人教版高數(shù)必修一第6講函數(shù)的奇偶性(教師版)

函數(shù)的奇偶性1、理函數(shù)的奇偶性及其圖像特征；2、能簡單應(yīng)用函數(shù)的奇偶性及其圖像特征；一函奇性義、圖描：函數(shù)f軸對稱

f

為偶函數(shù)；函數(shù)

f

的圖像關(guān)于原點(diǎn)軸對稱

f

為奇函數(shù)定量描述一般地，如果對于函數(shù)

f

的定義域內(nèi)任意一個，都有f)f(x)

，則稱

f

為偶函數(shù)如都有

f

為奇函數(shù)如)()

與

f

同時成立，那么函數(shù)

f

既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；如果ff(x

與

f

都不能成立，那么函數(shù)

f

既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)。如果函數(shù)

f

是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱函數(shù)()

具有奇偶性。特提：1具有奇偶性的必要條件是的定義域在數(shù)軸上所表示的區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱之若所給函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則這個函數(shù)一定不具備奇偶性、函數(shù)奇偶性的定義判函數(shù)是否具有奇偶性的一般步驟）察函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱。若不對稱，可直接判定該函數(shù)不具有奇偶性；若對稱，則進(jìn)入第二步2判斷兩個等式的成立情況，根據(jù)定義來判定該函數(shù)的奇偶性。

f

這二、函具奇性幾結(jié)1、yfy

的圖像關(guān)于軸稱；

yf

是奇函數(shù)

yf的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。2、奇函數(shù)f

x

有定義，必有

f

。3偶數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反函在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同。4、且D要于原點(diǎn)對稱，那么就有以下結(jié)論：12奇偶奇偶5、復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”。6、多項(xiàng)整式函數(shù)Px)xx的奇偶性n多項(xiàng)式函數(shù)P()是函數(shù)()的偶次項(xiàng)的系和常數(shù)項(xiàng)全為零；多項(xiàng)式函數(shù)P()

是偶函數(shù)

()

的奇次項(xiàng)的系數(shù)全為零。類一函奇性判1

例：斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：1(1)f()x3；(2)()＋；x解：(1)數(shù)()的定義域?yàn)?，又?－＝2(－＋3(x)＝x＋x＝()，∴函數(shù)fx)＝x＋x是函．(2)函數(shù)x)的定義域(－∞，∪，＋∞)11又∵(－＝－＝－)＝－(，－1∴函數(shù)fx)＝＋是函數(shù)．x答1）偶函數(shù)（）函數(shù)練1判斷下列函的奇偶性：(1)f()x

＋；(2)f()x＋1|－|x－1|；答1）偶函數(shù)（）函數(shù)練：(2014～學(xué)度山東棗莊第八學(xué)高一上學(xué)期期中測)列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()A．＝＋1C．＝x答：類二分函奇性判例：定義判斷函數(shù)()＝

x

x

B．y＝－D．y＝||的奇偶性．解：取>0，則<0.∴(－)＝－)－＝－＝－(－＋1)－()又任取x<0，則－>0.∴(－)＝－－)＋＝－x＋＝－(

－1)＝－(x．對∈－，0)∪，∞)都f(－＝－f(成立．∴函數(shù)f()為奇函數(shù)．答：函數(shù)2練1判斷函數(shù)fx)＝答：函.

