高考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練22（含答案解析）

高考數(shù)學(xué)真題分類—橢圓的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程

一、選擇題（本大題共3小題，共15.0分）

1.已知橢圓W+1過點(diǎn)（一轉(zhuǎn)）和（3,-：），則橢圓離心率e=（）

A.2B.在C-D.|

5555

2.已知橢圓C的焦點(diǎn)為三（一1,0）,尸2（1,0）,過尸2的直線與C交于A,8兩點(diǎn).若依尸2|=2|尸2用,

\AB\=\BFr\,則C的方程為（）

A.^+y2=lB.^+^=1C.蘭+^=1D.r+g=1

27324354

3.設(shè)尸是橢圓9+?=1上的動(dòng)點(diǎn)，則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（）

A.2V2B.2V3C.2V5D.4V2

二、不定項(xiàng)選擇題（本大題共2小題，共8.0分）

4.（5分）已知曲線C：mx2+ny2=1.（）

A.若m>n>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若m=n>0,則C是圓，其半徑為近

C.若nm<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±

D.若m=0,n>0,則C是兩條直線

5.已知曲線（?:〃/+〃/=i（）

A.若m>n>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若m=n>0,則C是圓，其半徑為近

C.若nm<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±

D.若m=0,n>0,則C是兩條直線

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

6.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn),8與尸分別為橢圓捻+、=l（a>b>0）的上頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)，若|OB|=\OF\,

則該橢圓的離心率是.

7.在橢圓?+?=1上任意一點(diǎn)P,Q與尸關(guān)于x軸對(duì)稱，若有肝?虧W1,則瓦戶與俄的夾角

范圍為.

8.設(shè)Fi，尸2為楠圓C：立+[=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若AMFiB為等腰三

3620

角形，則M的坐標(biāo)為.

9.己知橢圓?+?=1的左焦點(diǎn)為凡點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方，若線段P尸的中點(diǎn)在以原點(diǎn)

。為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是.

四、解答題(本大題共14小題，共168.0分)

10.(12分)已知橢圓C：,l(a>b>0)過點(diǎn)M(2,3),點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求AAMN的面積的最大值.

11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：七+g=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、尸2,點(diǎn)A在橢圓E

43

上且在第一象限內(nèi)，AF2LF1F2,直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)B.

(1)求△46尸2的周長(zhǎng)；

(2)在x軸上任取一點(diǎn)尸，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q,求赤?評(píng)的最小值；

(3)設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記△CMB與AAMB的面積分別為Si，S2,若52=3S「求點(diǎn)M的坐標(biāo).

第2頁(yè)，共28頁(yè)

12.(12分)

已知橢圓G：^+3=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)尸與拋物線。2的焦點(diǎn)重合，G的中心與。2的頂點(diǎn)重

合.過尸且與x軸垂直的直線交a于4B兩點(diǎn)，交于C,D兩點(diǎn)，且|CD|=g|AB|.

(1)求G的離心率：

(2)若G的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12,求G與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

13.已知橢圓。己+￡=<5i的離心率為回，A,B分別為C的左右頂點(diǎn).

25nr4

(1)求C的方程；

(2)若點(diǎn)尸在C上，點(diǎn)Q在直線x=6上，且|BP|=|BQ|,BP±BQ,求△APQ的面積.

14.已知A,B分別為橢圓E:1+/=l(a>l)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，前?口=8,P

a-

為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，P4與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)、為D,

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

15.已知橢圓q：5+'=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)重合，C］的中心與的的頂點(diǎn)

重合.過F且與x軸垂直的直線交G于A,8兩點(diǎn)，交于C,。兩點(diǎn)，且|CD|=g|4B|.

(1)求G的離心率；

(2)設(shè)M是Q與。2的公共點(diǎn)，若|MF|=5,求G與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

16.已知橢圓C:二+q=1(。>匕>0)的離心率為逛，且過點(diǎn)力(2,1).

，廠2

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)M,N在C上，且AD±MN,加為垂足.證明：存在定點(diǎn)。，使得|DQ|為定值.

