°，；)，(；，+8)上單調(diào)遞增,在區(qū)間

1-Jl-4a1+J1一4a1

的二十;衛(wèi))上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增.(2)詳見(jiàn)解析.

【解析】(1)由已知，函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),

g(x)=f'(x)=2x-2a-21nx—2(1+—),

x

o02(x」)2+2(aJ

所以g，(x)=2二+烏J2)「4。

XXX

11—Ji—4a1+Ji_4a

當(dāng)0<a<1時(shí)，g(x)在區(qū)間(0,L),(0,+oo)上單調(diào)遞增，

.A—yJl—4a1+Jl—4〃.、田*甘

在區(qū)間(---------,----------)上單1yl調(diào)遞減；

當(dāng)a2,時(shí)一，g(x)在區(qū)間(0,y》)上單調(diào)遞增.

4

(2)由/'(x)=2x-2。-21nx-2(1+上)=0,解得a=---------

x1+x

人/、?x-l-lnx?x-l-lnx..x-l-lnx.x-1-lnx

令叭x)=-2(x+———X)l]nx+x2*1-*42(z—~~)x-2(z—~—)2+—~.

l+X1+Xl+X1+X

貝小⑴=l>O，e(e)=-魯字)-2(尸pAvO,.

\+e1+e

故存在x()€(l,e),使得例>0)=0.

令4='%]],,"(x)=x_]_lnx(xZ]),.

由/(%)=1一420知，函數(shù)M(X)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增.

X

所以0=她<^^=4

1+11+x-'l+e-'l+e''

即aoe(O,l).

當(dāng)時(shí)，有/'(七)=0)(毛)=?天)=0，.

由(1)知，函數(shù)r(x)在區(qū)間(L+x)上單調(diào)涅噌.

故當(dāng)xe(L不)時(shí),有/''(々)<0,從而/(x)>/(/)=0；

當(dāng)xe5,yc)時(shí)，有八引>0,從而與)=0；

所以，當(dāng)xeQ+oc)時(shí)，/(x)>0.

綜上所述，存在ae(Ql),使得/(x)NO在區(qū)間(1,+x)內(nèi)恒成立，且/(x)=0在(1,FC)內(nèi)有唯一解.

【考點(diǎn)定位】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能

力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合，化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

【考點(diǎn)定位】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能

力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合，化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

【名師點(diǎn)睛】本題作為壓軸題，難度系數(shù)應(yīng)在0.3以下.導(dǎo)數(shù)與微積分作為大學(xué)重要內(nèi)容，在中學(xué)要求學(xué)生

掌握其基礎(chǔ)知識(shí)，在高考題中也必有體現(xiàn).一般地，只要掌握了課本知識(shí)，是完全可以解決第(1)題的，所

以對(duì)難度