x＝x

的奇偶性．練2如果Fx＝

2－3f

xx

是奇函數(shù)，則(＝________.單調(diào)性答：x＋32

類三利奇偶函圖象對特，關(guān)原對的間的析例：(x)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)<0時，f()＝(1x)，求：當(dāng)≥0時，數(shù)f()的解析式．解：x，x<0，∵當(dāng)x<0時)＝(1－x，∴(－)＝－(1＋)，又()奇函數(shù)，f(－)＝f(x)，∴－()＝－(1＋)，∴()＝(1，又(0)＝(－0)＝－f(0)，f(0)＝，∴當(dāng)x≥0時，f(x)＝(1＋x．答：(1＋)練1(2014～2015學(xué)年度安徽宿州市十三校高一上學(xué)期期中測)已函數(shù)()是R的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，)＝2＋1，則函數(shù)(x)的析式為．1答：)＝1

x＝x練2(2014～2015學(xué)年度濟(jì)南市第一中學(xué)高一上學(xué)期期中測)函數(shù)f(是定義在R上奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，)＝－＋，則當(dāng)x<0時，f(x)的表達(dá)式為)A．()＝x＋C．()＝－＋

B．(x)＝－D．(x)＝－－答：類四抽函奇性證例已知函數(shù)y＝(xx∈R)對于任意實(shí)數(shù)b都fa＋＝()＋()求：f(x為奇函數(shù)．解：a，則(b)＝(0)(，∴(0)，再令＝－，＝x，則(0)＝(－x)(x∴(－)＝f(x且定義域關(guān)于點(diǎn)對稱fx)是奇函數(shù)．答：解析練1已函數(shù)＝()(x∈R)，若對于意實(shí)數(shù)、，有fx＋＋f(－x)＝2()·f(x)，證：()為偶函數(shù)．答：＝，＝，得()(－x)＝f(0)·(，令x＝，x＝，得(＋(x＝(0)·()由①②得，f－＝()，且義域x∈R關(guān)原點(diǎn)對稱，∴函數(shù)fx)為偶函數(shù)．

①②已f()

是定義在R上任意一個增函數(shù)G

G）A、增函數(shù)且為奇函數(shù)B、增函且為偶函數(shù)C減函數(shù)且為奇函數(shù)D、減函數(shù)且為偶函數(shù)3

答：類五含參的數(shù)奇性判例：a為數(shù)，討論函數(shù)f(x)＝x2＋|xa|1奇偶性．解：＝0時，f(x)x2＋|x|＋1，∴－＝－＋－＋＝＋|x|＋＝f(x)，∴當(dāng)a＝時，數(shù)f(x)為偶函．當(dāng)a≠時，f(1)＝＋|1－a|，f(－＝＋＋，假設(shè)＝－，則1－a|＝＋，－＝＋a)2∴＝，與a≠0矛盾假設(shè)f(－1)＝－f(1)，2＋|1a|＝－－|1－這顯然不可能成立∵＋＋a|>0，－2－|1－，∴－≠f(1)，－1)≠－f(1)∴當(dāng)a≠時，數(shù)f(x)是非奇偶函數(shù)．答：奇非.a練1：(2014～2015學(xué)年河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)一月已知函數(shù)f()＋，數(shù)∈R，討x論函數(shù)fx)的奇偶性，并說明理．答：函數(shù)b練2(2014～2015學(xué)年濰坊市四縣市高一上學(xué)期期中測)知函數(shù)f(x＝＋其中ax5b為常數(shù))的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)(1,2)(，．2(1)求函數(shù)fx的解析式；(2)判斷函數(shù)fx)的奇偶性．1答：(＝＋.(2)()為奇函數(shù)．x類六利奇性定數(shù)字的ax＋5例6:已知函數(shù)fx＝是函數(shù)，且(2)＝.實(shí)數(shù)a、的；3＋3解：f(x)奇函數(shù)，∴－＋f(x)＝，ax＋ax＋∴＝，－3x＋3x＋b∴－3x＋＝3x－b，∴b＝0.54a＋25又f(2)＝，＝，a2.3634

1答：＝2.b0.1x＋練1:(2014～2015年度濟(jì)南市第一中學(xué)高一上學(xué)期期中已知函數(shù)()＝為函1＋2數(shù)求值；答：練2:若數(shù)kx(k

是奇函數(shù)，則

b

；若函數(shù)

yax

bx(

為偶函數(shù)，則b。答:

;