17.已知A,8分別為橢圓E：W+/=l(a>1)的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，前?而=8,P

為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C,P8與E的另一交點(diǎn)為O,

第4頁(yè)，共28頁(yè)

(1)求E的方程;

(2)證明：直線C。過定點(diǎn).

18.設(shè)橢圓《+，=l(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為苧，|AB|=S5

(/)求橢圓的方程；

(〃)設(shè)直線/：丫=生《卜<0)與橢圓交于尸，。兩點(diǎn)，直線/與直線4B交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均

在第四象限.若ABPM的面積是ABPQ面積的2倍，求Z的值.

19.己知橢圓M：l(a>b>0)的離心率為凈焦距為2魚.斜率為&的直線/與橢圓M有

兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B.

(I)求橢圓”的方程；

(11)若卜=1,求|4B|的最大值；

(III)設(shè)P(-2,0),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若

C,D和點(diǎn)Q(一共線，求左.

20.已知斜率為A的直線/與橢圓C：=+?=1交于兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為0).

(1)證明:fc<-1；

(2)設(shè)尸為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且麗+西+而=6，證明：2|FP|=\FA\+\FB\.

21.已知橢圓C：5+、=1的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)4(0,1).

(1)求橢圓。的方程；

(II)設(shè)。為原點(diǎn)，直線/：y=/cx+t(tR±l)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)尸、Q,直線AP與x軸

交于點(diǎn)例，直線4。與x軸交于點(diǎn)N.若［OM|?|ON|=2,求證：直線/經(jīng)過定點(diǎn).

22.已知斜率為4的直線/與橢圓C：立+些=1交于A,8兩點(diǎn)，線段A8的中點(diǎn)為0).

43

(1)證明：fc<-j;

(2)設(shè)尸為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且就+同+而=6.證明：I而I，I而I，I而I成等差

數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.

第6頁(yè)，共28頁(yè)

23.設(shè)橢圓奈+g=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為8.已知橢圓的離心率為爭(zhēng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(6,0),且|FB|?\AB\=6V2.

(I)求橢圓的方程；

(11)設(shè)直線/：y=kx(k>0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P,且/與直線AB交于點(diǎn)Q.若

j^=￥sinN40Q(0為原點(diǎn))，求k的值.

答案與解析

1.答案：A

解析：解：橢圓0S=1過點(diǎn)（-4,：）和（3,-：）,

Q，55

（竺+，-=1

則捋2鬻，解得&=5,b=l,

匕+痂=1

???c2=a2—b2=24,

???c—2A/6?

c2V6

"~a~s"

故選：A.

將點(diǎn)代入可得方程組，解得a=5,b=l,根據(jù)離心率公式即可求出.

本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：B

解析：

本題考查了橢圓的定義以及方程，余弦定理，屬于中檔題.

根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理列方程可解得。=b，b=&，可得橢圓的方程.

解：???依/21=2|B6I，

A\AB\=3\BF2\,

又|AB|=|BF/,

???|BFi|=3|BF2|,

又|BF/+\BF2\=2a,-\BF2\=p

\AF2\=a,|B&|=-a,

則|4F2|=\AF1\=a,

所以A為橢圓短軸端點(diǎn)，

在RtAAF2。中，COS^.AF20=

在小B&F2中，由余弦定理可得cos4BFzFi=

2

根據(jù)COSZTlF?。+CQSZ-BFP1—0，可得工+4-2a-0，

2a2a

第8頁(yè)，共28頁(yè)

解得=3,

:.a=V3?b2=a2—c2=3—1=2,

所以橢圓c的方程為：式+藝=1,

32

故選B.

3.答案：C

解析：

本題考查橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用桶圓方程求出a,再利用橢圓定義求解即可.

解：橢圓gg=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸，a=V5，

P是橢圓"=1上的動(dòng)點(diǎn)，

由橢圓的定義可知，P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a=2V5.

故選C.

4.答案：ACD

解析：

本題考查圓錐曲線方程的定義，屬于中檔題.

根據(jù)所給條件，逐一分析對(duì)應(yīng)的方程形式，結(jié)合橢圓、圓、雙曲線方程的定義進(jìn)行判斷即可.

解：4若7n>n>0,則\<；，則根據(jù)橢圓定義，知1+]=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正

mn

確；

B.若m=n>0,則方程為/+y2=1,表示半徑為親的圓，故8錯(cuò)誤；

C.若m<0,n>0,則方程為%了2++y2=1,表示焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，故此時(shí)漸近線方程為

mn

m

---X,

7=+.n

y2

若m>0,n<0,則方程為丁+丁1,表示焦點(diǎn)在X軸的雙曲線,故此時(shí)漸近線方程為y=土l-^x,

mn

故C正確;

。當(dāng)巾=0,n>0時(shí)，則方程為曠=士親表示兩條直線，故力正確；

故選：ACD.

5.答案：ACD

解析：

本題考查圓錐曲線的相關(guān)概念，考查邏輯推理能力，難度一般.

化為標(biāo)準(zhǔn)方程后再研究.

y2

解：當(dāng)zn.nWO時(shí)，+幾y2=1可化為工+3=1,

mn

1142y2

若小>71>0,則故工+丁=1表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，故A正確；

mn

若m=m/+ny2=］可化為％2+y2=三，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為口的圓，

n7n

故3錯(cuò)誤；

若mn<0,則C是雙曲線，令7n%2+ny2=o,故其漸近線方程為曠=±&心故C正確;

若m=0,n>0>m%2+ny2=1可化為y2=；,即y=±J1,表示兩條直線，故￡）正確.

故選ACD.

6.答案：也

2

解析：

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力.屬基礎(chǔ)題.

利用已知條件推出b=C,轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可.

第10頁(yè)，共28頁(yè)

解：0為坐標(biāo)原點(diǎn)，B與尸分別為橢圓盤+，=l(a>b>0)的上頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)，

由|0B|=|。9|,可得b=c,則a=a2+(2=戊c.

所以橢圓的離心率為：e=￡=蟲.

a2

故答案為它.

2

7.答案：［兀一arccos［,兀］或［arccos(一1)，兀］

解析：

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，平面向量的夾角與數(shù)量積，屬于中檔題.

設(shè)P(x,y),貝UQ(x,-y),結(jié)合審.用W1,9+?=1可得：y2e［1,2］,進(jìn)而可得瓦戶與用少的夾

角。滿足：cos。=總瞽的范圍，最后得到答案.

解：設(shè)P(x,y),則Q(x,-y),

橢圓?+?=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B(-a,0),F2(V2,0),

???印?可W1，

???x2-2+y2<1,

結(jié)合式+日=1

42

可得：y2e［1,2］

故用與碗的夾角。滿足：

222

門評(píng)?雨x-2-y2-3yo,8-，1,

|&P|?|F2QIJ(x2+2+y2)2-8x2y2+2y2+23J

故9G［?！猘rccos］,用或［arccos(—1),兀］

故答案為：［兀-arccos”］或［arccos,n］

8.答案：(3,同)

解析：

本題主要考查橢圓的方程，考查分類討論思想方法，屬于中檔題.

設(shè)M(7n,zi),n>0,求得橢圓的a,btc,由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得|MF/>|MF2|,

△MF/2為等腰三角形，可能|MF/=2c或|MF2|=2c,分類討論即可得出M的坐標(biāo).

解：設(shè)(m,n>0),

由橢圓C5+5=1可得，。=6,b=2A/5,c=4,

則取F](—4,0).(4,。)，

由于M為。上一點(diǎn)且在第一象限，可得IMF/>|M&I，

△MF/2為等腰三角形，可能IMF/=2c或IMF2I=2c,

所以商+痛=1或前十五二，,

(jn+4)24-n2=64[(m-4)2+n2=64

解吸;法

所以M(3,、砥),

故答案為(3,尺).

9.答案：V15

解析:

本題主要考查橢圓的定義和方程、性質(zhì)，注意運(yùn)用三角形的中位線定理、余弦定理，考查方程思想

和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

求得橢圓的a”,c,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸'，連接PF',運(yùn)用三角形的中位線定理和橢圓定理求得△PFP

各邊長(zhǎng)，利用余弦定理求NPFF'的余弦值，進(jìn)而可求該角的正切值，即為直線PF的斜率.