類七利奇性不式例7：知函數(shù)f(x)是定義在－2,2)上的奇函數(shù)且是減函數(shù)若f(m－＋－2m)，求實(shí)數(shù)m的值范圍．解：題意<2

，13得－<m<.22由函數(shù)fx)是定義在(－2,2)上奇函數(shù)及m－1)＋(12m≥0，得f(－1)≥(2－．∵函數(shù)fx)在－上減函數(shù)，∴－1≤2－，m3∴實(shí)數(shù)m的取范圍是，)23答：，．2練1定義在－上的偶函數(shù)f(x)，當(dāng)≥時單遞減，設(shè)－m)<f(m)，的取范圍．答：2

.練2：(2014～2015學(xué)度河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一上期月)已知偶函數(shù)f(x在區(qū)間－∞，10]上單調(diào)遞減，則滿足f(2x－()的的值范圍是)312A．312C．3

12B．312D．3答：類八利奇性函值例：知函數(shù)f(x)與g(x)滿足f(x)＝2g(x)＋，且g(x)的奇函數(shù)，f(－1)＝，f(1)．解：f(1)＝2g(－1)1＝，7∴－＝.2又∵g(x)為函數(shù)，∴g(－＝g(1)．5

7∴g(1)＝－－＝.27∴f(1)＝2g(1)＋＝2×(－＋＝－2答：6.練1已知f(x)奇函數(shù)，在區(qū)[3,6]是增函數(shù)，且在此區(qū)間上的最大值為8最小值為－，2f(－6)＋f(－＝A．－C．－

B．13D．5答:練2:～學(xué)年度廣東肇慶市高一上學(xué)期期中測)函數(shù)()(∈為奇函數(shù)1＝，(＋＝(＋(2)，(5)于()2A．B．5C．D．2答：1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：（）

f

；（）

；答案）函數(shù)（）不奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。2、已知函數(shù)()

是奇函數(shù)，定義域?yàn)镽且x()

在

上為增函數(shù)，且f

，則滿足

f

的

的取值范圍是。答案：

。3、若

f)ax

4

2

，f(c)，求f()

的值；答案：4、已知)

是R

上的奇函數(shù)，且當(dāng)x時，f(x)x)

，求f(x)

的解析式。答案:f()

x(1x)(

x(1

x)(5、已知

f

xxbx

奇函數(shù)，求值。6

答案：

0__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基鞏1．設(shè)函數(shù)f(x是義在R上奇函數(shù)，且－3)－，則(3)＋(0)＝)A．C．

B．3D．7答案：C2．下面四個結(jié)論：①偶函數(shù)的象一定與軸交；②奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f)＝0(∈R)其中正確命題的個數(shù)是()A．C．

B．2D．4答案：A3．若二次函數(shù)(＝x＋b－在間1－a,2]上是偶函數(shù)，則、的是()A．C．

B．D．答案：B4．(2014·湖南理3)已知f()、(分別是定義在R上偶函數(shù)和奇函數(shù)，且(x－g()＝x

＋，f(1)＋g＝)A．－C．

B．1D．3答案：C5．(2014·全國新課標(biāo)Ⅰ理3)函數(shù)f()g的定義域都為R且(x是奇函數(shù)，()是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的()A．()g(x是偶函數(shù)C．()|gx)|是奇函數(shù)答案：C

B．|f()|(是奇函數(shù)D．|f()gx)|是奇函數(shù)6．已知()定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時()＝

－x，則函數(shù)f()在R上的析式是)7

A．()＝－(－2)C．()＝x|(x－

B．(x)＝(||－2)D．(x)＝|x|(||－2)答案：D7．若fx＝(x＋)(－為函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝______.答案：能提8．偶函數(shù)(x在0，＋上是減函數(shù)，則(4)______(

＋4)(a∈R)．填、、≥、≤)答案：≥9(2014～2015學(xué)年青海師范大學(xué)附屬第二