解：橢圓9+?=1的。=3,b=痘,c=2,

線段P尸的中點(diǎn)4在以原點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓上,

連接AO,可得|P『|=2|40|=4,

△PFF'中，PF=6-PF'=2,FF'=4,PF'=4,

第12頁(yè)，共28頁(yè)

二由余弦定理得C0S4PFF'=P盧+"'2-PF，2

2PFxFFf

42+22-4Z1

2X2X44

???sin乙PFF'=

.%tan^PFF7=V15，即直線PF的斜率為

故答案為丁1于

10.答案：解：(1)由題意可知直線AM的方程為：y-3=*x-2),即x-2y=-4,

當(dāng)y=0時(shí)，解得x=—4,所以a=4,橢圓C：提+，=l(a>b>0)過點(diǎn)M(2,3),

可得白+白=1，解得爐=12,

16

所以c的方程:總+1=1.

(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：x-2y=m,當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線

與橢圓的切點(diǎn)為M此時(shí)AAMN的面積取得最大值.

x-2y=m代入橢圓方程：—4-—=1.

’1612

化簡(jiǎn)可得：16y2+I2my+3m2-48=0,所以△=144m2—4x16(3m2—48)=0,即m?=64,

解得巾=±8,

與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程：x-2y=8,

利用平行線之間的距離為：d=嵩=今鳥

MM|=7(2+4)2+32=3辰.

所以△4MN的面積的最大值：ix3V5x—=18.

25

解析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考

查學(xué)生分析問題解決問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是偏難題.

(1)利用已知條件求出4的坐標(biāo)，然后求解〃，得到橢圓方程.

(2)設(shè)出與直線AM平行的直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用判別式為0,求出橢圓的切線方程，然后求

解三角形的最大值.

11.答案：解：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，。2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,

所以△力&尸2的周長(zhǎng)=2a4-2c=6.

o3

(2)由橢圓方程得4(1,|),設(shè)P(t,0),則直線AP方程為y=￡Q_t),

橢圓的右準(zhǔn)線為：x=-=4,

C

所以直線AP與右準(zhǔn)線的交點(diǎn)為。(4,|?工)，

L1—C

OP-QP=(t,0)?(t-4,0--?—)=t2-4t=(t-2)2-4>-4,

21—t

當(dāng)t=2時(shí)，(赤?評(píng))疝”=-4?

(3)若52=3S1，設(shè)O到直線AB距離d],M到直線A8距離d2,則：x|48|xd2=：xx刈x3,

即弘=3d],

4(1，|)，F(xiàn)iC-1,0),可得直線AB方程為y=：(x+l),即3x-4y+3=0,所以刈=|,d2=

由題意得，M點(diǎn)應(yīng)為與直線AB平行且距離為高的直線與橢圓的交點(diǎn)，

設(shè)平行于AB的直線/為3x-4y+m=0,與直線AB的距離為，

第14頁(yè)，共28頁(yè)

所以噫W=P即7n=一6或12,

V9+165

當(dāng)m=-6時(shí)，直線/為3%-4y-6=0,即y=；(%-2),

聯(lián)立，2；：：),可得Q-2)(7久+2)=0,叫;：:

所以M(2,0)或(號(hào)，一表

當(dāng)m=12時(shí)，直線/為3x—4y+12=0,即y=[(%+4),

(y=-(%+4)

聯(lián)立%，可得?/+18%+24=0,A=9X(36-56)<0,所以無解,

±+匕=14

143

綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)或(一：,一芝).

解析：(1)由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知”，b,c?的值，根據(jù)橢圓的定義可得AAF/z的周長(zhǎng)=2a+2c,代入

計(jì)算即可.

(2)由橢圓方程得4(1,|),設(shè)P(t,0),進(jìn)而由點(diǎn)斜式寫出直線AP方程，再結(jié)合橢圓的右準(zhǔn)線為：x=4,

得點(diǎn)Q為(4,|?三)，再由向量數(shù)量積計(jì)算最小值即可.

⑶在計(jì)算ACMB與的面積時(shí)，A8可以最為同底，所以若S?=3S],則。到直線AB距離刈與

M到直線AB距離為，之間的關(guān)系為d2=3豈，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得力=J,d2=|,所以題

意可以轉(zhuǎn)化為M點(diǎn)應(yīng)為與直線AB平行且距離為3的直線與橢圓的交點(diǎn)，設(shè)平行于AB的直線/為

3x-4y+m=0,與直線AB的距離為:根據(jù)兩平行直線距離公式可得，m=—6或12,然后在分

兩種情況算出M點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

本題考查橢圓的定義，向量的數(shù)量積，直線與橢圓相交問題，解題過程中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬

于中檔題.

12.答案：解：(1)?；F為橢圓G的右焦點(diǎn)，且A3垂直x軸，???F(c,0),|48|=不，

設(shè)拋物線C2方程為y2=2px(p>0),丁尸為拋物線C2的焦點(diǎn)，且CQ垂直x軸，

???尸名,0),|CD|=2p,

c=-

v\CD\=^\AB\,G與C2的焦點(diǎn)重合，???2

c42b2

2P=3X~

整理得4c=—,：■3ac=2b2,3ac=2a2—2c2,

設(shè)G的離心率為e,則2e2+3e-2=0,解得e=［或e=—2(舍)

故橢圓G的離心率為］

22

(2)由(1)知a=2c,b=p=2c,,??6：^+￡=1，Q：y2=4cx,

.??Ci的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2c,0),(-2c,0),(0,岳),(0,-V3c),C2的準(zhǔn)線為％=—c,

由已知得3c+c+c+c=12,即c=2.

所以Cl與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為?+1，y2=8x

解析：本題主要考查橢圓和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置

關(guān)系，屬于中等題.

(1)根據(jù)題意，列出橢圓a,b,c之間的齊次方程，求出離心率；

(2)由(1)可設(shè)q與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程即可求出c的值，從而得到G與C2的標(biāo)準(zhǔn)

方程。

13.答案：解：(1)e=2=叵，烏=身，

、,Q4a216

b2=a2—c2=—a2=—

16169

.?.c的方程為5+￡=1.

16

(2)由題:4(—5,0),8(5,0),設(shè)Q(6,t),顯然tH0,

則岫＜2=t，:BPJ.BQ,則跖P=一9，

則直線BP方程為：y=一沁-5),聯(lián)立總+普=1,

化簡(jiǎn)得2解得

?2+16)y-10ty=0,yp=3*，xP=5-tyP,

???\BP\=\BQ\,

第16頁(yè)，共28頁(yè)

At2yp+=14-12,即=1,

代入"=哉,解得t=±2,±8,

當(dāng)t=2時(shí)，Q(6,2),P(3,l),|PQ|=VlO.

PQ方程為：x-3y=0,點(diǎn)A到直線PQ的距離為盤=手，

則SEIAPQ=IxV10x卑=I；

當(dāng)t=8時(shí),(2(6,8),P(-3,1),|PQ|=V130)

PQ方程為：7x-9y+30=0,點(diǎn)4到直線尸。的距離為擢=高,

511^=1x7130x^=1，

根據(jù)對(duì)稱性，"-25=-8時(shí)面積均為|,

綜上：I34PQ的面積為|.

解析：本題考查橢圓方程的求解，兩點(diǎn)間距離公式，直線方程，點(diǎn)到直線距離公式的綜合運(yùn)用，屬

于較難題.

14.答案：解：

由題意4(一a,0),B(a,0),G(0,l),B=(a,1),GB=(見-1),

AG-GB=a2—l=8=>a2=9=>a=3?

，橢圓E的方程為土+y2=1.

9J

(2)由⑴知力(-3,0),B(3,0),P(6,m),

則直線尸A的方程為、=為0+3),

(fy=30+3)

聯(lián)立<=>(94-m2)x2+6m2%+9m2-81=0,

Iey2=i

由韋達(dá)定理-3先=*1nxe=三竺竽，代入直線PA的方程、=孩0+3)得，兒=事，即

L9+m2L9+m29八9+m2

「f-3m2+276m、

C\9+m2,9+m2)1

直線PB的方程為y=￡(x—3),

fy=g(%-3)

聯(lián)立<?=(1+m2)%2—6m2x+97n2—9=0,

I22=1

由韋達(dá)定理3孫=*=和=/，代入直線PA的方程、=g0-3)得，丫。=消，即

u1+m2u1+m23/"1+m2

n,3m2—3-2zn、

(l+m2F+m2)，

6m-27n

二直線CD的斜率冊(cè)。=每房v=*百，

9+m21+m2

???直線co的方程為y-1s=&(X一窯),

整理得y=^(x-l)'

???直線co過定點(diǎn)(|,o).

解析：本題考查直線于橢圓的位置關(guān)系，定點(diǎn)問題，屬于較難題；

(1)求出各點(diǎn)坐標(biāo)，表示出向量；

(2)求出C,。兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線CQ,即可證明.

15.答案：解：(1)???/；■為橢圓G的右焦點(diǎn)，且AB垂直x軸，???F(c,0),|力B|=手,

第18頁(yè)，共28頁(yè)

設(shè)拋物線。2方程為必=2Px(p>0),

???F為拋物線C2的焦點(diǎn)，且CZ)垂直x軸,

???F(p0),\CD\=2p,

\CD\=^\AB\,G與C?的焦點(diǎn)重合,

_P

C~2

42b2,

2P=y

a

整理得4c=—>3ac=2b2,Sac=2a2—2c2,

3a

設(shè)G的離心率為e,貝U2e2+3e-2=0,解得e=三=一2(舍),

故橢圓Q的離心率為去

(2)由(1)知a=2c,b=V3c，p=2c,

聯(lián)立兩曲線方程，消去y得3/+16cx-12c2=0,

:.(3x—2c)(x+6c)=0,

???x=|c或％=-6c(舍)，

從而|MF|=|c+c=|c=5,解得c=3,

所以G與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為總+，=1，y2=12x.

解析：本題主要考查橢圓和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置

關(guān)系，屬于中檔題.

(1)根據(jù)題意，列出橢圓a,b,c之間的齊次方程，求出離心率；

(2)由(1)可設(shè)G與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程，聯(lián)立求出M的坐標(biāo)，即可求出c的值，從而得到Q與的標(biāo)準(zhǔn)方

程.

16.答案：團(tuán)解：由題意可知￡=立，W+W=l，a2=b2+c2,

a2azb，

解得M=6,b2=3,

所以橢圓方程為次+g=1.

63

團(tuán)證明：設(shè)點(diǎn)N(%2,y2)，

因?yàn)?M1AN,所以,孑3=一1，

所以y，2-(yi+y2)+1=一/檢+2g+x2)-4,①

當(dāng)％存在的情況下，設(shè)MN:y=kx+m,

聯(lián)立{%7'6得(1+2心)x?+4kmx+2m2—6=0,

由4>0,得6k2-^2+3>0,

由根與系數(shù)的關(guān)系得%】+&=-懸，蓋，

所以yi+y2=kg+x2)+2m=若卜，

22

y，2=kxxx2+km{xx+x2)+m=:晨,

代入①式化簡(jiǎn)可得4/+8km+(m-l)(3m+1)=0,

即(2k+m—l)(2fc+3m+1)=0,

所以m=1—2k或m=一肖2，

第20頁(yè)，共28頁(yè)

所以直線方程為y=kx+l-2k或y=kx-空

所以直線過定點(diǎn)(2,1)或(|,一J),

又因?yàn)?2,1)和A點(diǎn)重合，故舍去，

所以直線過定點(diǎn)

所以為定值，又因?yàn)閳F(tuán)為直角三角形，A￡為斜邊,

所以AE中點(diǎn)。滿足|QD|為定值.，此時(shí)QC，｝.

解析：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.

目根據(jù)條件列方程求解即可.

國(guó)聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩直線的斜率之積為-1化簡(jiǎn)即可證明.

17.答案：解:

由題意4(-a,0),B(Q,0),G(0,l),而=(a,l),GB=(a,-l),

AG-GB=。2-1=8=＞。2=9=。=3，

2

???橢圓E的方程為二+y2=i.

9)

(2)由(1)知4(一3,0),8(3,0),P(6,m),

則直線PA的方程為y=￡(x+3),

,fy=(x+3)

聯(lián)立，=(9+m2)x2+6m2x+9m2—81=0,

Iey2=i

由韋達(dá)定理-3xc=史胃=q=*弄，代入直線PA的方程y=?(x+3)得，yc=事，即

e9+m2c9+m29八9+m2

,-3m2+276m、

L(9+優(yōu)，9+優(yōu))，

直線的方程為'=與0-3),

y=—(x-3)

32222

聯(lián)立(y2=>(14-m)x—6mx+9m—9=0,

-+y2=l

由韋達(dá)定理33=*=和=吟，代入直線融的方程y=g(x-3)得，丫。=券，即

u1+m2u1+m23八1+m2

3m2-3-2m

以n/l+m2」+療人

6m-2m

二直線CD的斜率心。=?系需v=遙亍

9+m21+m2

二直線CD的方程為y-恚=；7日W(x-容)，

1+m23(3-mz)1+m2'

整理得y=-

???直線CQ過定點(diǎn)(|,0).

解析：本題考查直線于橢圓的位置關(guān)系，定點(diǎn)問題，屬于較難題;

(1)求出各點(diǎn)坐標(biāo)，表示出向量；

(2)求出C,。兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線CD,即可證明.

18.答案：解：(/)設(shè)橢圓的焦距為2c,

由已知可得標(biāo)=|,又。2=￡)2+?2,|4B|=Va2+爐=VT^

解得Q=3,b=2,

二橢圓的方程為：江+^=1,

94

第22頁(yè)，共28頁(yè)

(〃)設(shè)點(diǎn)POIXL),M(x2,y2')'(%2>Xi>O).JIIJ(?(-%1，-yt).

???△BPM的面積是ZkBPQ面積的2倍，|PM|=2|PQ|,從而不一與=2[與一(一的)],

?,?%2=5%],

易知直線A8的方程為：2%+3y=6.

,(2x4-3y=6__.?6八

由),,可得z不=——>0.

(y=kx23k+2

由,4/+9y2=36可得_6

=kx'可得/一標(biāo)K

O1

n、9k2+4=5(3k+2)，=181+25k+8=0,解得k=一§或九=一亍

由亞=搐>0.可得k>一：，故卜=一￡.

JK?4J/

解析：本題考查了橢圓的方程、幾何性質(zhì)，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

（/）設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知可得冬=，又a2=b2+c2,解得a=3,b=2,即可.

（〃）設(shè)點(diǎn)PQi，%）,M（x2,y2）,（x2>%i>0）.則（2（-/,一%）.由4BPM的面積是4BPQ面積的2倍,

5x

可得％2-匕=2[%1-x2=i>聯(lián)立方程求出由久2=兀%>0，可得&,

19.答案：解：（I）由題意可知：2c=2或，則。=魚，橢圓的離心率e=￡=①，則。=百，

a3

b2=a2—c2=1,

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1+y2=i；

3J

(II)設(shè)直線AB的方程為:y=x+m,4(%,力),B(x2,y2),

ry=x+m

聯(lián)立2_]，整理得：4x2+6mx+3m2—3=0,△=(6m)2—4x4x3(m2—1)>0,整理

13y—

得：m2<4,

2

+,%=37n,=3(m-l)),

X12N4xx

\AB\=A/1+HJ?+&)2—4%I%2=^-y/4—m2f

???當(dāng)m=0時(shí)，|AB|取最大值，最大值為歷；

(皿)設(shè)直線PA的斜率須4=等p直線PA的方程為：、=/￥(%+2),

:X1+2()，消去y整理得：(*+4/+4+3火)/+12丫*+(12資-3后一12%1-

聯(lián)立

m+y2=i

12）=0,

2

由￡+*=1代入上式得，整理得：（4xi+7）/+（12-4*）x-（7婢+12xi）=0,

刈"=-叱，「一蟹，則兒=含（一整+2）=券，

則c（一部，爵），同理可得：°（一登缶券），

由則<2,=(4(4；+7)二；4；：7)7)，QD=(4(4：+7)'北；；7；)

由近與而共線，則小xM廣小義黯?

整理得：則直線的斜率=受資=

y2-x2=yi-x1,ABk1,

.1.k的值為1.

解析：(I)根據(jù)橢圓的離心率公式即可求得。的值，即可求得人的值，求得橢圓方程；

(U)當(dāng)k=l時(shí)，設(shè)直線AB的方程，代入橢圓方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求得|48|的最大值；

(HI)求得直線PA的方程，代入橢圓方程，即可根據(jù)韋達(dá)定理即可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得。點(diǎn)坐

標(biāo)，即可求得無與亞，根據(jù)向量的共線定理，即可求得直線AB的斜率.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，向量的共線

定理，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

答案：解：⑴設(shè)力)，

20.4(4B(x2,y2),

???線段AB的中點(diǎn)為

???+&=2,yi+丫2=2m

將A,8代入橢圓C：丘+”=1中，可得

43

(3好+4比=12

(3x^+4yj=12,

兩式相減可得,不)+。+丫加一丁

3(X1+X2)(Xi-412)(2)=0，

即丫

6(a-x2)+8moi-2)=0-

,yi-y263

???k=-----------=---=---

久1一x287n4m

點(diǎn)M(Lm)在橢圓內(nèi)，即:+苧<1，0>0),

解得0<m<|

31

:.k=---<--

4m2

(2)證明：設(shè)§(%2，乃)，P(%3，y3)，

可得與+超=2

,**FP+FA+FB=0，9(1,0)，—1+%2—1+%3—1=0，

???%3=1

由橢圓的焦半徑公式得則|凡|陽=

4|=Q-％=2-11，2-\FP\=2-|x3=|-

則|F4|+/=4-[Qi+上)=3,

A\FA\+\FB\=2|FP|,

第24頁(yè)，共28頁(yè)

解析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查了點(diǎn)差法、焦半徑公式，考查分析問題解

決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用與計(jì)算能力的考查.屬于中檔題.

⑴如(%[%)，B(x2,y2)>利用點(diǎn)差法得6(%一工2)+8刈(71—、2)=0,上=年￡=一卷=一亮

又點(diǎn)在橢圓內(nèi)，即:+9<l,(m>0),解得〃?的取值范圍，即可得k</

(2)設(shè)4(xi，y])，8(%2而，P(X3，、3)，可得/+不=2

由而+方+而=6，可得%3-1=。，由橢圓的焦半徑公式得則田川=。一。1=2-：/，

\FB\\FP\=2-|x=|.即可證明尸川+|FB|=2\FP\.

=2-|X2,3

21.答案：解：

(1)橢圓。：馬+寫=1的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)4(0,1),

可得b=c=1,a=y/b2+c2=或，

2

則橢圓方程為/+y2=i；

(H)證明：y=kx+t與橢圓方程/+2y2=2聯(lián)立，

可得(1+2/c2)%2+4ktx+2t2—2=0,

設(shè)P(%L%)，QQ2J2)，

△=16k2t2-4(1+2/)(2/-2)>0,

,4kt2t2-2

/+工2=一許，/不=詢，

AP的方程為y=T二X+1,

X1

令y=0,可得y=D，即M(含,0)；

AQ的方程為y=竽x+l,

x2

令y=0,可得？=言?即N(言”0),

???(i-yi)(i-y2)=1+y/2-01+72)

=14-(kxx+t)(fcx2+，—(—1+kx2+2t)

=(1+t2-2t)+k2-軍2+(fct-fc)-(--%)=宜嗎，

'Jl+2fc2)7vl+2fc271+2上2

\OM\\ON\=2,即為I言.言I=2,

即旬t2-l|=(-1)2,由t#±i,解得t=o,滿足△>(),

即有直線/方程為y=kx,恒過原點(diǎn)(0,0).

解析：本題考查橢圓的方程和運(yùn)用，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查直線恒過

定點(diǎn)的求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(I)由題意可得b=c=1,由a,b,c的關(guān)系，可得a,進(jìn)而得到所求橢圓方程；

(n)y=/cx+t與橢圓方程％2+2y2=2聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合直線恒過定點(diǎn)的求法，

計(jì)算可得結(jié)論.

22.答案：解：（1）設(shè)4（與,%）,BN，乃），

??